ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geo2lim GIF version

Theorem geo2lim 11556
Description: The value of the infinite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
geo2lim.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘)))
Assertion
Ref Expression
geo2lim (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geo2lim
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9593 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 9310 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
3 halfcn 9163 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
43a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
5 halfre 9162 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
6 halfge0 9165 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 2)
7 absid 11112 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
85, 6, 7mp2an 426 . . . . . . . 8 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
9 halflt1 9166 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
108, 9eqbrtri 4039 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 2)) < 1
1110a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
124, 11expcnv 11544 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘)) ⇝ 0)
13 id 19 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
14 geo2lim.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘)))
15 nnex 8955 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
1615mptex 5763 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘))) ∈ V
1714, 16eqeltri 2262 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
1817a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ V)
19 nnnn0 9213 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
2019adantl 277 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
213a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℂ)
2221, 20expcld 10685 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ)
23 oveq2 5904 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2)↑𝑗))
24 eqid 2189 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))
2523, 24fvmptg 5613 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
2620, 22, 25syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
2726, 22eqeltrd 2266 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) ∈ ℂ)
28 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
29 2nn 9110 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
30 nnexpcl 10564 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
3129, 20, 30sylancr 414 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
3231nncnd 8963 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℂ)
3331nnap0d 8995 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) # 0)
3428, 32, 33divrecapd 8780 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑗)) = (𝐴 · (1 / (2↑𝑗))))
35 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
3628, 32, 33divclapd 8777 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑗)) ∈ ℂ)
37 oveq2 5904 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (2↑𝑘) = (2↑𝑗))
3837oveq2d 5912 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
3938, 14fvmptg 5613 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / (2↑𝑗)) ∈ ℂ) → (𝐹𝑗) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
4035, 36, 39syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
41 2cn 9020 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
42 2ap0 9042 . . . . . . . . 9 2 # 0
43 nnz 9302 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
4443adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
45 exprecap 10592 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
4641, 42, 44, 45mp3an12i 1352 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
4726, 46eqtrd 2222 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
4847oveq2d 5912 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗)) = (𝐴 · (1 / (2↑𝑗))))
4934, 40, 483eqtr4d 2232 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐴 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗)))
501, 2, 12, 13, 18, 27, 49climmulc2 11371 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (𝐴 · 0))
51 mul01 8376 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
5250, 51breqtrd 4044 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)
53 seqex 10478 . . . 4 seq1( + , 𝐹) ∈ V
5453a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
5540, 36eqeltrd 2266 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
5640oveq2d 5912 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐹𝑗)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
57 geo2sum 11554 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
5857ancoms 268 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
59 elnnuz 9594 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
6059biimpri 133 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
6160adantl 277 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
62 simpll 527 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6341a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 2 ∈ ℂ)
6461nnnn0d 9259 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
6563, 64expcld 10685 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
6642a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 2 # 0)
6761nnzd 9404 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
6863, 66, 67expap0d 10691 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (2↑𝑛) # 0)
6962, 65, 68divclapd 8777 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ)
70 oveq2 5904 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (2↑𝑘) = (2↑𝑛))
7170oveq2d 5912 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
7271, 14fvmptg 5613 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐹𝑛) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
7361, 69, 72syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐹𝑛) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
7435, 1eleqtrdi 2282 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
7573, 74, 69fsum3ser 11437 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))
7656, 58, 753eqtr2rd 2229 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐴 − (𝐹𝑗)))
771, 2, 52, 13, 54, 55, 76climsubc2 11373 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 − 0))
78 subid1 8207 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
7977, 78breqtrd 4044 1 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  Vcvv 2752   class class class wbr 4018  cmpt 4079  cfv 5235  (class class class)co 5896  cc 7839  cr 7840  0cc0 7841  1c1 7842   + caddc 7844   · cmul 7846   < clt 8022  cle 8023  cmin 8158   # cap 8568   / cdiv 8659  cn 8949  2c2 9000  0cn0 9206  cz 9283  cuz 9558  ...cfz 10038  seqcseq 10476  cexp 10550  abscabs 11038  cli 11318  Σcsu 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394
This theorem is referenced by:  trilpolemeq1  15250
  Copyright terms: Public domain W3C validator