Theorem ex-fl 13616

Description: Example for df-fl 10205. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7898	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 8931	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 9105	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 8928	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 7902	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 9027	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 4003	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 8948	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 8927	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 8817	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 144	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 8001	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 9029	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 9011	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4009	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 270	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 8771	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1327	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 145	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 8916	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4007	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 9220	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 9018	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 9562	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 423	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 9217	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 10225	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 423	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 932	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 8160	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 8160	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 8391	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 144	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 8001	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 8166	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 7846	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 8156	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 423	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 8168	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 5852	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2186	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 8975	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 4003	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 4003	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 7912	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 8397	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 144	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 9574	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 9219	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 9222	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 10225	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 423	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 932	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 270	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   < clt 7933   ≤ cle 7934   − cmin 8069  -cneg 8070   / cdiv 8568  ℕcn 8857  2c2 8908  3c3 8909  4c4 8910  ℤcz 9191  ℚcq 9557  ⌊cfl 10203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-q 9558  df-rp 9590  df-fl 10205

This theorem is referenced by:  ex-ceil  13617