ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geo2lim GIF version

Theorem geo2lim 11526
Description: The value of the infinite geometric series 2โ†‘-1 + 2โ†‘-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
geo2lim.1 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜)))
Assertion
Ref Expression
geo2lim (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq1( + , ๐น) โ‡ ๐ด)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘˜)

Proof of Theorem geo2lim
Dummy variables ๐‘— ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9565 . . 3 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 9282 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 halfcn 9135 . . . . . . 7 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
43a1i 9 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
5 halfre 9134 . . . . . . . . 9 (1 / 2) โˆˆ โ„
6 halfge0 9137 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค (1 / 2)
7 absid 11082 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 / 2)) โ†’ (absโ€˜(1 / 2)) = (1 / 2))
85, 6, 7mp2an 426 . . . . . . . 8 (absโ€˜(1 / 2)) = (1 / 2)
9 halflt1 9138 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
108, 9eqbrtri 4026 . . . . . . 7 (absโ€˜(1 / 2)) < 1
1110a1i 9 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(1 / 2)) < 1)
124, 11expcnv 11514 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) โ‡ 0)
13 id 19 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
14 geo2lim.1 . . . . . . 7 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜)))
15 nnex 8927 . . . . . . . 8 โ„• โˆˆ V
1615mptex 5744 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜))) โˆˆ V
1714, 16eqeltri 2250 . . . . . 6 ๐น โˆˆ V
1817a1i 9 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐น โˆˆ V)
19 nnnn0 9185 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
2019adantl 277 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
213a1i 9 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
2221, 20expcld 10656 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
23 oveq2 5885 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) = ((1 / 2)โ†‘๐‘—))
24 eqid 2177 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
2523, 24fvmptg 5594 . . . . . . 7 ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง ((1 / 2)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘—) = ((1 / 2)โ†‘๐‘—))
2620, 22, 25syl2anc 411 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘—) = ((1 / 2)โ†‘๐‘—))
2726, 22eqeltrd 2254 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
28 simpl 109 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
29 2nn 9082 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•
30 nnexpcl 10535 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„•)
3129, 20, 30sylancr 414 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„•)
3231nncnd 8935 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
3331nnap0d 8967 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘—) # 0)
3428, 32, 33divrecapd 8752 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘—)) = (๐ด ยท (1 / (2โ†‘๐‘—))))
35 simpr 110 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
3628, 32, 33divclapd 8749 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
37 oveq2 5885 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (2โ†‘๐‘˜) = (2โ†‘๐‘—))
3837oveq2d 5893 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = (๐ด / (2โ†‘๐‘—)))
3938, 14fvmptg 5594 . . . . . . 7 ((๐‘— โˆˆ โ„• โˆง (๐ด / (2โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = (๐ด / (2โ†‘๐‘—)))
4035, 36, 39syl2anc 411 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = (๐ด / (2โ†‘๐‘—)))
41 2cn 8992 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
42 2ap0 9014 . . . . . . . . 9 2 # 0
43 nnz 9274 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
4443adantl 277 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
45 exprecap 10563 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 # 0 โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) = (1 / (2โ†‘๐‘—)))
4641, 42, 44, 45mp3an12i 1341 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) = (1 / (2โ†‘๐‘—)))
4726, 46eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘—) = (1 / (2โ†‘๐‘—)))
4847oveq2d 5893 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘—)) = (๐ด ยท (1 / (2โ†‘๐‘—))))
4934, 40, 483eqtr4d 2220 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = (๐ด ยท ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘—)))
501, 2, 12, 13, 18, 27, 49climmulc2 11341 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐น โ‡ (๐ด ยท 0))
51 mul01 8348 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
5250, 51breqtrd 4031 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐น โ‡ 0)
53 seqex 10449 . . . 4 seq1( + , ๐น) โˆˆ V
5453a1i 9 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ V)
5540, 36eqeltrd 2254 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
5640oveq2d 5893 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐นโ€˜๐‘—)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘—))))
57 geo2sum 11524 . . . . 5 ((๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)(๐ด / (2โ†‘๐‘›)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘—))))
5857ancoms 268 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)(๐ด / (2โ†‘๐‘›)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘—))))
59 elnnuz 9566 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†” ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
6059biimpri 133 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
6160adantl 277 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
62 simpll 527 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6341a1i 9 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
6461nnnn0d 9231 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
6563, 64expcld 10656 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (2โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6642a1i 9 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ 2 # 0)
6761nnzd 9376 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
6863, 66, 67expap0d 10662 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (2โ†‘๐‘›) # 0)
6962, 65, 68divclapd 8749 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
70 oveq2 5885 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (2โ†‘๐‘˜) = (2โ†‘๐‘›))
7170oveq2d 5893 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = (๐ด / (2โ†‘๐‘›)))
7271, 14fvmptg 5594 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ด / (2โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐นโ€˜๐‘›) = (๐ด / (2โ†‘๐‘›)))
7361, 69, 72syl2anc 411 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘›) = (๐ด / (2โ†‘๐‘›)))
7435, 1eleqtrdi 2270 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
7573, 74, 69fsum3ser 11407 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)(๐ด / (2โ†‘๐‘›)) = (seq1( + , ๐น)โ€˜๐‘—))
7656, 58, 753eqtr2rd 2217 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , ๐น)โ€˜๐‘—) = (๐ด โˆ’ (๐นโ€˜๐‘—)))
771, 2, 52, 13, 54, 55, 76climsubc2 11343 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq1( + , ๐น) โ‡ (๐ด โˆ’ 0))
78 subid1 8179 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ 0) = ๐ด)
7977, 78breqtrd 4031 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq1( + , ๐น) โ‡ ๐ด)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  Vcvv 2739   class class class wbr 4005   โ†ฆ cmpt 4066  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  โ„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818   < clt 7994   โ‰ค cle 7995   โˆ’ cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631  โ„•cn 8921  2c2 8972  โ„•0cn0 9178  โ„คcz 9255  โ„คโ‰ฅcuz 9530  ...cfz 10010  seqcseq 10447  โ†‘cexp 10521  abscabs 11008   โ‡ cli 11288  ฮฃcsu 11363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364
This theorem is referenced by:  trilpolemeq1  14827
  Copyright terms: Public domain W3C validator