ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-fl GIF version

Theorem ex-fl 14963
Description: Example for df-fl 10307. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 7991 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 9028 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 9202 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 9025 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mullidi 7995 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 9124 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 4042 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 9045 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 9024 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 8914 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 145 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 8095 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 9126 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 9108 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 4048 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 272 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 8868 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1348 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 146 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 9013 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 4046 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 3z 9317 . . . . 5 3 ∈ ℤ
24 2nn 9115 . . . . 5 2 ∈ ℕ
25 znq 9660 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
2623, 24, 25mp2an 426 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℚ
27 1z 9314 . . . 4 1 ∈ ℤ
28 flqbi 10327 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
2926, 27, 28mp2an 426 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
3013, 22, 29mpbir2an 944 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
319renegcli 8254 . . . 4 -2 ∈ ℝ
323renegcli 8254 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
333, 9ltnegi 8485 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3420, 33mpbi 145 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3531, 32, 34ltleii 8095 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
364negcli 8260 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
37 ax-1cn 7939 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
38 negdi2 8250 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3936, 37, 38mp2an 426 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
404negnegi 8262 . . . . . . 7 --2 = 2
4140oveq1i 5910 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
4239, 41eqtri 2210 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
43 2m1e1 9072 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4443, 12eqbrtri 4042 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4542, 44eqbrtri 4042 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4631, 1readdcli 8005 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4746, 3ltnegcon1i 8491 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4845, 47mpbi 145 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
49 qnegcl 9672 . . . . 5 ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
5026, 49ax-mp 5 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℚ
51 2z 9316 . . . . 5 2 ∈ ℤ
52 znegcl 9319 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
5351, 52ax-mp 5 . . . 4 -2 ∈ ℤ
54 flqbi 10327 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
5550, 53, 54mp2an 426 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5635, 48, 55mpbir2an 944 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5730, 56pm3.2i 272 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4021  cfv 5238  (class class class)co 5900  cc 7844  cr 7845  0cc0 7846  1c1 7847   + caddc 7849   · cmul 7851   < clt 8027  cle 8028  cmin 8163  -cneg 8164   / cdiv 8664  cn 8954  2c2 9005  3c3 9006  4c4 9007  cz 9288  cq 9655  cfl 10305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-n0 9212  df-z 9289  df-q 9656  df-rp 9690  df-fl 10307
This theorem is referenced by:  ex-ceil  14964
  Copyright terms: Public domain W3C validator