Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos2bnd GIF version

Theorem cos2bnd 11467
 Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2bnd (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd
StepHypRef Expression
1 7cn 8804 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
2 9cn 8808 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
3 9re 8807 . . . . . . 7 9 ∈ ℝ
4 9pos 8824 . . . . . . 7 0 < 9
53, 4gt0ap0ii 8390 . . . . . 6 9 # 0
6 divnegap 8466 . . . . . 6 ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
71, 2, 5, 6mp3an 1315 . . . . 5 -(7 / 9) = (-7 / 9)
8 2cn 8791 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
92, 5pm3.2i 270 . . . . . . 7 (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)
10 divsubdirap 8468 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
118, 2, 9, 10mp3an 1315 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
122, 8negsubdi2i 8048 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = (2 − 9)
13 7p2e9 8871 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
142, 8, 1subadd2i 8050 . . . . . . . . . 10 ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
1513, 14mpbir 145 . . . . . . . . 9 (9 − 2) = 7
1615negeqi 7956 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = -7
1712, 16eqtr3i 2162 . . . . . . 7 (2 − 9) = -7
1817oveq1i 5784 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
1911, 18eqtr3i 2162 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
202, 5dividapi 8505 . . . . . 6 (9 / 9) = 1
2120oveq2i 5785 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
227, 19, 213eqtr2ri 2167 . . . 4 ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23 ax-1cn 7713 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
248, 23, 2, 5divassapi 8528 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25 2t1e2 8873 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
2625oveq1i 5784 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
2724, 26eqtr3i 2162 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28 3cn 8795 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
29 3ap0 8816 . . . . . . . . . 10 3 # 0
3023, 28, 29sqdivapi 10376 . . . . . . . . 9 ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31 sq1 10386 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
32 sq3 10389 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
3331, 32oveq12i 5786 . . . . . . . . 9 ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
3430, 33eqtri 2160 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35 cos1bnd 11466 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
3635simpli 110 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < (cos‘1)
37 0le1 8243 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
38 3pos 8814 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
39 1re 7765 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
40 3re 8794 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
4139, 40divge0i 8669 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
4237, 38, 41mp2an 422 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 3)
43 0re 7766 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
44 recoscl 11428 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
4539, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (cos‘1) ∈ ℝ
4640, 29rerecclapi 8537 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ
4743, 46, 45lelttri 7869 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
4842, 36, 47mp2an 422 . . . . . . . . . . 11 0 < (cos‘1)
4943, 45, 48ltleii 7866 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (cos‘1)
5046, 45lt2sqi 10380 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
5142, 49, 50mp2an 422 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
5236, 51mpbi 144 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
5334, 52eqbrtrri 3951 . . . . . . 7 (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54 2pos 8811 . . . . . . . 8 0 < 2
553, 5rerecclapi 8537 . . . . . . . . 9 (1 / 9) ∈ ℝ
5645resqcli 10377 . . . . . . . . 9 ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57 2re 8790 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
5855, 56, 57ltmul2i 8681 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
6053, 59mpbi 144 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6127, 60eqbrtrri 3951 . . . . 5 (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6257, 3, 5redivclapi 8539 . . . . . 6 (2 / 9) ∈ ℝ
6357, 56remulcli 7780 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64 ltsub1 8220 . . . . . 6 (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
6562, 63, 39, 64mp3an 1315 . . . . 5 ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
6661, 65mpbi 144 . . . 4 ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6722, 66eqbrtrri 3951 . . 3 -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6825fveq2i 5424 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69 cos2t 11457 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
7023, 69ax-mp 5 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7168, 70eqtr3i 2162 . . 3 (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7267, 71breqtrri 3955 . 2 -(7 / 9) < (cos‘2)
7335simpri 112 . . . . . . . . 9 (cos‘1) < (2 / 3)
74 0le2 8810 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
7557, 40divge0i 8669 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
7674, 38, 75mp2an 422 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (2 / 3)
7757, 40, 29redivclapi 8539 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) ∈ ℝ
7845, 77lt2sqi 10380 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
7949, 76, 78mp2an 422 . . . . . . . . 9 ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
8073, 79mpbi 144 . . . . . . . 8 ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
818, 28, 29sqdivapi 10376 . . . . . . . . 9 ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82 sq2 10388 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
8382, 32oveq12i 5786 . . . . . . . . 9 ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
8481, 83eqtri 2160 . . . . . . . 8 ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
8580, 84breqtri 3953 . . . . . . 7 ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86 4re 8797 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
8786, 3, 5redivclapi 8539 . . . . . . . . 9 (4 / 9) ∈ ℝ
8856, 87, 57ltmul2i 8681 . . . . . . . 8 (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
8954, 88ax-mp 5 . . . . . . 7 (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
9085, 89mpbi 144 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91 4cn 8798 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
928, 91, 2, 5divassapi 8528 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93 4t2e8 8878 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
9491, 8, 93mulcomli 7773 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
9594oveq1i 5784 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
9692, 95eqtr3i 2162 . . . . . 6 (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
9790, 96breqtri 3953 . . . . 5 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98 8re 8805 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
9998, 3, 5redivclapi 8539 . . . . . 6 (8 / 9) ∈ ℝ
100 ltsub1 8220 . . . . . 6 (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
10163, 99, 39, 100mp3an 1315 . . . . 5 ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
10297, 101mpbi 144 . . . 4 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
10320oveq2i 5785 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104 divnegap 8466 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
10523, 2, 5, 104mp3an 1315 . . . . . 6 -(1 / 9) = (-1 / 9)
106 8cn 8806 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1072, 106negsubdi2i 8048 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = (8 − 9)
108 8p1e9 8860 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
1092, 106, 23, 108subaddrii 8051 . . . . . . . . 9 (9 − 8) = 1
110109negeqi 7956 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = -1
111107, 110eqtr3i 2162 . . . . . . 7 (8 − 9) = -1
112111oveq1i 5784 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113 divsubdirap 8468 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114106, 2, 9, 113mp3an 1315 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115105, 112, 1143eqtr2ri 2167 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116103, 115eqtr3i 2162 . . . 4 ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117102, 116breqtri 3953 . . 3 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
11871, 117eqbrtri 3949 . 2 (cos‘2) < -(1 / 9)
11972, 118pm3.2i 270 1 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625   < clt 7800   ≤ cle 7801   − cmin 7933  -cneg 7934   # cap 8343   / cdiv 8432  2c2 8771  3c3 8772  4c4 8773  7c7 8776  8c8 8777  9c9 8778  ↑cexp 10292  cosccos 11351 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ioc 9676  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-bc 10494  df-ihash 10522  df-shft 10587  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-sin 11356  df-cos 11357 This theorem is referenced by:  sincos2sgn  11472
 Copyright terms: Public domain W3C validator