ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-fl GIF version

Theorem ex-fl 14046
Description: Example for df-fl 10240. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 7931 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 8966 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 9140 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 8963 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mulid2i 7935 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 9062 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 4019 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 8983 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 8962 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 8852 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 145 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 8034 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 9064 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 9046 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 4025 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 272 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 8806 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1337 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 146 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 8951 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 4023 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 3z 9255 . . . . 5 3 ∈ ℤ
24 2nn 9053 . . . . 5 2 ∈ ℕ
25 znq 9597 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
2623, 24, 25mp2an 426 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℚ
27 1z 9252 . . . 4 1 ∈ ℤ
28 flqbi 10260 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
2926, 27, 28mp2an 426 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
3013, 22, 29mpbir2an 942 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
319renegcli 8193 . . . 4 -2 ∈ ℝ
323renegcli 8193 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
333, 9ltnegi 8424 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3420, 33mpbi 145 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3531, 32, 34ltleii 8034 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
364negcli 8199 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
37 ax-1cn 7879 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
38 negdi2 8189 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3936, 37, 38mp2an 426 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
404negnegi 8201 . . . . . . 7 --2 = 2
4140oveq1i 5875 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
4239, 41eqtri 2196 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
43 2m1e1 9010 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4443, 12eqbrtri 4019 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4542, 44eqbrtri 4019 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4631, 1readdcli 7945 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4746, 3ltnegcon1i 8430 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4845, 47mpbi 145 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
49 qnegcl 9609 . . . . 5 ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
5026, 49ax-mp 5 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℚ
51 2z 9254 . . . . 5 2 ∈ ℤ
52 znegcl 9257 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
5351, 52ax-mp 5 . . . 4 -2 ∈ ℤ
54 flqbi 10260 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
5550, 53, 54mp2an 426 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5635, 48, 55mpbir2an 942 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5730, 56pm3.2i 272 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2146   class class class wbr 3998  cfv 5208  (class class class)co 5865  cc 7784  cr 7785  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   · cmul 7791   < clt 7966  cle 7967  cmin 8102  -cneg 8103   / cdiv 8602  cn 8892  2c2 8943  3c3 8944  4c4 8945  cz 9226  cq 9592  cfl 10238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-q 9593  df-rp 9625  df-fl 10240
This theorem is referenced by:  ex-ceil  14047
  Copyright terms: Public domain W3C validator