Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trilpolemisumle GIF version

Theorem trilpolemisumle 13292
 Description: Lemma for trilpo 13297. An upper bound for the sum of the digits beyond a certain point. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trilpolemgt1.f (𝜑𝐹:ℕ⟶{0, 1})
trilpolemgt1.a 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖))
trilpolemisumle.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
trilpolemisumle.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
trilpolemisumle (𝜑 → Σ𝑖𝑍 ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ≤ Σ𝑖𝑍 (1 / (2↑𝑖)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝑀   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem trilpolemisumle
Dummy variables 𝑛 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trilpolemisumle.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 trilpolemisumle.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnzd 9184 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
41eleq2i 2206 . . . . 5 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
54biimpi 119 . . . 4 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
6 eluznn 9406 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ)
72, 5, 6syl2an 287 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℕ)
8 eqid 2139 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))
9 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 → (2↑𝑛) = (2↑𝑖))
109oveq2d 5790 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑖)))
11 fveq2 5421 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑖))
1210, 11oveq12d 5792 . . . 4 (𝑛 = 𝑖 → ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)))
13 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
14 2rp 9458 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
1514a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
1613nnzd 9184 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
1715, 16rpexpcld 10460 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℝ+)
1817rpreccld 9506 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ+)
1918rpred 9495 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
20 trilpolemgt1.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ⟶{0, 1})
21 0re 7778 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
22 1re 7777 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
23 prssi 3678 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {0, 1} ⊆ ℝ)
2421, 22, 23mp2an 422 . . . . . . . 8 {0, 1} ⊆ ℝ
2524a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℝ)
2620, 25fssd 5285 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
2726ffvelrnda 5555 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
2819, 27remulcld 7808 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
298, 12, 13, 28fvmptd3 5514 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))‘𝑖) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)))
307, 29syldan 280 . 2 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))‘𝑖) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)))
317, 28syldan 280 . 2 ((𝜑𝑖𝑍) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
32 eqid 2139 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))
3332, 10, 13, 18fvmptd3 5514 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))‘𝑖) = (1 / (2↑𝑖)))
347, 33syldan 280 . 2 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))‘𝑖) = (1 / (2↑𝑖)))
357, 19syldan 280 . 2 ((𝜑𝑖𝑍) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
36 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑖) = 0) → (𝐹𝑖) = 0)
3736oveq2d 5790 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑖) = 0) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) = ((1 / (2↑𝑖)) · 0))
3818rpcnd 9497 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
3938adantr 274 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑖) = 0) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
4039mul01d 8167 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑖) = 0) → ((1 / (2↑𝑖)) · 0) = 0)
4137, 40eqtrd 2172 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑖) = 0) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) = 0)
4218adantr 274 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑖) = 0) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ+)
4342rpge0d 9499 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑖) = 0) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑖)))
4441, 43eqbrtrd 3950 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑖) = 0) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ≤ (1 / (2↑𝑖)))
45 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑖) = 1) → (𝐹𝑖) = 1)
4645oveq2d 5790 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑖) = 1) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) = ((1 / (2↑𝑖)) · 1))
4738adantr 274 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑖) = 1) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
4847mulid1d 7795 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑖) = 1) → ((1 / (2↑𝑖)) · 1) = (1 / (2↑𝑖)))
4946, 48eqtrd 2172 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑖) = 1) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) = (1 / (2↑𝑖)))
5019adantr 274 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑖) = 1) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
