Theorem cos2bnd 11467

Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2bnd	⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7cn 8804	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
2		9cn 8808	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
3		9re 8807	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℝ
4		9pos 8824	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 9
5	3, 4	gt0ap0ii 8390	. . . . . 6 ⊢ 9 # 0
6		divnegap 8466	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
7	1, 2, 5, 6	mp3an 1315	. . . . 5 ⊢ -(7 / 9) = (-7 / 9)
8		2cn 8791	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	2, 5	pm3.2i 270	. . . . . . 7 ⊢ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)
10		divsubdirap 8468	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
11	8, 2, 9, 10	mp3an 1315	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
12	2, 8	negsubdi2i 8048	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = (2 − 9)
13		7p2e9 8871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
14	2, 8, 1	subadd2i 8050	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
15	13, 14	mpbir 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 2) = 7
16	15	negeqi 7956	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = -7
17	12, 16	eqtr3i 2162	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 9) = -7
18	17	oveq1i 5784	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
19	11, 18	eqtr3i 2162	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
20	2, 5	dividapi 8505	. . . . . 6 ⊢ (9 / 9) = 1
21	20	oveq2i 5785	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
22	7, 19, 21	3eqtr2ri 2167	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23		ax-1cn 7713	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	8, 23, 2, 5	divassapi 8528	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25		2t1e2 8873	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
26	25	oveq1i 5784	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
27	24, 26	eqtr3i 2162	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28		3cn 8795	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
29		3ap0 8816	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 # 0
30	23, 28, 29	sqdivapi 10376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31		sq1 10386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
32		sq3 10389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
33	31, 32	oveq12i 5786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
34	30, 33	eqtri 2160	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35		cos1bnd 11466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
36	35	simpli 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
37		0le1 8243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
38		3pos 8814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
39		1re 7765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		3re 8794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
41	39, 40	divge0i 8669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
42	37, 38, 41	mp2an 422	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
43		0re 7766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
44		recoscl 11428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
45	39, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘1) ∈ ℝ
46	40, 29	rerecclapi 8537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
47	43, 46, 45	lelttri 7869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
48	42, 36, 47	mp2an 422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (cos‘1)
49	43, 45, 48	ltleii 7866	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (cos‘1)
50	46, 45	lt2sqi 10380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
51	42, 49, 50	mp2an 422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
52	36, 51	mpbi 144	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
53	34, 52	eqbrtrri 3951	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54		2pos 8811	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
55	3, 5	rerecclapi 8537	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 9) ∈ ℝ
56	45	resqcli 10377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57		2re 8790	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	55, 56, 57	ltmul2i 8681	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
59	54, 58	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
60	53, 59	mpbi 144	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
61	27, 60	eqbrtrri 3951	. . . . 5 ⊢ (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
62	57, 3, 5	redivclapi 8539	. . . . . 6 ⊢ (2 / 9) ∈ ℝ
63	57, 56	remulcli 7780	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64		ltsub1 8220	. . . . . 6 ⊢ (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
65	62, 63, 39, 64	mp3an 1315	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
66	61, 65	mpbi 144	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
67	22, 66	eqbrtrri 3951	. . 3 ⊢ -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
68	25	fveq2i 5424	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69		cos2t 11457	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
70	23, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
71	68, 70	eqtr3i 2162	. . 3 ⊢ (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
72	67, 71	breqtrri 3955	. 2 ⊢ -(7 / 9) < (cos‘2)
73	35	simpri 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
74		0le2 8810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
75	57, 40	divge0i 8669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
76	74, 38, 75	mp2an 422	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (2 / 3)
77	57, 40, 29	redivclapi 8539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
78	45, 77	lt2sqi 10380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
79	49, 76, 78	mp2an 422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
80	73, 79	mpbi 144	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
81	8, 28, 29	sqdivapi 10376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82		sq2 10388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
83	82, 32	oveq12i 5786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
84	81, 83	eqtri 2160	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
85	80, 84	breqtri 3953	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86		4re 8797	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
87	86, 3, 5	redivclapi 8539	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 9) ∈ ℝ
88	56, 87, 57	ltmul2i 8681	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
89	54, 88	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
90	85, 89	mpbi 144	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91		4cn 8798	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	8, 91, 2, 5	divassapi 8528	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93		4t2e8 8878	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
94	91, 8, 93	mulcomli 7773	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
95	94	oveq1i 5784	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
96	92, 95	eqtr3i 2162	. . . . . 6 ⊢ (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
97	90, 96	breqtri 3953	. . . . 5 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98		8re 8805	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
99	98, 3, 5	redivclapi 8539	. . . . . 6 ⊢ (8 / 9) ∈ ℝ
100		ltsub1 8220	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
101	63, 99, 39, 100	mp3an 1315	. . . . 5 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
102	97, 101	mpbi 144	. . . 4 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
103	20	oveq2i 5785	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104		divnegap 8466	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
105	23, 2, 5, 104	mp3an 1315	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 9) = (-1 / 9)
106		8cn 8806	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
107	2, 106	negsubdi2i 8048	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = (8 − 9)
108		8p1e9 8860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
109	2, 106, 23, 108	subaddrii 8051	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 8) = 1
110	109	negeqi 7956	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = -1
111	107, 110	eqtr3i 2162	. . . . . . 7 ⊢ (8 − 9) = -1
112	111	oveq1i 5784	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113		divsubdirap 8468	. . . . . . 7 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114	106, 2, 9, 113	mp3an 1315	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115	105, 112, 114	3eqtr2ri 2167	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116	103, 115	eqtr3i 2162	. . . 4 ⊢ ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117	102, 116	breqtri 3953	. . 3 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
118	71, 117	eqbrtri 3949	. 2 ⊢ (cos‘2) < -(1 / 9)
119	72, 118	pm3.2i 270	1 ⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625   < clt 7800   ≤ cle 7801   − cmin 7933  -cneg 7934   # cap 8343   / cdiv 8432  2c2 8771  3c3 8772  4c4 8773  7c7 8776  8c8 8777  9c9 8778  ↑cexp 10292  cosccos 11351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ioc 9676  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-bc 10494  df-ihash 10522  df-shft 10587  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-sin 11356  df-cos 11357

This theorem is referenced by:  sincos2sgn  11472