Theorem ex-fl 16113

Description: Example for df-fl 10498. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8153	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 9192	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 9368	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 9189	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 8157	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 9289	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 4104	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 9209	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 9188	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 9077	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 145	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 8257	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 9291	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 9273	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4110	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 9031	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1371	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 9177	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4108	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 9483	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 9280	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 9827	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 9480	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 10518	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 948	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 8416	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 8416	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 8648	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 8257	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 8422	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 8100	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 8412	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 8424	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 6017	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2250	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 9236	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 4104	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 4104	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 8167	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 8654	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 145	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 9839	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 9482	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 9485	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 10518	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 948	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 272	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  ℝcr 8006  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010   · cmul 8012   < clt 8189   ≤ cle 8190   − cmin 8325  -cneg 8326   / cdiv 8827  ℕcn 9118  2c2 9169  3c3 9170  4c4 9171  ℤcz 9454  ℚcq 9822  ⌊cfl 10496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-q 9823  df-rp 9858  df-fl 10498

This theorem is referenced by:  ex-ceil  16114