Theorem sin4lt0 11221

Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin4lt0	⊢ (sin‘4) < 0

Proof of Theorem sin4lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 8668	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
2	1	fveq2i 5343	. . 3 ⊢ (sin‘(2 · 2)) = (sin‘4)
3		2cn 8591	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		sin2t 11204	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 2)) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))))
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (sin‘(2 · 2)) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2)))
6	2, 5	eqtr3i 2117	. 2 ⊢ (sin‘4) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2)))
7		sincos2sgn 11220	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
8	7	simpri 112	. . . . . 6 ⊢ (cos‘2) < 0
9		2re 8590	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		recoscl 11176	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ → (cos‘2) ∈ ℝ)
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘2) ∈ ℝ
12		0re 7585	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		resincl 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ → (sin‘2) ∈ ℝ)
14	9, 13	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘2) ∈ ℝ
15	7	simpli 110	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (sin‘2)
16	14, 15	pm3.2i 267	. . . . . . 7 ⊢ ((sin‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘2))
17		ltmul2 8414	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((sin‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘2))) → ((cos‘2) < 0 ↔ ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0)))
18	11, 12, 16, 17	mp3an 1280	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘2) < 0 ↔ ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0))
19	8, 18	mpbi 144	. . . . 5 ⊢ ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0)
20	14	recni 7597	. . . . . 6 ⊢ (sin‘2) ∈ ℂ
21	20	mul01i 7966	. . . . 5 ⊢ ((sin‘2) · 0) = 0
22	19, 21	breqtri 3890	. . . 4 ⊢ ((sin‘2) · (cos‘2)) < 0
23	14, 11	remulcli 7599	. . . . 5 ⊢ ((sin‘2) · (cos‘2)) ∈ ℝ
24		2pos 8611	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
25	9, 24	pm3.2i 267	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
26		ltmul2 8414	. . . . 5 ⊢ ((((sin‘2) · (cos‘2)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((sin‘2) · (cos‘2)) < 0 ↔ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0)))
27	23, 12, 25, 26	mp3an 1280	. . . 4 ⊢ (((sin‘2) · (cos‘2)) < 0 ↔ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0))
28	22, 27	mpbi 144	. . 3 ⊢ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0)
29	3	mul01i 7966	. . 3 ⊢ (2 · 0) = 0
30	28, 29	breqtri 3890	. 2 ⊢ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < 0
31	6, 30	eqbrtri 3886	1 ⊢ (sin‘4) < 0

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  ℝcr 7446  0cc0 7447   · cmul 7452   < clt 7619  2c2 8571  4c4 8573  sincsin 11098  cosccos 11099

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-disj 3845  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-isom 5058  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-frec 6194  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540  df-sup 6759  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-5 8582  df-6 8583  df-7 8584  df-8 8585  df-9 8586  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-ioc 9459  df-ico 9460  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-fac 10265  df-bc 10287  df-ihash 10315  df-shft 10380  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563  df-clim 10838  df-sumdc 10912  df-ef 11102  df-sin 11104  df-cos 11105

This theorem is referenced by: (None)