ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sin4lt0 GIF version

Theorem sin4lt0 11500
Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sin4lt0 (sin‘4) < 0

Proof of Theorem sin4lt0
StepHypRef Expression
1 2t2e4 8894 . . . 4 (2 · 2) = 4
21fveq2i 5428 . . 3 (sin‘(2 · 2)) = (sin‘4)
3 2cn 8811 . . . 4 2 ∈ ℂ
4 sin2t 11483 . . . 4 (2 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 2)) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))))
53, 4ax-mp 5 . . 3 (sin‘(2 · 2)) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2)))
62, 5eqtr3i 2163 . 2 (sin‘4) = (2 · ((sin‘2) · (cos‘2)))
7 sincos2sgn 11499 . . . . . . 7 (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
87simpri 112 . . . . . 6 (cos‘2) < 0
9 2re 8810 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
10 recoscl 11455 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ → (cos‘2) ∈ ℝ)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (cos‘2) ∈ ℝ
12 0re 7786 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
13 resincl 11454 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ → (sin‘2) ∈ ℝ)
149, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (sin‘2) ∈ ℝ
157simpli 110 . . . . . . . 8 0 < (sin‘2)
1614, 15pm3.2i 270 . . . . . . 7 ((sin‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘2))
17 ltmul2 8634 . . . . . . 7 (((cos‘2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((sin‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘2))) → ((cos‘2) < 0 ↔ ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0)))
1811, 12, 16, 17mp3an 1316 . . . . . 6 ((cos‘2) < 0 ↔ ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0))
198, 18mpbi 144 . . . . 5 ((sin‘2) · (cos‘2)) < ((sin‘2) · 0)
2014recni 7798 . . . . . 6 (sin‘2) ∈ ℂ
2120mul01i 8173 . . . . 5 ((sin‘2) · 0) = 0
2219, 21breqtri 3957 . . . 4 ((sin‘2) · (cos‘2)) < 0
2314, 11remulcli 7800 . . . . 5 ((sin‘2) · (cos‘2)) ∈ ℝ
24 2pos 8831 . . . . . 6 0 < 2
259, 24pm3.2i 270 . . . . 5 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
26 ltmul2 8634 . . . . 5 ((((sin‘2) · (cos‘2)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((sin‘2) · (cos‘2)) < 0 ↔ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0)))
2723, 12, 25, 26mp3an 1316 . . . 4 (((sin‘2) · (cos‘2)) < 0 ↔ (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0))
2822, 27mpbi 144 . . 3 (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < (2 · 0)
293mul01i 8173 . . 3 (2 · 0) = 0
3028, 29breqtri 3957 . 2 (2 · ((sin‘2) · (cos‘2))) < 0
316, 30eqbrtri 3953 1 (sin‘4) < 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3933  cfv 5127  (class class class)co 5778  cc 7638  cr 7639  0cc0 7640   · cmul 7645   < clt 7820  2c2 8791  4c4 8793  sincsin 11378  cosccos 11379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-mulrcl 7739  ax-addcom 7740  ax-mulcom 7741  ax-addass 7742  ax-mulass 7743  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-1rid 7747  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-precex 7750  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-apti 7755  ax-pre-ltadd 7756  ax-pre-mulgt0 7757  ax-pre-mulext 7758  ax-arch 7759  ax-caucvg 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-if 3476  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-disj 3911  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-iord 4292  df-on 4294  df-ilim 4295  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-isom 5136  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6206  df-irdg 6271  df-frec 6292  df-1o 6317  df-oadd 6321  df-er 6433  df-en 6639  df-dom 6640  df-fin 6641  df-sup 6875  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-reap 8357  df-ap 8364  df-div 8453  df-inn 8741  df-2 8799  df-3 8800  df-4 8801  df-5 8802  df-6 8803  df-7 8804  df-8 8805  df-9 8806  df-n0 8998  df-z 9075  df-uz 9347  df-q 9435  df-rp 9467  df-ioc 9702  df-ico 9703  df-fz 9818  df-fzo 9947  df-seqfrec 10246  df-exp 10320  df-fac 10500  df-bc 10522  df-ihash 10550  df-shft 10615  df-cj 10642  df-re 10643  df-im 10644  df-rsqrt 10798  df-abs 10799  df-clim 11076  df-sumdc 11151  df-ef 11382  df-sin 11384  df-cos 11385
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator