Theorem numlti 9652

Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numlti.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ
numlti.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
numlti.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numlti.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numlti.5	⊢ 𝐶 < 𝑇

Assertion

Ref	Expression
numlti	⊢ 𝐶 < ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)

Proof of Theorem numlti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numlti.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ
2	1	nnnn0i 9415	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
3		numlti.4	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4	2, 3	num0h 9627	. 2 ⊢ 𝐶 = ((𝑇 · 0) + 𝐶)
5		0nn0 9422	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		numlti.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
7	6	nnnn0i 9415	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8		numlti.3	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
9		numlti.5	. . 3 ⊢ 𝐶 < 𝑇
10	6	nngt0i 9178	. . 3 ⊢ 0 < 𝐴
11	1, 5, 7, 3, 8, 9, 10	numltc 9641	. 2 ⊢ ((𝑇 · 0) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
12	4, 11	eqbrtri 4110	1 ⊢ 𝐶 < ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)

Syntax hints:   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  0cc0 8037   + caddc 8040   · cmul 8042   < clt 8219  ℕcn 9148  ℕ₀cn0 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485

This theorem is referenced by:  declti  9653  dec5nprm  13010  dec2nprm  13011