Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos2bnd GIF version

Theorem cos2bnd 11112
 Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2bnd (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd
StepHypRef Expression
1 7cn 8567 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
2 9cn 8571 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
3 9re 8570 . . . . . . 7 9 ∈ ℝ
4 9pos 8587 . . . . . . 7 0 < 9
53, 4gt0ap0ii 8165 . . . . . 6 9 # 0
6 divnegap 8234 . . . . . 6 ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
71, 2, 5, 6mp3an 1274 . . . . 5 -(7 / 9) = (-7 / 9)
8 2cn 8554 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
92, 5pm3.2i 267 . . . . . . 7 (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)
10 divsubdirap 8236 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
118, 2, 9, 10mp3an 1274 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
122, 8negsubdi2i 7829 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = (2 − 9)
13 7p2e9 8628 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
142, 8, 1subadd2i 7831 . . . . . . . . . 10 ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
1513, 14mpbir 145 . . . . . . . . 9 (9 − 2) = 7
1615negeqi 7737 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = -7
1712, 16eqtr3i 2111 . . . . . . 7 (2 − 9) = -7
1817oveq1i 5676 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
1911, 18eqtr3i 2111 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
202, 5dividapi 8273 . . . . . 6 (9 / 9) = 1
2120oveq2i 5677 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
227, 19, 213eqtr2ri 2116 . . . 4 ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23 ax-1cn 7499 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
248, 23, 2, 5divassapi 8296 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25 2t1e2 8630 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
2625oveq1i 5676 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
2724, 26eqtr3i 2111 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28 3cn 8558 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
29 3ap0 8579 . . . . . . . . . 10 3 # 0
3023, 28, 29sqdivapi 10099 . . . . . . . . 9 ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31 sq1 10109 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
32 sq3 10112 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
3331, 32oveq12i 5678 . . . . . . . . 9 ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
3430, 33eqtri 2109 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35 cos1bnd 11111 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
3635simpli 110 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < (cos‘1)
37 0le1 8020 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
38 3pos 8577 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
39 1re 7548 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
40 3re 8557 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
4139, 40divge0i 8433 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
4237, 38, 41mp2an 418 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 3)
43 0re 7549 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
44 recoscl 11073 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
4539, 44ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11 (cos‘1) ∈ ℝ
4640, 29rerecclapi 8305 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ
4743, 46, 45lelttri 7651 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
4842, 36, 47mp2an 418 . . . . . . . . . . 11 0 < (cos‘1)
4943, 45, 48ltleii 7648 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (cos‘1)
5046, 45lt2sqi 10103 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
5142, 49, 50mp2an 418 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
5236, 51mpbi 144 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
5334, 52eqbrtrri 3872 . . . . . . 7 (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54 2pos 8574 . . . . . . . 8 0 < 2
553, 5rerecclapi 8305 . . . . . . . . 9 (1 / 9) ∈ ℝ
5645resqcli 10100 . . . . . . . . 9 ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57 2re 8553 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
5855, 56, 57ltmul2i 8445 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
5954, 58ax-mp 7 . . . . . . 7 ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
6053, 59mpbi 144 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6127, 60eqbrtrri 3872 . . . . 5 (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6257, 3, 5redivclapi 8307 . . . . . 6 (2 / 9) ∈ ℝ
6357, 56remulcli 7563 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64 ltsub1 7997 . . . . . 6 (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
6562, 63, 39, 64mp3an 1274 . . . . 5 ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
6661, 65mpbi 144 . . . 4 ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6722, 66eqbrtrri 3872 . . 3 -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6825fveq2i 5321 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69 cos2t 11102 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
7023, 69ax-mp 7 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7168, 70eqtr3i 2111 . . 3 (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7267, 71breqtrri 3876 . 2 -(7 / 9) < (cos‘2)
7335simpri 112 . . . . . . . . 9 (cos‘1) < (2 / 3)
74 0le2 8573 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
7557, 40divge0i 8433 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
7674, 38, 75mp2an 418 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (2 / 3)
7757, 40, 29redivclapi 8307 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) ∈ ℝ
7845, 77lt2sqi 10103 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
7949, 76, 78mp2an 418 . . . . . . . . 9 ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
8073, 79mpbi 144 . . . . . . . 8 ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
818, 28, 29sqdivapi 10099 . . . . . . . . 9 ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82 sq2 10111 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
8382, 32oveq12i 5678 . . . . . . . . 9 ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
8481, 83eqtri 2109 . . . . . . . 8 ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
8580, 84breqtri 3874 . . . . . . 7 ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86 4re 8560 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
8786, 3, 5redivclapi 8307 . . . . . . . . 9 (4 / 9) ∈ ℝ
8856, 87, 57ltmul2i 8445 . . . . . . . 8 (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
8954, 88ax-mp 7 . . . . . . 7 (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
9085, 89mpbi 144 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91 4cn 8561 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
928, 91, 2, 5divassapi 8296 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93 4t2e8 8635 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
9491, 8, 93mulcomli 7556 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
9594oveq1i 5676 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
9692, 95eqtr3i 2111 . . . . . 6 (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
9790, 96breqtri 3874 . . . . 5 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98 8re 8568 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
9998, 3, 5redivclapi 8307 . . . . . 6 (8 / 9) ∈ ℝ
100 ltsub1 7997 . . . . . 6 (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
10163, 99, 39, 100mp3an 1274 . . . . 5 ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
10297, 101mpbi 144 . . . 4 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
10320oveq2i 5677 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104 divnegap 8234 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
10523, 2, 5, 104mp3an 1274 . . . . . 6 -(1 / 9) = (-1 / 9)
106 8cn 8569 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1072, 106negsubdi2i 7829 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = (8 − 9)
108 8p1e9 8617 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
1092, 106, 23, 108subaddrii 7832 . . . . . . . . 9 (9 − 8) = 1
110109negeqi 7737 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = -1
111107, 110eqtr3i 2111 . . . . . . 7 (8 − 9) = -1
112111oveq1i 5676 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113 divsubdirap 8236 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114106, 2, 9, 113mp3an 1274 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115105, 112, 1143eqtr2ri 2116 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116103, 115eqtr3i 2111 . . . 4 ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117102, 116breqtri 3874 . . 3 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
11871, 117eqbrtri 3870 . 2 (cos‘2) < -(1 / 9)
11972, 118pm3.2i 267 1 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  ℂcc 7409  ℝcr 7410  0cc0 7411  1c1 7412   + caddc 7414   · cmul 7416   < clt 7583   ≤ cle 7584   − cmin 7714  -cneg 7715   # cap 8119   / cdiv 8200  2c2 8534  3c3 8535  4c4 8536  7c7 8539  8c8 8540  9c9 8541  ↑cexp 10015  cosccos 10996 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-disj 3829  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-sup 6733  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-5 8545  df-6 8546  df-7 8547  df-8 8548  df-9 8549  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-rp 9196  df-ioc 9372  df-ico 9373  df-fz 9486  df-fzo 9615  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-fac 10195  df-bc 10217  df-ihash 10245  df-shft 10310  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493  df-clim 10728  df-isum 10804  df-ef 10999  df-sin 11001  df-cos 11002 This theorem is referenced by:  sincos2sgn  11117
 Copyright terms: Public domain W3C validator