Theorem ex-fl 16751

Description: Example for df-fl 10707. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8325	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 9379	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 9556	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 9376	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 8329	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 9477	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 4151	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 9396	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 9375	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 9253	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 145	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 8428	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 9479	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 9460	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4157	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 9207	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1378	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 9364	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4155	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 9675	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 9468	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 10026	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 430	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 9672	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 10727	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 430	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 955	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 8588	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 8588	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 8821	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 8428	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 8594	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 8272	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 8584	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 430	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 8596	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 6095	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2259	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 9423	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 4151	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 4151	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 8339	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 8827	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 145	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 10038	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 9674	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 9677	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 10727	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 430	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 955	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 272	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184   < clt 8360   ≤ cle 8361   − cmin 8497  -cneg 8498   / cdiv 9003  ℕcn 9305  2c2 9356  3c3 9357  4c4 9358  ℤcz 9646  ℚcq 10021  ⌊cfl 10705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-q 10022  df-rp 10057  df-fl 10707

This theorem is used by:  ex-ceil  16752