ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geo2lim GIF version

Theorem geo2lim 11253
Description: The value of the infinite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
geo2lim.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘)))
Assertion
Ref Expression
geo2lim (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geo2lim
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9329 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 9049 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
3 halfcn 8902 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
43a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
5 halfre 8901 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
6 halfge0 8904 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 2)
7 absid 10811 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
85, 6, 7mp2an 422 . . . . . . . 8 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
9 halflt1 8905 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
108, 9eqbrtri 3919 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 2)) < 1
1110a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
124, 11expcnv 11241 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘)) ⇝ 0)
13 id 19 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
14 geo2lim.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘)))
15 nnex 8694 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
1615mptex 5614 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘))) ∈ V
1714, 16eqeltri 2190 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
1817a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ V)
19 nnnn0 8952 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
2019adantl 275 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
213a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℂ)
2221, 20expcld 10392 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ)
23 oveq2 5750 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2)↑𝑗))
24 eqid 2117 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))
2523, 24fvmptg 5465 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
2620, 22, 25syl2anc 408 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
2726, 22eqeltrd 2194 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) ∈ ℂ)
28 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
29 2nn 8849 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
30 nnexpcl 10274 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
3129, 20, 30sylancr 410 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
3231nncnd 8702 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℂ)
3331nnap0d 8734 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) # 0)
3428, 32, 33divrecapd 8521 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑗)) = (𝐴 · (1 / (2↑𝑗))))
35 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
3628, 32, 33divclapd 8518 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑗)) ∈ ℂ)
37 oveq2 5750 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (2↑𝑘) = (2↑𝑗))
3837oveq2d 5758 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
3938, 14fvmptg 5465 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / (2↑𝑗)) ∈ ℂ) → (𝐹𝑗) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
4035, 36, 39syl2anc 408 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
41 2cn 8759 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
42 2ap0 8781 . . . . . . . . 9 2 # 0
43 nnz 9041 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
4443adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
45 exprecap 10302 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
4641, 42, 44, 45mp3an12i 1304 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
4726, 46eqtrd 2150 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
4847oveq2d 5758 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗)) = (𝐴 · (1 / (2↑𝑗))))
4934, 40, 483eqtr4d 2160 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐴 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗)))
501, 2, 12, 13, 18, 27, 49climmulc2 11068 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (𝐴 · 0))
51 mul01 8119 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
5250, 51breqtrd 3924 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)
53 seqex 10188 . . . 4 seq1( + , 𝐹) ∈ V
5453a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
5540, 36eqeltrd 2194 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
5640oveq2d 5758 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐹𝑗)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
57 geo2sum 11251 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
5857ancoms 266 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
59 elnnuz 9330 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
6059biimpri 132 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
6160adantl 275 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
62 simpll 503 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6341a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 2 ∈ ℂ)
6461nnnn0d 8998 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
6563, 64expcld 10392 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
6642a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 2 # 0)
6761nnzd 9140 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
6863, 66, 67expap0d 10398 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (2↑𝑛) # 0)
6962, 65, 68divclapd 8518 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ)
70 oveq2 5750 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (2↑𝑘) = (2↑𝑛))
7170oveq2d 5758 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
7271, 14fvmptg 5465 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐹𝑛) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
7361, 69, 72syl2anc 408 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐹𝑛) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
7435, 1eleqtrdi 2210 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
7573, 74, 69fsum3ser 11134 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))
7656, 58, 753eqtr2rd 2157 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐴 − (𝐹𝑗)))
771, 2, 52, 13, 54, 55, 76climsubc2 11070 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 − 0))
78 subid1 7950 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
7977, 78breqtrd 3924 1 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  Vcvv 2660   class class class wbr 3899  cmpt 3959  cfv 5093  (class class class)co 5742  cc 7586  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593   < clt 7768  cle 7769  cmin 7901   # cap 8311   / cdiv 8400  cn 8688  2c2 8739  0cn0 8945  cz 9022  cuz 9294  ...cfz 9758  seqcseq 10186  cexp 10260  abscabs 10737  cli 11015  Σcsu 11090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-ihash 10490  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016  df-sumdc 11091
This theorem is referenced by:  trilpolemeq1  13160
  Copyright terms: Public domain W3C validator