Theorem ex-fl 14963

Description: Example for df-fl 10307. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7991	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 9028	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 9202	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 9025	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 7995	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 9124	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 4042	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 9045	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 9024	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 8914	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 145	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 8095	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 9126	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 9108	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4048	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 8868	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1348	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 9013	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4046	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 9317	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 9115	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 9660	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 9314	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 10327	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 944	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 8254	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 8254	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 8485	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 8095	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 8260	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 7939	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 8250	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 8262	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 5910	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2210	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 9072	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 4042	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 4042	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 8005	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 8491	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 145	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 9672	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 9316	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 9319	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 10327	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 944	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 272	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4021  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900  ℂcc 7844  ℝcr 7845  0cc0 7846  1c1 7847   + caddc 7849   · cmul 7851   < clt 8027   ≤ cle 8028   − cmin 8163  -cneg 8164   / cdiv 8664  ℕcn 8954  2c2 9005  3c3 9006  4c4 9007  ℤcz 9288  ℚcq 9655  ⌊cfl 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-n0 9212  df-z 9289  df-q 9656  df-rp 9690  df-fl 10307

This theorem is referenced by:  ex-ceil  14964