Theorem ex-fl 16480

Description: Example for df-fl 10626. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8269	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 9307	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 9483	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 9304	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 8273	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 9404	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 4129	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 9324	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 9303	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 9192	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 145	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 8372	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 9406	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 9388	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4135	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 9146	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1374	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 9292	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4133	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 9602	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 9395	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 9952	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 9599	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 10646	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 951	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 8531	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 8531	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 8763	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 8372	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 8537	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 8216	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 8527	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 8539	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 6059	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2253	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 9351	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 4129	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 4129	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 8283	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 8769	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 145	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 9964	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 9601	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 9604	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 10646	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 951	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 272	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  ℝcr 8122  0cc0 8123  1c1 8124   + caddc 8126   · cmul 8128   < clt 8304   ≤ cle 8305   − cmin 8440  -cneg 8441   / cdiv 8942  ℕcn 9233  2c2 9284  3c3 9285  4c4 9286  ℤcz 9573  ℚcq 9947  ⌊cfl 10624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-z 9574  df-q 9948  df-rp 9983  df-fl 10626

This theorem is referenced by:  ex-ceil  16481