Theorem ex-fl 13443

Description: Example for df-fl 10195. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7889	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 8922	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 9096	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 8919	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 7893	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 9018	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 3997	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 8939	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 8918	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 8808	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 144	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 7992	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 9020	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 9002	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4003	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 270	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 8762	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1326	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 145	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 8907	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4001	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 9211	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 9009	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 9553	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 423	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 9208	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 10215	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 423	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 931	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 8151	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 8151	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 8382	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 144	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 7992	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 8157	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 7837	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 8147	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 423	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 8159	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 5846	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2185	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 8966	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 3997	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 3997	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 7903	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 8388	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 144	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 9565	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 9210	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 9213	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 10215	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 423	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 931	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 270	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1342   ∈ wcel 2135   class class class wbr 3976  ‘cfv 5182  (class class class)co 5836  ℂcc 7742  ℝcr 7743  0cc0 7744  1c1 7745   + caddc 7747   · cmul 7749   < clt 7924   ≤ cle 7925   − cmin 8060  -cneg 8061   / cdiv 8559  ℕcn 8848  2c2 8899  3c3 8900  4c4 8901  ℤcz 9182  ℚcq 9548  ⌊cfl 10193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862  ax-arch 7863

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-n0 9106  df-z 9183  df-q 9549  df-rp 9581  df-fl 10195

This theorem is referenced by:  ex-ceil  13444