Theorem ex-fl 12621

Description: Example for df-fl 9930. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7683	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 8698	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 8866	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 8695	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 7687	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 8788	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 3912	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 8715	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 8694	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 8584	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 144	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 7783	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 8790	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 8772	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 3918	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 268	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 8538	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1296	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 145	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 8683	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 3916	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 8981	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 8779	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 9312	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 420	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 8978	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 9950	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 420	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 907	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 7941	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 7941	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 8168	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 144	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 7783	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 7947	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 7632	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 7937	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 420	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 7949	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 5736	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2133	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 8742	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 3912	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 3912	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 7697	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 8174	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 144	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 9324	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 8980	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 8983	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 9950	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 420	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 907	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 268	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1312   ∈ wcel 1461   class class class wbr 3893  ‘cfv 5079  (class class class)co 5726  ℂcc 7539  ℝcr 7540  0cc0 7541  1c1 7542   + caddc 7544   · cmul 7546   < clt 7718   ≤ cle 7719   − cmin 7850  -cneg 7851   / cdiv 8339  ℕcn 8624  2c2 8675  3c3 8676  4c4 8677  ℤcz 8952  ℚcq 9307  ⌊cfl 9928

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-n0 8876  df-z 8953  df-q 9308  df-rp 9338  df-fl 9930

This theorem is referenced by:  ex-ceil  12622