Theorem ex-fl 13760

Description: Example for df-fl 10226. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7919	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 8952	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 9126	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 8949	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 7923	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 9048	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 4010	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 8969	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 8948	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 8838	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 144	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 8022	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 9050	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 9032	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4016	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 270	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 8792	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1332	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 145	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 8937	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4014	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 9241	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 9039	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 9583	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 424	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 9238	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 10246	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 424	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 937	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 8181	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 8181	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 8412	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 144	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 8022	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 8187	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 7867	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 8177	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 424	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 8189	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 5863	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2191	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 8996	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 4010	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 4010	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 7933	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 8418	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 144	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 9595	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 9240	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 9243	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 10246	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 424	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 937	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 270	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954   ≤ cle 7955   − cmin 8090  -cneg 8091   / cdiv 8589  ℕcn 8878  2c2 8929  3c3 8930  4c4 8931  ℤcz 9212  ℚcq 9578  ⌊cfl 10224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226

This theorem is referenced by:  ex-ceil  13761