5150leidd 8288 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑖) = 1) → (1 / (2↑𝑖)) ≤ (1 / (2↑𝑖)))
5249, 51eqbrtrd 3950 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑖) = 1) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ≤ (1 / (2↑𝑖)))
5320ffvelrnda 5555 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ {0, 1})
54 elpri 3550 . . . . 5 ((𝐹𝑖) ∈ {0, 1} → ((𝐹𝑖) = 0 ∨ (𝐹𝑖) = 1))
5553, 54syl 14 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑖) = 0 ∨ (𝐹𝑖) = 1))
5644, 52, 55mpjaodan 787 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ≤ (1 / (2↑𝑖)))
577, 56syldan 280 . 2 ((𝜑𝑖𝑍) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ≤ (1 / (2↑𝑖)))
5820, 8trilpolemclim 13290 . . 3 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
59 nnuz 9373 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
6029, 28eqeltrd 2216 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))‘𝑖) ∈ ℝ)
6160recnd 7806 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))‘𝑖) ∈ ℂ)
6259, 2, 61iserex 11120 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))) ∈ dom ⇝ ))
6358, 62mpbid 146 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
64 seqex 10232 . . . 4 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ∈ V
65 rpreccl 9480 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
6614, 65ax-mp 5 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ+
6766a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ+)
68 1zzd 9093 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
6967, 68rpexpcld 10460 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2)↑1) ∈ ℝ+)
70 1mhlfehlf 8950 . . . . . . 7 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
7170, 66eqeltri 2212 . . . . . 6 (1 − (1 / 2)) ∈ ℝ+
7271a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (1 / 2)) ∈ ℝ+)
7369, 72rpdivcld 9513 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 2)↑1) / (1 − (1 / 2))) ∈ ℝ+)
74 halfcn 8946 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℂ
7574a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
76 halfge0 8948 . . . . . . . 8 0 ≤ (1 / 2)
77 halfre 8945 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
7877absidi 10910 . . . . . . . 8 (0 ≤ (1 / 2) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
7976, 78ax-mp 5 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
80 halflt1 8949 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
8179, 80eqbrtri 3949 . . . . . 6 (abs‘(1 / 2)) < 1
8281a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(1 / 2)) < 1)
83 1nn0 9005 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
8483a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
85 oveq2 5782 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → (2↑𝑛) = (2↑𝑗))
8685oveq2d 5790 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑗)))
87 elnnuz 9374 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
8887biimpri 132 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
8988adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
9014a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 2 ∈ ℝ+)
9189nnzd 9184 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
9290, 91rpexpcld 10460 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → (2↑𝑗) ∈ ℝ+)
9392rpreccld 9506 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → (1 / (2↑𝑗)) ∈ ℝ+)
9432, 86, 89, 93fvmptd3 5514 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))‘𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
95 2cnd 8805 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 2 ∈ ℂ)
9690rpap0d 9501 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 2 # 0)
9795, 96, 91exprecapd 10444 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
9894, 97eqtr4d 2175 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
9975, 82, 84, 98geolim2 11293 . . . 4 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ⇝ (((1 / 2)↑1) / (1 − (1 / 2))))
100 breldmg 4745 . . . 4 ((seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ∈ V ∧ (((1 / 2)↑1) / (1 − (1 / 2))) ∈ ℝ+ ∧ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ⇝ (((1 / 2)↑1) / (1 − (1 / 2)))) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
10164, 73, 99, 100mp3an2i 1320 . . 3 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
10233, 38eqeltrd 2216 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))‘𝑖) ∈ ℂ)
10359, 2, 102iserex 11120 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ ))
104101, 103mpbid 146 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
1051, 3, 30, 31, 34, 35, 57, 63, 104isumle 11276 1 (𝜑 → Σ𝑖𝑍 ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ≤ Σ𝑖𝑍 (1 / (2↑𝑖)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ⊆ wss 3071  {cpr 3528   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  dom cdm 4539  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7630  ℝcr 7631  0cc0 7632  1c1 7633   + caddc 7635   · cmul 7637   < clt 7812   ≤ cle 7813   − cmin 7945   / cdiv 8444  ℕcn 8732  2c2 8783  ℕ0cn0 8989  ℤ≥cuz 9338  ℝ+crp 9453  seqcseq 10230  ↑cexp 10304  abscabs 10781   ⇝ cli 11059  Σcsu 11134 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-ico 9689  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-ihash 10534  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-clim 11060  df-sumdc 11135 This theorem is referenced by:  trilpolemgt1  13293  trilpolemeq1  13294
 Copyright terms: Public domain W3C validator