Theorem ex-fl 16622

Description: Example for df-fl 10657. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8289	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 9331	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 9507	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 9328	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 8293	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 9428	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 4135	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 9348	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 9327	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 9216	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 145	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 8392	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 9430	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 9412	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4141	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 9170	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1374	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 9316	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4139	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 9626	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 9419	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 9977	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 9623	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 10677	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 951	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 8552	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 8552	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 8785	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 8392	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 8558	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 8236	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 8548	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 8560	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 6068	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2255	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 9375	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 4135	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 4135	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 8303	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 8791	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 145	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 9989	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 9625	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 9628	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 10677	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 951	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 272	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   < clt 8324   ≤ cle 8325   − cmin 8461  -cneg 8462   / cdiv 8966  ℕcn 9257  2c2 9308  3c3 9309  4c4 9310  ℤcz 9597  ℚcq 9972  ⌊cfl 10655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-n0 9517  df-z 9598  df-q 9973  df-rp 10008  df-fl 10657

This theorem is referenced by:  ex-ceil  16623