Theorem 3halfnz 9414

Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3halfnz	⊢ ¬ (3 / 2) ∈ ℤ

Proof of Theorem 3halfnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9343	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		2cn 9053	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	2	mullidi 8022	. . . 4 ⊢ (1 · 2) = 2
4		2lt3 9152	. . . 4 ⊢ 2 < 3
5	3, 4	eqbrtri 4050	. . 3 ⊢ (1 · 2) < 3
6		1re 8018	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		3re 9056	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
8		2re 9052	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		2pos 9073	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
10	8, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
11		ltmuldiv 8893	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
12	6, 7, 10, 11	mp3an 1348	. . 3 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
13	5, 12	mpbi 145	. 2 ⊢ 1 < (3 / 2)
14		3lt4 9154	. . . 4 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 9136	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
16	15	breq2i 4037	. . . 4 ⊢ (3 < (2 · 2) ↔ 3 < 4)
17	14, 16	mpbir 146	. . 3 ⊢ 3 < (2 · 2)
18		1p1e2 9099	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
19	18	breq2i 4037	. . . 4 ⊢ ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ (3 / 2) < 2)
20		ltdivmul 8895	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
21	7, 8, 10, 20	mp3an 1348	. . . 4 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
22	19, 21	bitri 184	. . 3 ⊢ ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ 3 < (2 · 2))
23	17, 22	mpbir 146	. 2 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
24		btwnnz 9411	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 < (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)) → ¬ (3 / 2) ∈ ℤ)
25	1, 13, 23, 24	mp3an 1348	1 ⊢ ¬ (3 / 2) ∈ ℤ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   < clt 8054   / cdiv 8691  2c2 9033  3c3 9034  4c4 9035  ℤcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318

This theorem is referenced by:  nn0o1gt2  12046