Theorem ex-fl 15775

Description: Example for df-fl 10426. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8084	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 9123	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 9299	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 9120	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 8088	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 9220	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 4069	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 9140	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 9119	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 9008	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 145	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 8188	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 9222	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 9204	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4075	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 8962	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1350	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 9108	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4073	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 9414	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 9211	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 9758	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 9411	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 10446	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 945	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 8347	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 8347	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 8579	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 8188	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 8353	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 8031	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 8343	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 8355	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 5964	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2227	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 9167	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 4069	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 4069	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 8098	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 8585	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 145	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 9770	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 9413	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 9416	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 10446	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 945	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 272	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4048  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  ℂcc 7936  ℝcr 7937  0cc0 7938  1c1 7939   + caddc 7941   · cmul 7943   < clt 8120   ≤ cle 8121   − cmin 8256  -cneg 8257   / cdiv 8758  ℕcn 9049  2c2 9100  3c3 9101  4c4 9102  ℤcz 9385  ℚcq 9753  ⌊cfl 10424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-n0 9309  df-z 9386  df-q 9754  df-rp 9789  df-fl 10426

This theorem is referenced by:  ex-ceil  15776