Theorem cos2bnd 11770

Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2bnd	⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7cn 9005	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
2		9cn 9009	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
3		9re 9008	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℝ
4		9pos 9025	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 9
5	3, 4	gt0ap0ii 8587	. . . . . 6 ⊢ 9 # 0
6		divnegap 8665	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
7	1, 2, 5, 6	mp3an 1337	. . . . 5 ⊢ -(7 / 9) = (-7 / 9)
8		2cn 8992	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	2, 5	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)
10		divsubdirap 8667	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
11	8, 2, 9, 10	mp3an 1337	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
12	2, 8	negsubdi2i 8245	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = (2 − 9)
13		7p2e9 9072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
14	2, 8, 1	subadd2i 8247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
15	13, 14	mpbir 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 2) = 7
16	15	negeqi 8153	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = -7
17	12, 16	eqtr3i 2200	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 9) = -7
18	17	oveq1i 5887	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
19	11, 18	eqtr3i 2200	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
20	2, 5	dividapi 8704	. . . . . 6 ⊢ (9 / 9) = 1
21	20	oveq2i 5888	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
22	7, 19, 21	3eqtr2ri 2205	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23		ax-1cn 7906	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	8, 23, 2, 5	divassapi 8727	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25		2t1e2 9074	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
26	25	oveq1i 5887	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
27	24, 26	eqtr3i 2200	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28		3cn 8996	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
29		3ap0 9017	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 # 0
30	23, 28, 29	sqdivapi 10606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31		sq1 10616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
32		sq3 10619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
33	31, 32	oveq12i 5889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
34	30, 33	eqtri 2198	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35		cos1bnd 11769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
36	35	simpli 111	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
37		0le1 8440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
38		3pos 9015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
39		1re 7958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		3re 8995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
41	39, 40	divge0i 8870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
42	37, 38, 41	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
43		0re 7959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
44		recoscl 11731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
45	39, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘1) ∈ ℝ
46	40, 29	rerecclapi 8736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
47	43, 46, 45	lelttri 8065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
48	42, 36, 47	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (cos‘1)
49	43, 45, 48	ltleii 8062	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (cos‘1)
50	46, 45	lt2sqi 10610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
51	42, 49, 50	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
52	36, 51	mpbi 145	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
53	34, 52	eqbrtrri 4028	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54		2pos 9012	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
55	3, 5	rerecclapi 8736	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 9) ∈ ℝ
56	45	resqcli 10607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57		2re 8991	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	55, 56, 57	ltmul2i 8882	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
59	54, 58	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
60	53, 59	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
61	27, 60	eqbrtrri 4028	. . . . 5 ⊢ (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
62	57, 3, 5	redivclapi 8738	. . . . . 6 ⊢ (2 / 9) ∈ ℝ
63	57, 56	remulcli 7973	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64		ltsub1 8417	. . . . . 6 ⊢ (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
65	62, 63, 39, 64	mp3an 1337	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
66	61, 65	mpbi 145	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
67	22, 66	eqbrtrri 4028	. . 3 ⊢ -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
68	25	fveq2i 5520	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69		cos2t 11760	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
70	23, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
71	68, 70	eqtr3i 2200	. . 3 ⊢ (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
72	67, 71	breqtrri 4032	. 2 ⊢ -(7 / 9) < (cos‘2)
73	35	simpri 113	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
74		0le2 9011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
75	57, 40	divge0i 8870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
76	74, 38, 75	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (2 / 3)
77	57, 40, 29	redivclapi 8738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
78	45, 77	lt2sqi 10610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
79	49, 76, 78	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
80	73, 79	mpbi 145	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
81	8, 28, 29	sqdivapi 10606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82		sq2 10618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
83	82, 32	oveq12i 5889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
84	81, 83	eqtri 2198	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
85	80, 84	breqtri 4030	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86		4re 8998	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
87	86, 3, 5	redivclapi 8738	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 9) ∈ ℝ
88	56, 87, 57	ltmul2i 8882	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
89	54, 88	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
90	85, 89	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91		4cn 8999	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	8, 91, 2, 5	divassapi 8727	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93		4t2e8 9079	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
94	91, 8, 93	mulcomli 7966	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
95	94	oveq1i 5887	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
96	92, 95	eqtr3i 2200	. . . . . 6 ⊢ (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
97	90, 96	breqtri 4030	. . . . 5 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98		8re 9006	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
99	98, 3, 5	redivclapi 8738	. . . . . 6 ⊢ (8 / 9) ∈ ℝ
100		ltsub1 8417	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
101	63, 99, 39, 100	mp3an 1337	. . . . 5 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
102	97, 101	mpbi 145	. . . 4 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
103	20	oveq2i 5888	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104		divnegap 8665	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
105	23, 2, 5, 104	mp3an 1337	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 9) = (-1 / 9)
106		8cn 9007	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
107	2, 106	negsubdi2i 8245	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = (8 − 9)
108		8p1e9 9061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
109	2, 106, 23, 108	subaddrii 8248	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 8) = 1
110	109	negeqi 8153	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = -1
111	107, 110	eqtr3i 2200	. . . . . . 7 ⊢ (8 − 9) = -1
112	111	oveq1i 5887	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113		divsubdirap 8667	. . . . . . 7 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114	106, 2, 9, 113	mp3an 1337	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115	105, 112, 114	3eqtr2ri 2205	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116	103, 115	eqtr3i 2200	. . . 4 ⊢ ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117	102, 116	breqtri 4030	. . 3 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
118	71, 117	eqbrtri 4026	. 2 ⊢ (cos‘2) < -(1 / 9)
119	72, 118	pm3.2i 272	1 ⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  ℝcr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818   < clt 7994   ≤ cle 7995   − cmin 8130  -cneg 8131   # cap 8540   / cdiv 8631  2c2 8972  3c3 8973  4c4 8974  7c7 8977  8c8 8978  9c9 8979  ↑cexp 10521  cosccos 11655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-ioc 9895  df-ico 9896  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-bc 10730  df-ihash 10758  df-shft 10826  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364  df-ef 11658  df-sin 11660  df-cos 11661

This theorem is referenced by:  sincos2sgn  11775