Theorem ex-fl 11098

Description: Example for df-fl 9605. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7431	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 8431	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 8597	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 8428	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 7435	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 8520	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 3839	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 8448	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 8427	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 8318	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 143	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 7531	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 8522	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 8504	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 3845	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 266	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 8272	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1271	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 144	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 8416	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 3843	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 8712	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 8511	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 9041	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 417	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 8709	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 9625	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 417	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 886	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 7688	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 7688	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 7912	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 143	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 7531	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 7694	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 7382	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 7684	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 417	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 7696	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 5623	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2105	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 8474	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 3839	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 3839	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 7445	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 7918	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 143	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 9053	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 8711	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 8714	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 9625	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 417	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 886	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 266	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1287   ∈ wcel 1436   class class class wbr 3820  ‘cfv 4981  (class class class)co 5613  ℂcc 7292  ℝcr 7293  0cc0 7294  1c1 7295   + caddc 7297   · cmul 7299   < clt 7466   ≤ cle 7467   − cmin 7597  -cneg 7598   / cdiv 8078  ℕcn 8357  2c2 8407  3c3 8408  4c4 8409  ℤcz 8683  ℚcq 9036  ⌊cfl 9603

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-3 8417  df-4 8418  df-n0 8607  df-z 8684  df-q 9037  df-rp 9067  df-fl 9605

This theorem is referenced by:  ex-ceil  11099