Theorem cos2bnd 12115

Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2bnd	⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7cn 9127	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
2		9cn 9131	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
3		9re 9130	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℝ
4		9pos 9147	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 9
5	3, 4	gt0ap0ii 8708	. . . . . 6 ⊢ 9 # 0
6		divnegap 8786	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
7	1, 2, 5, 6	mp3an 1350	. . . . 5 ⊢ -(7 / 9) = (-7 / 9)
8		2cn 9114	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	2, 5	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)
10		divsubdirap 8788	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
11	8, 2, 9, 10	mp3an 1350	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
12	2, 8	negsubdi2i 8365	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = (2 − 9)
13		7p2e9 9195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
14	2, 8, 1	subadd2i 8367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
15	13, 14	mpbir 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 2) = 7
16	15	negeqi 8273	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = -7
17	12, 16	eqtr3i 2229	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 9) = -7
18	17	oveq1i 5961	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
19	11, 18	eqtr3i 2229	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
20	2, 5	dividapi 8825	. . . . . 6 ⊢ (9 / 9) = 1
21	20	oveq2i 5962	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
22	7, 19, 21	3eqtr2ri 2234	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23		ax-1cn 8025	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	8, 23, 2, 5	divassapi 8848	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25		2t1e2 9197	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
26	25	oveq1i 5961	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
27	24, 26	eqtr3i 2229	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28		3cn 9118	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
29		3ap0 9139	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 # 0
30	23, 28, 29	sqdivapi 10775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31		sq1 10785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
32		sq3 10788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
33	31, 32	oveq12i 5963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
34	30, 33	eqtri 2227	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35		cos1bnd 12114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
36	35	simpli 111	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
37		0le1 8561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
38		3pos 9137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
39		1re 8078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		3re 9117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
41	39, 40	divge0i 8991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
42	37, 38, 41	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
43		0re 8079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
44		recoscl 12076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
45	39, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘1) ∈ ℝ
46	40, 29	rerecclapi 8857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
47	43, 46, 45	lelttri 8185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
48	42, 36, 47	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (cos‘1)
49	43, 45, 48	ltleii 8182	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (cos‘1)
50	46, 45	lt2sqi 10779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
51	42, 49, 50	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
52	36, 51	mpbi 145	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
53	34, 52	eqbrtrri 4070	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54		2pos 9134	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
55	3, 5	rerecclapi 8857	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 9) ∈ ℝ
56	45	resqcli 10776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57		2re 9113	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	55, 56, 57	ltmul2i 9003	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
59	54, 58	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
60	53, 59	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
61	27, 60	eqbrtrri 4070	. . . . 5 ⊢ (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
62	57, 3, 5	redivclapi 8859	. . . . . 6 ⊢ (2 / 9) ∈ ℝ
63	57, 56	remulcli 8093	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64		ltsub1 8538	. . . . . 6 ⊢ (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
65	62, 63, 39, 64	mp3an 1350	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
66	61, 65	mpbi 145	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
67	22, 66	eqbrtrri 4070	. . 3 ⊢ -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
68	25	fveq2i 5586	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69		cos2t 12105	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
70	23, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
71	68, 70	eqtr3i 2229	. . 3 ⊢ (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
72	67, 71	breqtrri 4074	. 2 ⊢ -(7 / 9) < (cos‘2)
73	35	simpri 113	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
74		0le2 9133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
75	57, 40	divge0i 8991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
76	74, 38, 75	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (2 / 3)
77	57, 40, 29	redivclapi 8859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
78	45, 77	lt2sqi 10779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
79	49, 76, 78	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
80	73, 79	mpbi 145	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
81	8, 28, 29	sqdivapi 10775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82		sq2 10787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
83	82, 32	oveq12i 5963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
84	81, 83	eqtri 2227	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
85	80, 84	breqtri 4072	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86		4re 9120	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
87	86, 3, 5	redivclapi 8859	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 9) ∈ ℝ
88	56, 87, 57	ltmul2i 9003	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
89	54, 88	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
90	85, 89	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91		4cn 9121	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	8, 91, 2, 5	divassapi 8848	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93		4t2e8 9202	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
94	91, 8, 93	mulcomli 8086	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
95	94	oveq1i 5961	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
96	92, 95	eqtr3i 2229	. . . . . 6 ⊢ (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
97	90, 96	breqtri 4072	. . . . 5 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98		8re 9128	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
99	98, 3, 5	redivclapi 8859	. . . . . 6 ⊢ (8 / 9) ∈ ℝ
100		ltsub1 8538	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
101	63, 99, 39, 100	mp3an 1350	. . . . 5 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
102	97, 101	mpbi 145	. . . 4 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
103	20	oveq2i 5962	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104		divnegap 8786	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
105	23, 2, 5, 104	mp3an 1350	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 9) = (-1 / 9)
106		8cn 9129	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
107	2, 106	negsubdi2i 8365	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = (8 − 9)
108		8p1e9 9184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
109	2, 106, 23, 108	subaddrii 8368	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 8) = 1
110	109	negeqi 8273	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = -1
111	107, 110	eqtr3i 2229	. . . . . . 7 ⊢ (8 − 9) = -1
112	111	oveq1i 5961	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113		divsubdirap 8788	. . . . . . 7 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114	106, 2, 9, 113	mp3an 1350	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115	105, 112, 114	3eqtr2ri 2234	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116	103, 115	eqtr3i 2229	. . . 4 ⊢ ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117	102, 116	breqtri 4072	. . 3 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
118	71, 117	eqbrtri 4068	. 2 ⊢ (cos‘2) < -(1 / 9)
119	72, 118	pm3.2i 272	1 ⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4047  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  ℝcr 7931  0cc0 7932  1c1 7933   + caddc 7935   · cmul 7937   < clt 8114   ≤ cle 8115   − cmin 8250  -cneg 8251   # cap 8661   / cdiv 8752  2c2 9094  3c3 9095  4c4 9096  7c7 9099  8c8 9100  9c9 9101  ↑cexp 10690  cosccos 12000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-disj 4024  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-isom 5285  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-frec 6484  df-1o 6509  df-oadd 6513  df-er 6627  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-sup 7093  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-ioc 10022  df-ico 10023  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-fac 10878  df-bc 10900  df-ihash 10928  df-shft 11170  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-clim 11634  df-sumdc 11709  df-ef 12003  df-sin 12005  df-cos 12006

This theorem is referenced by:  sincos2sgn  12121