ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-fl GIF version

Theorem ex-fl 14133
Description: Example for df-fl 10256. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 7947 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 8982 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 9156 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 8979 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mulid2i 7951 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 9078 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 4021 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 8999 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 8978 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 8868 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 145 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 8050 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 9080 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 9062 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 4027 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 272 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 8822 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1337 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 146 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 8967 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 4025 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 3z 9271 . . . . 5 3 ∈ ℤ
24 2nn 9069 . . . . 5 2 ∈ ℕ
25 znq 9613 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
2623, 24, 25mp2an 426 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℚ
27 1z 9268 . . . 4 1 ∈ ℤ
28 flqbi 10276 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
2926, 27, 28mp2an 426 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
3013, 22, 29mpbir2an 942 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
319renegcli 8209 . . . 4 -2 ∈ ℝ
323renegcli 8209 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
333, 9ltnegi 8440 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3420, 33mpbi 145 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3531, 32, 34ltleii 8050 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
364negcli 8215 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
37 ax-1cn 7895 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
38 negdi2 8205 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3936, 37, 38mp2an 426 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
404negnegi 8217 . . . . . . 7 --2 = 2
4140oveq1i 5879 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
4239, 41eqtri 2198 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
43 2m1e1 9026 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4443, 12eqbrtri 4021 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4542, 44eqbrtri 4021 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4631, 1readdcli 7961 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4746, 3ltnegcon1i 8446 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4845, 47mpbi 145 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
49 qnegcl 9625 . . . . 5 ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
5026, 49ax-mp 5 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℚ
51 2z 9270 . . . . 5 2 ∈ ℤ
52 znegcl 9273 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
5351, 52ax-mp 5 . . . 4 -2 ∈ ℤ
54 flqbi 10276 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
5550, 53, 54mp2an 426 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5635, 48, 55mpbir2an 942 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5730, 56pm3.2i 272 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118  -cneg 8119   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  3c3 8960  4c4 8961  cz 9242  cq 9608  cfl 10254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-q 9609  df-rp 9641  df-fl 10256
This theorem is referenced by:  ex-ceil  14134
  Copyright terms: Public domain W3C validator