ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos2bnd GIF version

Theorem cos2bnd 11782
Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2bnd (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd
StepHypRef Expression
1 7cn 9017 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
2 9cn 9021 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
3 9re 9020 . . . . . . 7 9 ∈ ℝ
4 9pos 9037 . . . . . . 7 0 < 9
53, 4gt0ap0ii 8599 . . . . . 6 9 # 0
6 divnegap 8677 . . . . . 6 ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
71, 2, 5, 6mp3an 1347 . . . . 5 -(7 / 9) = (-7 / 9)
8 2cn 9004 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
92, 5pm3.2i 272 . . . . . . 7 (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)
10 divsubdirap 8679 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
118, 2, 9, 10mp3an 1347 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
122, 8negsubdi2i 8257 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = (2 − 9)
13 7p2e9 9084 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
142, 8, 1subadd2i 8259 . . . . . . . . . 10 ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
1513, 14mpbir 146 . . . . . . . . 9 (9 − 2) = 7
1615negeqi 8165 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = -7
1712, 16eqtr3i 2210 . . . . . . 7 (2 − 9) = -7
1817oveq1i 5898 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
1911, 18eqtr3i 2210 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
202, 5dividapi 8716 . . . . . 6 (9 / 9) = 1
2120oveq2i 5899 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
227, 19, 213eqtr2ri 2215 . . . 4 ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23 ax-1cn 7918 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
248, 23, 2, 5divassapi 8739 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25 2t1e2 9086 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
2625oveq1i 5898 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
2724, 26eqtr3i 2210 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28 3cn 9008 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
29 3ap0 9029 . . . . . . . . . 10 3 # 0
3023, 28, 29sqdivapi 10618 . . . . . . . . 9 ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31 sq1 10628 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
32 sq3 10631 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
3331, 32oveq12i 5900 . . . . . . . . 9 ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
3430, 33eqtri 2208 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35 cos1bnd 11781 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
3635simpli 111 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < (cos‘1)
37 0le1 8452 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
38 3pos 9027 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
39 1re 7970 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
40 3re 9007 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
4139, 40divge0i 8882 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
4237, 38, 41mp2an 426 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 3)
43 0re 7971 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
44 recoscl 11743 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
4539, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (cos‘1) ∈ ℝ
4640, 29rerecclapi 8748 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ
4743, 46, 45lelttri 8077 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
4842, 36, 47mp2an 426 . . . . . . . . . . 11 0 < (cos‘1)
4943, 45, 48ltleii 8074 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (cos‘1)
5046, 45lt2sqi 10622 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
5142, 49, 50mp2an 426 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
5236, 51mpbi 145 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
5334, 52eqbrtrri 4038 . . . . . . 7 (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54 2pos 9024 . . . . . . . 8 0 < 2
553, 5rerecclapi 8748 . . . . . . . . 9 (1 / 9) ∈ ℝ
5645resqcli 10619 . . . . . . . . 9 ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57 2re 9003 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
5855, 56, 57ltmul2i 8894 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
6053, 59mpbi 145 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6127, 60eqbrtrri 4038 . . . . 5 (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6257, 3, 5redivclapi 8750 . . . . . 6 (2 / 9) ∈ ℝ
6357, 56remulcli 7985 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64 ltsub1 8429 . . . . . 6 (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
6562, 63, 39, 64mp3an 1347 . . . . 5 ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
6661, 65mpbi 145 . . . 4 ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6722, 66eqbrtrri 4038 . . 3 -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6825fveq2i 5530 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69 cos2t 11772 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
7023, 69ax-mp 5 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7168, 70eqtr3i 2210 . . 3 (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7267, 71breqtrri 4042 . 2 -(7 / 9) < (cos‘2)
7335simpri 113 . . . . . . . . 9 (cos‘1) < (2 / 3)
74 0le2 9023 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
7557, 40divge0i 8882 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
7674, 38, 75mp2an 426 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (2 / 3)
7757, 40, 29redivclapi 8750 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) ∈ ℝ
7845, 77lt2sqi 10622 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
7949, 76, 78mp2an 426 . . . . . . . . 9 ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
8073, 79mpbi 145 . . . . . . . 8 ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
818, 28, 29sqdivapi 10618 . . . . . . . . 9 ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82 sq2 10630 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
8382, 32oveq12i 5900 . . . . . . . . 9 ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
8481, 83eqtri 2208 . . . . . . . 8 ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
8580, 84breqtri 4040 . . . . . . 7 ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86 4re 9010 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
8786, 3, 5redivclapi 8750 . . . . . . . . 9 (4 / 9) ∈ ℝ
8856, 87, 57ltmul2i 8894 . . . . . . . 8 (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
8954, 88ax-mp 5 . . . . . . 7 (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
9085, 89mpbi 145 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91 4cn 9011 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
928, 91, 2, 5divassapi 8739 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93 4t2e8 9091 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
9491, 8, 93mulcomli 7978 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
9594oveq1i 5898 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
9692, 95eqtr3i 2210 . . . . . 6 (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
9790, 96breqtri 4040 . . . . 5 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98 8re 9018 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
9998, 3, 5redivclapi 8750 . . . . . 6 (8 / 9) ∈ ℝ
100 ltsub1 8429 . . . . . 6 (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
10163, 99, 39, 100mp3an 1347 . . . . 5 ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
10297, 101mpbi 145 . . . 4 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
10320oveq2i 5899 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104 divnegap 8677 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
10523, 2, 5, 104mp3an 1347 . . . . . 6 -(1 / 9) = (-1 / 9)
106 8cn 9019 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1072, 106negsubdi2i 8257 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = (8 − 9)
108 8p1e9 9073 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
1092, 106, 23, 108subaddrii 8260 . . . . . . . . 9 (9 − 8) = 1
110109negeqi 8165 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = -1
111107, 110eqtr3i 2210 . . . . . . 7 (8 − 9) = -1
112111oveq1i 5898 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113 divsubdirap 8679 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114106, 2, 9, 113mp3an 1347 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115105, 112, 1143eqtr2ri 2215 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116103, 115eqtr3i 2210 . . . 4 ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117102, 116breqtri 4040 . . 3 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
11871, 117eqbrtri 4036 . 2 (cos‘2) < -(1 / 9)
11972, 118pm3.2i 272 1 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2158   class class class wbr 4015  cfv 5228  (class class class)co 5888  cc 7823  cr 7824  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828   · cmul 7830   < clt 8006  cle 8007  cmin 8142  -cneg 8143   # cap 8552   / cdiv 8643  2c2 8984  3c3 8985  4c4 8986  7c7 8989  8c8 8990  9c9 8991  cexp 10533  cosccos 11667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-disj 3993  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-sup 6997  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-9 8999  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-ioc 9907  df-ico 9908  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-fac 10720  df-bc 10742  df-ihash 10770  df-shft 10838  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376  df-ef 11670  df-sin 11672  df-cos 11673
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  11787
  Copyright terms: Public domain W3C validator