Theorem ex-fl 15287

Description: Example for df-fl 10342. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8020	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 9058	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 9234	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 9055	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 8024	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 9155	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 4051	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 9075	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 9054	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 8943	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 145	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 8124	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 9157	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 9139	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4057	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 8897	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1348	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 9043	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4055	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 9349	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 9146	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 9692	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 9346	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 10362	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 944	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 8283	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 8283	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 8514	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 8124	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 8289	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 7967	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 8279	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 8291	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 5929	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2214	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 9102	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 4051	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 4051	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 8034	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 8520	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 145	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 9704	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 9348	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 9351	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 10362	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 944	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 272	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879   < clt 8056   ≤ cle 8057   − cmin 8192  -cneg 8193   / cdiv 8693  ℕcn 8984  2c2 9035  3c3 9036  4c4 9037  ℤcz 9320  ℚcq 9687  ⌊cfl 10340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-q 9688  df-rp 9723  df-fl 10342

This theorem is referenced by:  ex-ceil  15288