ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geo2lim GIF version

Theorem geo2lim 11523
Description: The value of the infinite geometric series 2โ†‘-1 + 2โ†‘-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
geo2lim.1 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜)))
Assertion
Ref Expression
geo2lim (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq1( + , ๐น) โ‡ ๐ด)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘˜)

Proof of Theorem geo2lim
Dummy variables ๐‘— ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9562 . . 3 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 9279 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 halfcn 9132 . . . . . . 7 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
43a1i 9 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
5 halfre 9131 . . . . . . . . 9 (1 / 2) โˆˆ โ„
6 halfge0 9134 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค (1 / 2)
7 absid 11079 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 / 2)) โ†’ (absโ€˜(1 / 2)) = (1 / 2))
85, 6, 7mp2an 426 . . . . . . . 8 (absโ€˜(1 / 2)) = (1 / 2)
9 halflt1 9135 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
108, 9eqbrtri 4024 . . . . . . 7 (absโ€˜(1 / 2)) < 1
1110a1i 9 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(1 / 2)) < 1)
124, 11expcnv 11511 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) โ‡ 0)
13 id 19 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
14 geo2lim.1 . . . . . . 7 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜)))
15 nnex 8924 . . . . . . . 8 โ„• โˆˆ V
1615mptex 5742 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜))) โˆˆ V
1714, 16eqeltri 2250 . . . . . 6 ๐น โˆˆ V
1817a1i 9 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐น โˆˆ V)
19 nnnn0 9182 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
2019adantl 277 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
213a1i 9 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
2221, 20expcld 10653 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
23 oveq2 5882 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) = ((1 / 2)โ†‘๐‘—))
24 eqid 2177 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
2523, 24fvmptg 5592 . . . . . . 7 ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆง ((1 / 2)โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘—) = ((1 / 2)โ†‘๐‘—))
2620, 22, 25syl2anc 411 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘—) = ((1 / 2)โ†‘๐‘—))
2726, 22eqeltrd 2254 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
28 simpl 109 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
29 2nn 9079 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•
30 nnexpcl 10532 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„•)
3129, 20, 30sylancr 414 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„•)
3231nncnd 8932 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
3331nnap0d 8964 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘—) # 0)
3428, 32, 33divrecapd 8749 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘—)) = (๐ด ยท (1 / (2โ†‘๐‘—))))
35 simpr 110 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
3628, 32, 33divclapd 8746 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
37 oveq2 5882 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (2โ†‘๐‘˜) = (2โ†‘๐‘—))
3837oveq2d 5890 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = (๐ด / (2โ†‘๐‘—)))
3938, 14fvmptg 5592 . . . . . . 7 ((๐‘— โˆˆ โ„• โˆง (๐ด / (2โ†‘๐‘—)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = (๐ด / (2โ†‘๐‘—)))
4035, 36, 39syl2anc 411 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = (๐ด / (2โ†‘๐‘—)))
41 2cn 8989 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
42 2ap0 9011 . . . . . . . . 9 2 # 0
43 nnz 9271 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
4443adantl 277 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
45 exprecap 10560 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 # 0 โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) = (1 / (2โ†‘๐‘—)))
4641, 42, 44, 45mp3an12i 1341 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘—) = (1 / (2โ†‘๐‘—)))
4726, 46eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘—) = (1 / (2โ†‘๐‘—)))
4847oveq2d 5890 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘—)) = (๐ด ยท (1 / (2โ†‘๐‘—))))
4934, 40, 483eqtr4d 2220 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = (๐ด ยท ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘—)))
501, 2, 12, 13, 18, 27, 49climmulc2 11338 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐น โ‡ (๐ด ยท 0))
51 mul01 8345 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
5250, 51breqtrd 4029 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐น โ‡ 0)
53 seqex 10446 . . . 4 seq1( + , ๐น) โˆˆ V
5453a1i 9 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ V)
5540, 36eqeltrd 2254 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
5640oveq2d 5890 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐นโ€˜๐‘—)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘—))))
57 geo2sum 11521 . . . . 5 ((๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)(๐ด / (2โ†‘๐‘›)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘—))))
5857ancoms 268 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)(๐ด / (2โ†‘๐‘›)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘—))))
59 elnnuz 9563 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†” ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
6059biimpri 133 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
6160adantl 277 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
62 simpll 527 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6341a1i 9 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
6461nnnn0d 9228 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
6563, 64expcld 10653 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (2โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6642a1i 9 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ 2 # 0)
6761nnzd 9373 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
6863, 66, 67expap0d 10659 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (2โ†‘๐‘›) # 0)
6962, 65, 68divclapd 8746 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
70 oveq2 5882 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (2โ†‘๐‘˜) = (2โ†‘๐‘›))
7170oveq2d 5890 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = (๐ด / (2โ†‘๐‘›)))
7271, 14fvmptg 5592 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ด / (2โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐นโ€˜๐‘›) = (๐ด / (2โ†‘๐‘›)))
7361, 69, 72syl2anc 411 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘›) = (๐ด / (2โ†‘๐‘›)))
7435, 1eleqtrdi 2270 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
7573, 74, 69fsum3ser 11404 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘—)(๐ด / (2โ†‘๐‘›)) = (seq1( + , ๐น)โ€˜๐‘—))
7656, 58, 753eqtr2rd 2217 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , ๐น)โ€˜๐‘—) = (๐ด โˆ’ (๐นโ€˜๐‘—)))
771, 2, 52, 13, 54, 55, 76climsubc2 11340 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq1( + , ๐น) โ‡ (๐ด โˆ’ 0))
78 subid1 8176 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ 0) = ๐ด)
7977, 78breqtrd 4029 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq1( + , ๐น) โ‡ ๐ด)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  Vcvv 2737   class class class wbr 4003   โ†ฆ cmpt 4064  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991   โ‰ค cle 7992   โˆ’ cmin 8127   # cap 8537   / cdiv 8628  โ„•cn 8918  2c2 8969  โ„•0cn0 9175  โ„คcz 9252  โ„คโ‰ฅcuz 9527  ...cfz 10007  seqcseq 10444  โ†‘cexp 10518  abscabs 11005   โ‡ cli 11285  ฮฃcsu 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361
This theorem is referenced by:  trilpolemeq1  14758
  Copyright terms: Public domain W3C validator