Theorem sin4lt0 11716

Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin4lt0	⊢ (sin‘4) < 0

Proof of Theorem sin4lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 9019	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
2	1	fveq2i 5497	. . 3 ⊢ (sin‘(2 · 2)) = (sin‘4)
3		2cn 8936	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		sin2t 11699	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 2)) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (sin‘(2 · 2)) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2)))
6	2, 5	eqtr3i 2193	. 2 ⊢ (sin‘4) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2)))
7		sincos2sgn 11715	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
8	7	simpri 112	. . . . . 6 ⊢ (cos‘2) < 0
9		2re 8935	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		recoscl 11671	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ → (cos‘2) ∈ ℝ)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘2) ∈ ℝ
12		0re 7907	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		resincl 11670	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ → (sin‘2) ∈ ℝ)
14	9, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘2) ∈ ℝ
15	7	simpli 110	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (sin‘2)
16	14, 15	pm3.2i 270	. . . . . . 7 ⊢ ((sin‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘2))
17		ltmul2 8759	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((sin‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘2))) → ((cos‘2) < 0 ↔ ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0)))
18	11, 12, 16, 17	mp3an 1332	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘2) < 0 ↔ ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0))
19	8, 18	mpbi 144	. . . . 5 ⊢ ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0)
20	14	recni 7919	. . . . . 6 ⊢ (sin‘2) ∈ ℂ
21	20	mul01i 8297	. . . . 5 ⊢ ((sin‘2) · 0) = 0
22	19, 21	breqtri 4012	. . . 4 ⊢ ((sin‘2) · (cos‘2)) < 0
23	14, 11	remulcli 7921	. . . . 5 ⊢ ((sin‘2) · (cos‘2)) ∈ ℝ
24		2pos 8956	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
25	9, 24	pm3.2i 270	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
26		ltmul2 8759	. . . . 5 ⊢ ((((sin‘2) · (cos‘2)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((sin‘2) · (cos‘2)) < 0 ↔ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0)))
27	23, 12, 25, 26	mp3an 1332	. . . 4 ⊢ (((sin‘2) · (cos‘2)) < 0 ↔ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0))
28	22, 27	mpbi 144	. . 3 ⊢ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0)
29	3	mul01i 8297	. . 3 ⊢ (2 · 0) = 0
30	28, 29	breqtri 4012	. 2 ⊢ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < 0
31	6, 30	eqbrtri 4008	1 ⊢ (sin‘4) < 0

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  ‘cfv 5196  (class class class)co 5850  ℂcc 7759  ℝcr 7760  0cc0 7761   · cmul 7766   < clt 7941  2c2 8916  4c4 8918  sincsin 11594  cosccos 11595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-disj 3965  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-sup 6957  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-5 8927  df-6 8928  df-7 8929  df-8 8930  df-9 8931  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-ioc 9837  df-ico 9838  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-fac 10647  df-bc 10669  df-ihash 10697  df-shft 10766  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-sumdc 11304  df-ef 11598  df-sin 11600  df-cos 11601

This theorem is referenced by: (None)