Theorem sin4lt0 12333

Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin4lt0	⊢ (sin‘4) < 0

Proof of Theorem sin4lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 9298	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
2	1	fveq2i 5642	. . 3 ⊢ (sin‘(2 · 2)) = (sin‘4)
3		2cn 9214	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		sin2t 12315	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 2)) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (sin‘(2 · 2)) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2)))
6	2, 5	eqtr3i 2254	. 2 ⊢ (sin‘4) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2)))
7		sincos2sgn 12332	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
8	7	simpri 113	. . . . . 6 ⊢ (cos‘2) < 0
9		2re 9213	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		recoscl 12287	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ → (cos‘2) ∈ ℝ)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘2) ∈ ℝ
12		0re 8179	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		resincl 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ → (sin‘2) ∈ ℝ)
14	9, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘2) ∈ ℝ
15	7	simpli 111	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (sin‘2)
16	14, 15	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ ((sin‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘2))
17		ltmul2 9036	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((sin‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘2))) → ((cos‘2) < 0 ↔ ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0)))
18	11, 12, 16, 17	mp3an 1373	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘2) < 0 ↔ ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0))
19	8, 18	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0)
20	14	recni 8191	. . . . . 6 ⊢ (sin‘2) ∈ ℂ
21	20	mul01i 8570	. . . . 5 ⊢ ((sin‘2) · 0) = 0
22	19, 21	breqtri 4113	. . . 4 ⊢ ((sin‘2) · (cos‘2)) < 0
23	14, 11	remulcli 8193	. . . . 5 ⊢ ((sin‘2) · (cos‘2)) ∈ ℝ
24		2pos 9234	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
25	9, 24	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
26		ltmul2 9036	. . . . 5 ⊢ ((((sin‘2) · (cos‘2)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((sin‘2) · (cos‘2)) < 0 ↔ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0)))
27	23, 12, 25, 26	mp3an 1373	. . . 4 ⊢ (((sin‘2) · (cos‘2)) < 0 ↔ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0))
28	22, 27	mpbi 145	. . 3 ⊢ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0)
29	3	mul01i 8570	. . 3 ⊢ (2 · 0) = 0
30	28, 29	breqtri 4113	. 2 ⊢ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < 0
31	6, 30	eqbrtri 4109	1 ⊢ (sin‘4) < 0

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032   · cmul 8037   < clt 8214  2c2 9194  4c4 9196  sincsin 12210  cosccos 12211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-ioc 10128  df-ico 10129  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-fac 10989  df-bc 11011  df-ihash 11039  df-shft 11380  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-clim 11844  df-sumdc 11919  df-ef 12214  df-sin 12216  df-cos 12217

This theorem is referenced by: (None)