Theorem ex-fl 14248

Description: Example for df-fl 10263. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7951	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 8987	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 9161	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 8984	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 7955	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 9083	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 4022	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 9004	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 8983	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 8873	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 145	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 8054	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 9085	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 9067	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4028	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 8827	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1337	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 8972	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4026	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 9276	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 9074	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 9618	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 9273	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 10283	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 942	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 8213	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 8213	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 8444	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 8054	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 8219	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 7899	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 8209	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 8221	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 5880	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2198	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 9031	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 4022	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 4022	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 7965	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 8450	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 145	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 9630	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 9275	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 9278	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 10283	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 942	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 272	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4001  ‘cfv 5213  (class class class)co 5870  ℂcc 7804  ℝcr 7805  0cc0 7806  1c1 7807   + caddc 7809   · cmul 7811   < clt 7986   ≤ cle 7987   − cmin 8122  -cneg 8123   / cdiv 8623  ℕcn 8913  2c2 8964  3c3 8965  4c4 8966  ℤcz 9247  ℚcq 9613  ⌊cfl 10261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-mulrcl 7905  ax-addcom 7906  ax-mulcom 7907  ax-addass 7908  ax-mulass 7909  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-1rid 7913  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-precex 7916  ax-cnre 7917  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-apti 7921  ax-pre-ltadd 7922  ax-pre-mulgt0 7923  ax-pre-mulext 7924  ax-arch 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-po 4294  df-iso 4295  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-fv 5221  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-sub 8124  df-neg 8125  df-reap 8526  df-ap 8533  df-div 8624  df-inn 8914  df-2 8972  df-3 8973  df-4 8974  df-n0 9171  df-z 9248  df-q 9614  df-rp 9648  df-fl 10263

This theorem is referenced by:  ex-ceil  14249