ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos2bnd GIF version

Theorem cos2bnd 11657
Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2bnd (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd
StepHypRef Expression
1 7cn 8917 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
2 9cn 8921 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
3 9re 8920 . . . . . . 7 9 ∈ ℝ
4 9pos 8937 . . . . . . 7 0 < 9
53, 4gt0ap0ii 8503 . . . . . 6 9 # 0
6 divnegap 8579 . . . . . 6 ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
71, 2, 5, 6mp3an 1319 . . . . 5 -(7 / 9) = (-7 / 9)
8 2cn 8904 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
92, 5pm3.2i 270 . . . . . . 7 (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)
10 divsubdirap 8581 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
118, 2, 9, 10mp3an 1319 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
122, 8negsubdi2i 8161 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = (2 − 9)
13 7p2e9 8984 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
142, 8, 1subadd2i 8163 . . . . . . . . . 10 ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
1513, 14mpbir 145 . . . . . . . . 9 (9 − 2) = 7
1615negeqi 8069 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = -7
1712, 16eqtr3i 2180 . . . . . . 7 (2 − 9) = -7
1817oveq1i 5834 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
1911, 18eqtr3i 2180 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
202, 5dividapi 8618 . . . . . 6 (9 / 9) = 1
2120oveq2i 5835 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
227, 19, 213eqtr2ri 2185 . . . 4 ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23 ax-1cn 7825 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
248, 23, 2, 5divassapi 8641 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25 2t1e2 8986 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
2625oveq1i 5834 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
2724, 26eqtr3i 2180 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28 3cn 8908 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
29 3ap0 8929 . . . . . . . . . 10 3 # 0
3023, 28, 29sqdivapi 10502 . . . . . . . . 9 ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31 sq1 10512 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
32 sq3 10515 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
3331, 32oveq12i 5836 . . . . . . . . 9 ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
3430, 33eqtri 2178 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35 cos1bnd 11656 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
3635simpli 110 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < (cos‘1)
37 0le1 8356 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
38 3pos 8927 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
39 1re 7877 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
40 3re 8907 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
4139, 40divge0i 8782 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
4237, 38, 41mp2an 423 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 3)
43 0re 7878 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
44 recoscl 11618 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
4539, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (cos‘1) ∈ ℝ
4640, 29rerecclapi 8650 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ
4743, 46, 45lelttri 7982 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
4842, 36, 47mp2an 423 . . . . . . . . . . 11 0 < (cos‘1)
4943, 45, 48ltleii 7979 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (cos‘1)
5046, 45lt2sqi 10506 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
5142, 49, 50mp2an 423 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
5236, 51mpbi 144 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
5334, 52eqbrtrri 3987 . . . . . . 7 (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54 2pos 8924 . . . . . . . 8 0 < 2
553, 5rerecclapi 8650 . . . . . . . . 9 (1 / 9) ∈ ℝ
5645resqcli 10503 . . . . . . . . 9 ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57 2re 8903 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
5855, 56, 57ltmul2i 8794 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
6053, 59mpbi 144 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6127, 60eqbrtrri 3987 . . . . 5 (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6257, 3, 5redivclapi 8652 . . . . . 6 (2 / 9) ∈ ℝ
6357, 56remulcli 7892 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64 ltsub1 8333 . . . . . 6 (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
6562, 63, 39, 64mp3an 1319 . . . . 5 ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
6661, 65mpbi 144 . . . 4 ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6722, 66eqbrtrri 3987 . . 3 -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6825fveq2i 5471 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69 cos2t 11647 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
7023, 69ax-mp 5 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7168, 70eqtr3i 2180 . . 3 (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7267, 71breqtrri 3991 . 2 -(7 / 9) < (cos‘2)
7335simpri 112 . . . . . . . . 9 (cos‘1) < (2 / 3)
74 0le2 8923 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
7557, 40divge0i 8782 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
7674, 38, 75mp2an 423 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (2 / 3)
7757, 40, 29redivclapi 8652 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) ∈ ℝ
7845, 77lt2sqi 10506 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
7949, 76, 78mp2an 423 . . . . . . . . 9 ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
8073, 79mpbi 144 . . . . . . . 8 ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
818, 28, 29sqdivapi 10502 . . . . . . . . 9 ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82 sq2 10514 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
8382, 32oveq12i 5836 . . . . . . . . 9 ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
8481, 83eqtri 2178 . . . . . . . 8 ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
8580, 84breqtri 3989 . . . . . . 7 ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86 4re 8910 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
8786, 3, 5redivclapi 8652 . . . . . . . . 9 (4 / 9) ∈ ℝ
8856, 87, 57ltmul2i 8794 . . . . . . . 8 (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
8954, 88ax-mp 5 . . . . . . 7 (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
9085, 89mpbi 144 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91 4cn 8911 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
928, 91, 2, 5divassapi 8641 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93 4t2e8 8991 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
9491, 8, 93mulcomli 7885 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
9594oveq1i 5834 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
9692, 95eqtr3i 2180 . . . . . 6 (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
9790, 96breqtri 3989 . . . . 5 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98 8re 8918 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
9998, 3, 5redivclapi 8652 . . . . . 6 (8 / 9) ∈ ℝ
100 ltsub1 8333 . . . . . 6 (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
10163, 99, 39, 100mp3an 1319 . . . . 5 ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
10297, 101mpbi 144 . . . 4 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
10320oveq2i 5835 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104 divnegap 8579 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
10523, 2, 5, 104mp3an 1319 . . . . . 6 -(1 / 9) = (-1 / 9)
106 8cn 8919 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1072, 106negsubdi2i 8161 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = (8 − 9)
108 8p1e9 8973 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
1092, 106, 23, 108subaddrii 8164 . . . . . . . . 9 (9 − 8) = 1
110109negeqi 8069 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = -1
111107, 110eqtr3i 2180 . . . . . . 7 (8 − 9) = -1
112111oveq1i 5834 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113 divsubdirap 8581 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114106, 2, 9, 113mp3an 1319 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115105, 112, 1143eqtr2ri 2185 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116103, 115eqtr3i 2180 . . . 4 ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117102, 116breqtri 3989 . . 3 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
11871, 117eqbrtri 3985 . 2 (cos‘2) < -(1 / 9)
11972, 118pm3.2i 270 1 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1335  wcel 2128   class class class wbr 3965  cfv 5170  (class class class)co 5824  cc 7730  cr 7731  0cc0 7732  1c1 7733   + caddc 7735   · cmul 7737   < clt 7912  cle 7913  cmin 8046  -cneg 8047   # cap 8456   / cdiv 8545  2c2 8884  3c3 8885  4c4 8886  7c7 8889  8c8 8890  9c9 8891  cexp 10418  cosccos 11542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-disj 3943  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-frec 6338  df-1o 6363  df-oadd 6367  df-er 6480  df-en 6686  df-dom 6687  df-fin 6688  df-sup 6928  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-5 8895  df-6 8896  df-7 8897  df-8 8898  df-9 8899  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-ioc 9797  df-ico 9798  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-fac 10600  df-bc 10622  df-ihash 10650  df-shft 10715  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-clim 11176  df-sumdc 11251  df-ef 11545  df-sin 11547  df-cos 11548
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  11662
  Copyright terms: Public domain W3C validator