Theorem ex-fl 10996

Description: Example for df-fl 9566. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7390	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 8390	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 8556	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 8387	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 7394	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 8479	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 3830	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 8407	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 8386	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 8277	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 143	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 7490	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 8481	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 8463	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 3836	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 266	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 8231	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1269	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 144	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 8375	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 3834	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 8675	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 8470	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 9004	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 417	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 8672	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 9586	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 417	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 884	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 7647	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 7647	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 7871	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 143	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 7490	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 7653	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 7341	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 7643	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 417	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 7655	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 5601	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2103	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 8433	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 3830	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 3830	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 7404	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 7877	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 143	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 9016	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 8674	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 8677	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 9586	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 417	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 884	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 266	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3811  ‘cfv 4969  (class class class)co 5591  ℂcc 7251  ℝcr 7252  0cc0 7253  1c1 7254   + caddc 7256   · cmul 7258   < clt 7425   ≤ cle 7426   − cmin 7556  -cneg 7557   / cdiv 8037  ℕcn 8316  2c2 8366  3c3 8367  4c4 8368  ℤcz 8646  ℚcq 8999  ⌊cfl 9564

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-3 8376  df-4 8377  df-n0 8566  df-z 8647  df-q 9000  df-rp 9030  df-fl 9566

This theorem is referenced by:  ex-ceil  10997