ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-fl GIF version

Theorem ex-fl 11098
Description: Example for df-fl 9605. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 7431 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 8431 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 8597 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 8428 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mulid2i 7435 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 8520 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 3839 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 8448 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 8427 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 8318 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 7 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 143 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 7531 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 8522 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 8504 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 3845 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 266 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 8272 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1271 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 144 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 8416 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 3843 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 3z 8712 . . . . 5 3 ∈ ℤ
24 2nn 8511 . . . . 5 2 ∈ ℕ
25 znq 9041 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
2623, 24, 25mp2an 417 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℚ
27 1z 8709 . . . 4 1 ∈ ℤ
28 flqbi 9625 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
2926, 27, 28mp2an 417 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
3013, 22, 29mpbir2an 886 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
319renegcli 7688 . . . 4 -2 ∈ ℝ
323renegcli 7688 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
333, 9ltnegi 7912 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3420, 33mpbi 143 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3531, 32, 34ltleii 7531 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
364negcli 7694 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
37 ax-1cn 7382 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
38 negdi2 7684 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3936, 37, 38mp2an 417 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
404negnegi 7696 . . . . . . 7 --2 = 2
4140oveq1i 5623 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
4239, 41eqtri 2105 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
43 2m1e1 8474 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4443, 12eqbrtri 3839 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4542, 44eqbrtri 3839 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4631, 1readdcli 7445 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4746, 3ltnegcon1i 7918 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4845, 47mpbi 143 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
49 qnegcl 9053 . . . . 5 ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
5026, 49ax-mp 7 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℚ
51 2z 8711 . . . . 5 2 ∈ ℤ
52 znegcl 8714 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
5351, 52ax-mp 7 . . . 4 -2 ∈ ℤ
54 flqbi 9625 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
5550, 53, 54mp2an 417 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5635, 48, 55mpbir2an 886 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5730, 56pm3.2i 266 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3820  cfv 4981  (class class class)co 5613  cc 7292  cr 7293  0cc0 7294  1c1 7295   + caddc 7297   · cmul 7299   < clt 7466  cle 7467  cmin 7597  -cneg 7598   / cdiv 8078  cn 8357  2c2 8407  3c3 8408  4c4 8409  cz 8683  cq 9036  cfl 9603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-3 8417  df-4 8418  df-n0 8607  df-z 8684  df-q 9037  df-rp 9067  df-fl 9605
This theorem is referenced by:  ex-ceil  11099
  Copyright terms: Public domain W3C validator