ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-fl GIF version

Theorem ex-fl 12621
Description: Example for df-fl 9930. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 7683 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 8698 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 8866 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 8695 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mulid2i 7687 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 8788 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 3912 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 8715 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 8694 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 8584 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 7 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 144 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 7783 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 8790 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 8772 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 3918 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 268 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 8538 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1296 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 145 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 8683 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 3916 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 3z 8981 . . . . 5 3 ∈ ℤ
24 2nn 8779 . . . . 5 2 ∈ ℕ
25 znq 9312 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
2623, 24, 25mp2an 420 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℚ
27 1z 8978 . . . 4 1 ∈ ℤ
28 flqbi 9950 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
2926, 27, 28mp2an 420 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
3013, 22, 29mpbir2an 907 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
319renegcli 7941 . . . 4 -2 ∈ ℝ
323renegcli 7941 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
333, 9ltnegi 8168 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3420, 33mpbi 144 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3531, 32, 34ltleii 7783 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
364negcli 7947 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
37 ax-1cn 7632 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
38 negdi2 7937 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3936, 37, 38mp2an 420 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
404negnegi 7949 . . . . . . 7 --2 = 2
4140oveq1i 5736 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
4239, 41eqtri 2133 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
43 2m1e1 8742 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4443, 12eqbrtri 3912 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4542, 44eqbrtri 3912 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4631, 1readdcli 7697 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4746, 3ltnegcon1i 8174 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4845, 47mpbi 144 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
49 qnegcl 9324 . . . . 5 ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
5026, 49ax-mp 7 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℚ
51 2z 8980 . . . . 5 2 ∈ ℤ
52 znegcl 8983 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
5351, 52ax-mp 7 . . . 4 -2 ∈ ℤ
54 flqbi 9950 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
5550, 53, 54mp2an 420 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5635, 48, 55mpbir2an 907 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5730, 56pm3.2i 268 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1312  wcel 1461   class class class wbr 3893  cfv 5079  (class class class)co 5726  cc 7539  cr 7540  0cc0 7541  1c1 7542   + caddc 7544   · cmul 7546   < clt 7718  cle 7719  cmin 7850  -cneg 7851   / cdiv 8339  cn 8624  2c2 8675  3c3 8676  4c4 8677  cz 8952  cq 9307  cfl 9928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-n0 8876  df-z 8953  df-q 9308  df-rp 9338  df-fl 9930
This theorem is referenced by:  ex-ceil  12622
  Copyright terms: Public domain W3C validator