ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos2bnd GIF version

Theorem cos2bnd 11771
Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2bnd (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd
StepHypRef Expression
1 7cn 9006 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
2 9cn 9010 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
3 9re 9009 . . . . . . 7 9 ∈ ℝ
4 9pos 9026 . . . . . . 7 0 < 9
53, 4gt0ap0ii 8588 . . . . . 6 9 # 0
6 divnegap 8666 . . . . . 6 ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
71, 2, 5, 6mp3an 1337 . . . . 5 -(7 / 9) = (-7 / 9)
8 2cn 8993 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
92, 5pm3.2i 272 . . . . . . 7 (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)
10 divsubdirap 8668 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
118, 2, 9, 10mp3an 1337 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
122, 8negsubdi2i 8246 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = (2 − 9)
13 7p2e9 9073 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
142, 8, 1subadd2i 8248 . . . . . . . . . 10 ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
1513, 14mpbir 146 . . . . . . . . 9 (9 − 2) = 7
1615negeqi 8154 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = -7
1712, 16eqtr3i 2200 . . . . . . 7 (2 − 9) = -7
1817oveq1i 5888 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
1911, 18eqtr3i 2200 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
202, 5dividapi 8705 . . . . . 6 (9 / 9) = 1
2120oveq2i 5889 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
227, 19, 213eqtr2ri 2205 . . . 4 ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23 ax-1cn 7907 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
248, 23, 2, 5divassapi 8728 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25 2t1e2 9075 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
2625oveq1i 5888 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
2724, 26eqtr3i 2200 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28 3cn 8997 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
29 3ap0 9018 . . . . . . . . . 10 3 # 0
3023, 28, 29sqdivapi 10607 . . . . . . . . 9 ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31 sq1 10617 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
32 sq3 10620 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
3331, 32oveq12i 5890 . . . . . . . . 9 ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
3430, 33eqtri 2198 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35 cos1bnd 11770 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
3635simpli 111 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < (cos‘1)
37 0le1 8441 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
38 3pos 9016 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
39 1re 7959 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
40 3re 8996 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
4139, 40divge0i 8871 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
4237, 38, 41mp2an 426 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 3)
43 0re 7960 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
44 recoscl 11732 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
4539, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (cos‘1) ∈ ℝ
4640, 29rerecclapi 8737 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ
4743, 46, 45lelttri 8066 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
4842, 36, 47mp2an 426 . . . . . . . . . . 11 0 < (cos‘1)
4943, 45, 48ltleii 8063 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (cos‘1)
5046, 45lt2sqi 10611 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
5142, 49, 50mp2an 426 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
5236, 51mpbi 145 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
5334, 52eqbrtrri 4028 . . . . . . 7 (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54 2pos 9013 . . . . . . . 8 0 < 2
553, 5rerecclapi 8737 . . . . . . . . 9 (1 / 9) ∈ ℝ
5645resqcli 10608 . . . . . . . . 9 ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57 2re 8992 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
5855, 56, 57ltmul2i 8883 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
6053, 59mpbi 145 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6127, 60eqbrtrri 4028 . . . . 5 (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6257, 3, 5redivclapi 8739 . . . . . 6 (2 / 9) ∈ ℝ
6357, 56remulcli 7974 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64 ltsub1 8418 . . . . . 6 (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
6562, 63, 39, 64mp3an 1337 . . . . 5 ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
6661, 65mpbi 145 . . . 4 ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6722, 66eqbrtrri 4028 . . 3 -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6825fveq2i 5520 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69 cos2t 11761 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
7023, 69ax-mp 5 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7168, 70eqtr3i 2200 . . 3 (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7267, 71breqtrri 4032 . 2 -(7 / 9) < (cos‘2)
7335simpri 113 . . . . . . . . 9 (cos‘1) < (2 / 3)
74 0le2 9012 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
7557, 40divge0i 8871 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
7674, 38, 75mp2an 426 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (2 / 3)
7757, 40, 29redivclapi 8739 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) ∈ ℝ
7845, 77lt2sqi 10611 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
7949, 76, 78mp2an 426 . . . . . . . . 9 ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
8073, 79mpbi 145 . . . . . . . 8 ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
818, 28, 29sqdivapi 10607 . . . . . . . . 9 ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82 sq2 10619 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
8382, 32oveq12i 5890 . . . . . . . . 9 ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
8481, 83eqtri 2198 . . . . . . . 8 ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
8580, 84breqtri 4030 . . . . . . 7 ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86 4re 8999 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
8786, 3, 5redivclapi 8739 . . . . . . . . 9 (4 / 9) ∈ ℝ
8856, 87, 57ltmul2i 8883 . . . . . . . 8 (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
8954, 88ax-mp 5 . . . . . . 7 (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
9085, 89mpbi 145 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91 4cn 9000 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
928, 91, 2, 5divassapi 8728 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93 4t2e8 9080 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
9491, 8, 93mulcomli 7967 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
9594oveq1i 5888 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
9692, 95eqtr3i 2200 . . . . . 6 (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
9790, 96breqtri 4030 . . . . 5 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98 8re 9007 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
9998, 3, 5redivclapi 8739 . . . . . 6 (8 / 9) ∈ ℝ
100 ltsub1 8418 . . . . . 6 (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
10163, 99, 39, 100mp3an 1337 . . . . 5 ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
10297, 101mpbi 145 . . . 4 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
10320oveq2i 5889 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104 divnegap 8666 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
10523, 2, 5, 104mp3an 1337 . . . . . 6 -(1 / 9) = (-1 / 9)
106 8cn 9008 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1072, 106negsubdi2i 8246 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = (8 − 9)
108 8p1e9 9062 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
1092, 106, 23, 108subaddrii 8249 . . . . . . . . 9 (9 − 8) = 1
110109negeqi 8154 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = -1
111107, 110eqtr3i 2200 . . . . . . 7 (8 − 9) = -1
112111oveq1i 5888 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113 divsubdirap 8668 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114106, 2, 9, 113mp3an 1337 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115105, 112, 1143eqtr2ri 2205 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116103, 115eqtr3i 2200 . . . 4 ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117102, 116breqtri 4030 . . 3 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
11871, 117eqbrtri 4026 . 2 (cos‘2) < -(1 / 9)
11972, 118pm3.2i 272 1 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4005  cfv 5218  (class class class)co 5878  cc 7812  cr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   · cmul 7819   < clt 7995  cle 7996  cmin 8131  -cneg 8132   # cap 8541   / cdiv 8632  2c2 8973  3c3 8974  4c4 8975  7c7 8978  8c8 8979  9c9 8980  cexp 10522  cosccos 11656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-sup 6986  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-9 8988  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-ioc 9896  df-ico 9897  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-bc 10731  df-ihash 10759  df-shft 10827  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365  df-ef 11659  df-sin 11661  df-cos 11662
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  11776
  Copyright terms: Public domain W3C validator