ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-fl GIF version

Theorem ex-fl 16338
Description: Example for df-fl 10531. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 8178 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 9217 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 9393 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 9214 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mullidi 8182 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 9314 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 4109 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 9234 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 9213 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 9102 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 145 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 8282 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 9316 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 9298 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 4115 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 272 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 9056 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1373 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 146 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 9202 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 4113 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 3z 9508 . . . . 5 3 ∈ ℤ
24 2nn 9305 . . . . 5 2 ∈ ℕ
25 znq 9858 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
2623, 24, 25mp2an 426 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℚ
27 1z 9505 . . . 4 1 ∈ ℤ
28 flqbi 10551 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
2926, 27, 28mp2an 426 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
3013, 22, 29mpbir2an 950 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
319renegcli 8441 . . . 4 -2 ∈ ℝ
323renegcli 8441 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
333, 9ltnegi 8673 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3420, 33mpbi 145 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3531, 32, 34ltleii 8282 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
364negcli 8447 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
37 ax-1cn 8125 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
38 negdi2 8437 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3936, 37, 38mp2an 426 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
404negnegi 8449 . . . . . . 7 --2 = 2
4140oveq1i 6028 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
4239, 41eqtri 2252 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
43 2m1e1 9261 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4443, 12eqbrtri 4109 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4542, 44eqbrtri 4109 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4631, 1readdcli 8192 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4746, 3ltnegcon1i 8679 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4845, 47mpbi 145 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
49 qnegcl 9870 . . . . 5 ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
5026, 49ax-mp 5 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℚ
51 2z 9507 . . . . 5 2 ∈ ℤ
52 znegcl 9510 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
5351, 52ax-mp 5 . . . 4 -2 ∈ ℤ
54 flqbi 10551 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
5550, 53, 54mp2an 426 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5635, 48, 55mpbir2an 950 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5730, 56pm3.2i 272 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1397  wcel 2202   class class class wbr 4088  cfv 5326  (class class class)co 6018  cc 8030  cr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037   < clt 8214  cle 8215  cmin 8350  -cneg 8351   / cdiv 8852  cn 9143  2c2 9194  3c3 9195  4c4 9196  cz 9479  cq 9853  cfl 10529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-q 9854  df-rp 9889  df-fl 10531
This theorem is referenced by:  ex-ceil  16339
  Copyright terms: Public domain W3C validator