Theorem ex-fl 15999

Description: Example for df-fl 10457. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8113	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 9152	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 9328	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 9149	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 8117	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 9249	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 4083	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 9169	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 9148	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 9037	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 145	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 8217	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 9251	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 9233	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4089	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 8991	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1352	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 9137	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4087	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 9443	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 9240	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 9787	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 9440	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 10477	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 947	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 8376	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 8376	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 8608	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 8217	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 8382	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 8060	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 8372	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 8384	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 5984	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2230	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 9196	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 4083	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 4083	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 8127	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 8614	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 145	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 9799	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 9442	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 9445	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 10477	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 947	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 272	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℂcc 7965  ℝcr 7966  0cc0 7967  1c1 7968   + caddc 7970   · cmul 7972   < clt 8149   ≤ cle 8150   − cmin 8285  -cneg 8286   / cdiv 8787  ℕcn 9078  2c2 9129  3c3 9130  4c4 9131  ℤcz 9414  ℚcq 9782  ⌊cfl 10455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-q 9783  df-rp 9818  df-fl 10457

This theorem is referenced by:  ex-ceil  16000