ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-fl GIF version

Theorem ex-fl 10996
Description: Example for df-fl 9566. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 7390 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 8390 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 8556 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 8387 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mulid2i 7394 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 8479 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 3830 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 8407 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 8386 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 8277 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 7 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 143 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 7490 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 8481 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 8463 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 3836 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 266 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 8231 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1269 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 144 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 8375 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 3834 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 3z 8675 . . . . 5 3 ∈ ℤ
24 2nn 8470 . . . . 5 2 ∈ ℕ
25 znq 9004 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
2623, 24, 25mp2an 417 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℚ
27 1z 8672 . . . 4 1 ∈ ℤ
28 flqbi 9586 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
2926, 27, 28mp2an 417 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
3013, 22, 29mpbir2an 884 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
319renegcli 7647 . . . 4 -2 ∈ ℝ
323renegcli 7647 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
333, 9ltnegi 7871 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3420, 33mpbi 143 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3531, 32, 34ltleii 7490 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
364negcli 7653 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
37 ax-1cn 7341 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
38 negdi2 7643 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3936, 37, 38mp2an 417 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
404negnegi 7655 . . . . . . 7 --2 = 2
4140oveq1i 5601 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
4239, 41eqtri 2103 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
43 2m1e1 8433 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4443, 12eqbrtri 3830 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4542, 44eqbrtri 3830 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4631, 1readdcli 7404 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4746, 3ltnegcon1i 7877 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4845, 47mpbi 143 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
49 qnegcl 9016 . . . . 5 ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
5026, 49ax-mp 7 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℚ
51 2z 8674 . . . . 5 2 ∈ ℤ
52 znegcl 8677 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
5351, 52ax-mp 7 . . . 4 -2 ∈ ℤ
54 flqbi 9586 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
5550, 53, 54mp2an 417 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5635, 48, 55mpbir2an 884 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5730, 56pm3.2i 266 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3811  cfv 4969  (class class class)co 5591  cc 7251  cr 7252  0cc0 7253  1c1 7254   + caddc 7256   · cmul 7258   < clt 7425  cle 7426  cmin 7556  -cneg 7557   / cdiv 8037  cn 8316  2c2 8366  3c3 8367  4c4 8368  cz 8646  cq 8999  cfl 9564
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-3 8376  df-4 8377  df-n0 8566  df-z 8647  df-q 9000  df-rp 9030  df-fl 9566
This theorem is referenced by:  ex-ceil  10997
  Copyright terms: Public domain W3C validator