ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos2bnd GIF version

Theorem cos2bnd 11723
Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2bnd (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd
StepHypRef Expression
1 7cn 8962 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
2 9cn 8966 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
3 9re 8965 . . . . . . 7 9 ∈ ℝ
4 9pos 8982 . . . . . . 7 0 < 9
53, 4gt0ap0ii 8547 . . . . . 6 9 # 0
6 divnegap 8623 . . . . . 6 ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
71, 2, 5, 6mp3an 1332 . . . . 5 -(7 / 9) = (-7 / 9)
8 2cn 8949 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
92, 5pm3.2i 270 . . . . . . 7 (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)
10 divsubdirap 8625 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
118, 2, 9, 10mp3an 1332 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
122, 8negsubdi2i 8205 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = (2 − 9)
13 7p2e9 9029 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
142, 8, 1subadd2i 8207 . . . . . . . . . 10 ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
1513, 14mpbir 145 . . . . . . . . 9 (9 − 2) = 7
1615negeqi 8113 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = -7
1712, 16eqtr3i 2193 . . . . . . 7 (2 − 9) = -7
1817oveq1i 5863 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
1911, 18eqtr3i 2193 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
202, 5dividapi 8662 . . . . . 6 (9 / 9) = 1
2120oveq2i 5864 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
227, 19, 213eqtr2ri 2198 . . . 4 ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23 ax-1cn 7867 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
248, 23, 2, 5divassapi 8685 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25 2t1e2 9031 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
2625oveq1i 5863 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
2724, 26eqtr3i 2193 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28 3cn 8953 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
29 3ap0 8974 . . . . . . . . . 10 3 # 0
3023, 28, 29sqdivapi 10559 . . . . . . . . 9 ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31 sq1 10569 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
32 sq3 10572 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
3331, 32oveq12i 5865 . . . . . . . . 9 ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
3430, 33eqtri 2191 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35 cos1bnd 11722 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
3635simpli 110 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < (cos‘1)
37 0le1 8400 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
38 3pos 8972 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
39 1re 7919 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
40 3re 8952 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
4139, 40divge0i 8827 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
4237, 38, 41mp2an 424 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 3)
43 0re 7920 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
44 recoscl 11684 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
4539, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (cos‘1) ∈ ℝ
4640, 29rerecclapi 8694 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ
4743, 46, 45lelttri 8025 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
4842, 36, 47mp2an 424 . . . . . . . . . . 11 0 < (cos‘1)
4943, 45, 48ltleii 8022 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (cos‘1)
5046, 45lt2sqi 10563 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
5142, 49, 50mp2an 424 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
5236, 51mpbi 144 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
5334, 52eqbrtrri 4012 . . . . . . 7 (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54 2pos 8969 . . . . . . . 8 0 < 2
553, 5rerecclapi 8694 . . . . . . . . 9 (1 / 9) ∈ ℝ
5645resqcli 10560 . . . . . . . . 9 ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57 2re 8948 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
5855, 56, 57ltmul2i 8839 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
6053, 59mpbi 144 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6127, 60eqbrtrri 4012 . . . . 5 (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6257, 3, 5redivclapi 8696 . . . . . 6 (2 / 9) ∈ ℝ
6357, 56remulcli 7934 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64 ltsub1 8377 . . . . . 6 (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
6562, 63, 39, 64mp3an 1332 . . . . 5 ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
6661, 65mpbi 144 . . . 4 ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6722, 66eqbrtrri 4012 . . 3 -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6825fveq2i 5499 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69 cos2t 11713 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
7023, 69ax-mp 5 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7168, 70eqtr3i 2193 . . 3 (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7267, 71breqtrri 4016 . 2 -(7 / 9) < (cos‘2)
7335simpri 112 . . . . . . . . 9 (cos‘1) < (2 / 3)
74 0le2 8968 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
7557, 40divge0i 8827 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
7674, 38, 75mp2an 424 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (2 / 3)
7757, 40, 29redivclapi 8696 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) ∈ ℝ
7845, 77lt2sqi 10563 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
7949, 76, 78mp2an 424 . . . . . . . . 9 ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
8073, 79mpbi 144 . . . . . . . 8 ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
818, 28, 29sqdivapi 10559 . . . . . . . . 9 ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82 sq2 10571 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
8382, 32oveq12i 5865 . . . . . . . . 9 ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
8481, 83eqtri 2191 . . . . . . . 8 ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
8580, 84breqtri 4014 . . . . . . 7 ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86 4re 8955 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
8786, 3, 5redivclapi 8696 . . . . . . . . 9 (4 / 9) ∈ ℝ
8856, 87, 57ltmul2i 8839 . . . . . . . 8 (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
8954, 88ax-mp 5 . . . . . . 7 (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
9085, 89mpbi 144 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91 4cn 8956 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
928, 91, 2, 5divassapi 8685 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93 4t2e8 9036 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
9491, 8, 93mulcomli 7927 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
9594oveq1i 5863 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
9692, 95eqtr3i 2193 . . . . . 6 (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
9790, 96breqtri 4014 . . . . 5 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98 8re 8963 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
9998, 3, 5redivclapi 8696 . . . . . 6 (8 / 9) ∈ ℝ
100 ltsub1 8377 . . . . . 6 (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
10163, 99, 39, 100mp3an 1332 . . . . 5 ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
10297, 101mpbi 144 . . . 4 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
10320oveq2i 5864 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104 divnegap 8623 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
10523, 2, 5, 104mp3an 1332 . . . . . 6 -(1 / 9) = (-1 / 9)
106 8cn 8964 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1072, 106negsubdi2i 8205 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = (8 − 9)
108 8p1e9 9018 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
1092, 106, 23, 108subaddrii 8208 . . . . . . . . 9 (9 − 8) = 1
110109negeqi 8113 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = -1
111107, 110eqtr3i 2193 . . . . . . 7 (8 − 9) = -1
112111oveq1i 5863 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113 divsubdirap 8625 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114106, 2, 9, 113mp3an 1332 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115105, 112, 1143eqtr2ri 2198 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116103, 115eqtr3i 2193 . . . 4 ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117102, 116breqtri 4014 . . 3 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
11871, 117eqbrtri 4010 . 2 (cos‘2) < -(1 / 9)
11972, 118pm3.2i 270 1 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  cc 7772  cr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954  cle 7955  cmin 8090  -cneg 8091   # cap 8500   / cdiv 8589  2c2 8929  3c3 8930  4c4 8931  7c7 8934  8c8 8935  9c9 8936  cexp 10475  cosccos 11608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ioc 9850  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-shft 10779  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-sin 11613  df-cos 11614
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  11728
  Copyright terms: Public domain W3C validator