ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geo2lim GIF version

Theorem geo2lim 10906
Description: The value of the infinite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
geo2lim.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘)))
Assertion
Ref Expression
geo2lim (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geo2lim
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9052 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 8775 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
3 halfcn 8628 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
43a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
5 halfre 8627 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
6 halfge0 8630 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 2)
7 absid 10500 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
85, 6, 7mp2an 417 . . . . . . . 8 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
9 halflt1 8631 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
108, 9eqbrtri 3864 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 2)) < 1
1110a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
124, 11expcnv 10894 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘)) ⇝ 0)
13 id 19 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
14 geo2lim.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘)))
15 nnex 8426 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
1615mptex 5523 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘))) ∈ V
1714, 16eqeltri 2160 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
1817a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ V)
19 nnnn0 8678 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
2019adantl 271 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
213a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℂ)
2221, 20expcld 10082 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ)
23 oveq2 5660 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2)↑𝑗))
24 eqid 2088 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))
2523, 24fvmptg 5380 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
2620, 22, 25syl2anc 403 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
2726, 22eqeltrd 2164 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) ∈ ℂ)
28 simpl 107 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
29 2nn 8575 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
30 nnexpcl 9964 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
3129, 20, 30sylancr 405 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
3231nncnd 8434 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℂ)
3331nnap0d 8466 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) # 0)
3428, 32, 33divrecapd 8258 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑗)) = (𝐴 · (1 / (2↑𝑗))))
35 simpr 108 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
3628, 32, 33divclapd 8255 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑗)) ∈ ℂ)
37 oveq2 5660 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (2↑𝑘) = (2↑𝑗))
3837oveq2d 5668 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
3938, 14fvmptg 5380 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / (2↑𝑗)) ∈ ℂ) → (𝐹𝑗) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
4035, 36, 39syl2anc 403 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
41 2cn 8491 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
42 2ap0 8513 . . . . . . . . 9 2 # 0
43 nnz 8767 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
4443adantl 271 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
45 exprecap 9992 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
4641, 42, 44, 45mp3an12i 1277 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
4726, 46eqtrd 2120 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
4847oveq2d 5668 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗)) = (𝐴 · (1 / (2↑𝑗))))
4934, 40, 483eqtr4d 2130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐴 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗)))
501, 2, 12, 13, 18, 27, 49climmulc2 10715 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (𝐴 · 0))
51 mul01 7865 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
5250, 51breqtrd 3869 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)
53 seqex 9853 . . . 4 seq1( + , 𝐹) ∈ V
5453a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
5540, 36eqeltrd 2164 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
5640oveq2d 5668 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐹𝑗)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
57 geo2sum 10904 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
5857ancoms 264 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
59 elnnuz 9053 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
6059biimpri 131 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
6160adantl 271 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
62 simpll 496 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6341a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 2 ∈ ℂ)
6461nnnn0d 8724 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
6563, 64expcld 10082 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
6642a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 2 # 0)
6761nnzd 8865 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
6863, 66, 67expap0d 10088 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (2↑𝑛) # 0)
6962, 65, 68divclapd 8255 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ)
70 oveq2 5660 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (2↑𝑘) = (2↑𝑛))
7170oveq2d 5668 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
7271, 14fvmptg 5380 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐹𝑛) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
7361, 69, 72syl2anc 403 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐹𝑛) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
7435, 1syl6eleq 2180 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
7573, 74, 69fsum3ser 10787 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))
7656, 58, 753eqtr2rd 2127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐴 − (𝐹𝑗)))
771, 2, 52, 13, 54, 55, 76climsubc2 10717 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 − 0))
78 subid1 7700 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
7977, 78breqtrd 3869 1 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  Vcvv 2619   class class class wbr 3845  cmpt 3899  cfv 5015  (class class class)co 5652  cc 7346  cr 7347  0cc0 7348  1c1 7349   + caddc 7351   · cmul 7353   < clt 7520  cle 7521  cmin 7651   # cap 8056   / cdiv 8137  cn 8420  2c2 8471  0cn0 8671  cz 8748  cuz 9017  ...cfz 9422  seqcseq 9848  cexp 9950  abscabs 10426  cli 10662  Σcsu 10738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-ihash 10180  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663  df-isum 10739
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator