ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3halfnz GIF version

Theorem 3halfnz 9116
Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
3halfnz ¬ (3 / 2) ∈ ℤ

Proof of Theorem 3halfnz
StepHypRef Expression
1 1z 9048 . 2 1 ∈ ℤ
2 2cn 8759 . . . . 5 2 ∈ ℂ
32mulid2i 7737 . . . 4 (1 · 2) = 2
4 2lt3 8858 . . . 4 2 < 3
53, 4eqbrtri 3919 . . 3 (1 · 2) < 3
6 1re 7733 . . . 4 1 ∈ ℝ
7 3re 8762 . . . 4 3 ∈ ℝ
8 2re 8758 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 2pos 8779 . . . . 5 0 < 2
108, 9pm3.2i 270 . . . 4 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
11 ltmuldiv 8600 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
126, 7, 10, 11mp3an 1300 . . 3 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
135, 12mpbi 144 . 2 1 < (3 / 2)
14 3lt4 8860 . . . 4 3 < 4
15 2t2e4 8842 . . . . 5 (2 · 2) = 4
1615breq2i 3907 . . . 4 (3 < (2 · 2) ↔ 3 < 4)
1714, 16mpbir 145 . . 3 3 < (2 · 2)
18 1p1e2 8805 . . . . 5 (1 + 1) = 2
1918breq2i 3907 . . . 4 ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ (3 / 2) < 2)
20 ltdivmul 8602 . . . . 5 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
217, 8, 10, 20mp3an 1300 . . . 4 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2219, 21bitri 183 . . 3 ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ 3 < (2 · 2))
2317, 22mpbir 145 . 2 (3 / 2) < (1 + 1)
24 btwnnz 9113 . 2 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 < (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)) → ¬ (3 / 2) ∈ ℤ)
251, 13, 23, 24mp3an 1300 1 ¬ (3 / 2) ∈ ℤ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 103  wb 104  wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593   < clt 7768   / cdiv 8400  2c2 8739  3c3 8740  4c4 8741  cz 9022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023
This theorem is referenced by:  nn0o1gt2  11529
  Copyright terms: Public domain W3C validator