Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-fl GIF version

Theorem ex-fl 13108
 Description: Example for df-fl 10074. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 7789 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 8818 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 8992 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 8815 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mulid2i 7793 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 8914 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 3957 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 8835 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 8814 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 8704 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 144 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 7890 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 8916 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 8898 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 3963 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 270 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 8658 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1316 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 145 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 8803 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 3961 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 3z 9107 . . . . 5 3 ∈ ℤ
24 2nn 8905 . . . . 5 2 ∈ ℕ
25 znq 9443 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
2623, 24, 25mp2an 423 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℚ
27 1z 9104 . . . 4 1 ∈ ℤ
28 flqbi 10094 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
2926, 27, 28mp2an 423 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
3013, 22, 29mpbir2an 927 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
319renegcli 8048 . . . 4 -2 ∈ ℝ
323renegcli 8048 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
333, 9ltnegi 8279 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3420, 33mpbi 144 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3531, 32, 34ltleii 7890 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
364negcli 8054 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
37 ax-1cn 7737 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
38 negdi2 8044 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3936, 37, 38mp2an 423 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
404negnegi 8056 . . . . . . 7 --2 = 2
4140oveq1i 5792 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
4239, 41eqtri 2161 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
43 2m1e1 8862 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4443, 12eqbrtri 3957 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4542, 44eqbrtri 3957 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4631, 1readdcli 7803 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4746, 3ltnegcon1i 8285 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4845, 47mpbi 144 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
49 qnegcl 9455 . . . . 5 ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
5026, 49ax-mp 5 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℚ
51 2z 9106 . . . . 5 2 ∈ ℤ
52 znegcl 9109 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
5351, 52ax-mp 5 . . . 4 -2 ∈ ℤ
54 flqbi 10094 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
5550, 53, 54mp2an 423 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5635, 48, 55mpbir2an 927 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5730, 56pm3.2i 270 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  ℝcr 7643  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   · cmul 7649   < clt 7824   ≤ cle 7825   − cmin 7957  -cneg 7958   / cdiv 8456  ℕcn 8744  2c2 8795  3c3 8796  4c4 8797  ℤcz 9078  ℚcq 9438  ⌊cfl 10072 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-q 9439  df-rp 9471  df-fl 10074 This theorem is referenced by:  ex-ceil  13109
 Copyright terms: Public domain W3C validator