Theorem cos2bnd 12323

Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2bnd	⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7cn 9227	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
2		9cn 9231	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
3		9re 9230	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℝ
4		9pos 9247	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 9
5	3, 4	gt0ap0ii 8808	. . . . . 6 ⊢ 9 # 0
6		divnegap 8886	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
7	1, 2, 5, 6	mp3an 1373	. . . . 5 ⊢ -(7 / 9) = (-7 / 9)
8		2cn 9214	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	2, 5	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)
10		divsubdirap 8888	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
11	8, 2, 9, 10	mp3an 1373	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
12	2, 8	negsubdi2i 8465	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = (2 − 9)
13		7p2e9 9295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
14	2, 8, 1	subadd2i 8467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
15	13, 14	mpbir 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 2) = 7
16	15	negeqi 8373	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = -7
17	12, 16	eqtr3i 2254	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 9) = -7
18	17	oveq1i 6028	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
19	11, 18	eqtr3i 2254	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
20	2, 5	dividapi 8925	. . . . . 6 ⊢ (9 / 9) = 1
21	20	oveq2i 6029	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
22	7, 19, 21	3eqtr2ri 2259	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23		ax-1cn 8125	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	8, 23, 2, 5	divassapi 8948	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25		2t1e2 9297	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
26	25	oveq1i 6028	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
27	24, 26	eqtr3i 2254	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28		3cn 9218	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
29		3ap0 9239	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 # 0
30	23, 28, 29	sqdivapi 10886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31		sq1 10896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
32		sq3 10899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
33	31, 32	oveq12i 6030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
34	30, 33	eqtri 2252	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35		cos1bnd 12322	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
36	35	simpli 111	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
37		0le1 8661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
38		3pos 9237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
39		1re 8178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		3re 9217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
41	39, 40	divge0i 9091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
42	37, 38, 41	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
43		0re 8179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
44		recoscl 12284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
45	39, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘1) ∈ ℝ
46	40, 29	rerecclapi 8957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
47	43, 46, 45	lelttri 8285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
48	42, 36, 47	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (cos‘1)
49	43, 45, 48	ltleii 8282	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (cos‘1)
50	46, 45	lt2sqi 10890	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
51	42, 49, 50	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
52	36, 51	mpbi 145	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
53	34, 52	eqbrtrri 4111	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54		2pos 9234	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
55	3, 5	rerecclapi 8957	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 9) ∈ ℝ
56	45	resqcli 10887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57		2re 9213	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	55, 56, 57	ltmul2i 9103	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
59	54, 58	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
60	53, 59	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
61	27, 60	eqbrtrri 4111	. . . . 5 ⊢ (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
62	57, 3, 5	redivclapi 8959	. . . . . 6 ⊢ (2 / 9) ∈ ℝ
63	57, 56	remulcli 8193	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64		ltsub1 8638	. . . . . 6 ⊢ (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
65	62, 63, 39, 64	mp3an 1373	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
66	61, 65	mpbi 145	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
67	22, 66	eqbrtrri 4111	. . 3 ⊢ -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
68	25	fveq2i 5642	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69		cos2t 12313	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
70	23, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
71	68, 70	eqtr3i 2254	. . 3 ⊢ (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
72	67, 71	breqtrri 4115	. 2 ⊢ -(7 / 9) < (cos‘2)
73	35	simpri 113	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
74		0le2 9233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
75	57, 40	divge0i 9091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
76	74, 38, 75	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (2 / 3)
77	57, 40, 29	redivclapi 8959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
78	45, 77	lt2sqi 10890	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
79	49, 76, 78	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
80	73, 79	mpbi 145	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
81	8, 28, 29	sqdivapi 10886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82		sq2 10898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
83	82, 32	oveq12i 6030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
84	81, 83	eqtri 2252	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
85	80, 84	breqtri 4113	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86		4re 9220	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
87	86, 3, 5	redivclapi 8959	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 9) ∈ ℝ
88	56, 87, 57	ltmul2i 9103	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
89	54, 88	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
90	85, 89	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91		4cn 9221	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	8, 91, 2, 5	divassapi 8948	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93		4t2e8 9302	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
94	91, 8, 93	mulcomli 8186	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
95	94	oveq1i 6028	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
96	92, 95	eqtr3i 2254	. . . . . 6 ⊢ (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
97	90, 96	breqtri 4113	. . . . 5 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98		8re 9228	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
99	98, 3, 5	redivclapi 8959	. . . . . 6 ⊢ (8 / 9) ∈ ℝ
100		ltsub1 8638	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
101	63, 99, 39, 100	mp3an 1373	. . . . 5 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
102	97, 101	mpbi 145	. . . 4 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
103	20	oveq2i 6029	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104		divnegap 8886	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
105	23, 2, 5, 104	mp3an 1373	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 9) = (-1 / 9)
106		8cn 9229	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
107	2, 106	negsubdi2i 8465	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = (8 − 9)
108		8p1e9 9284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
109	2, 106, 23, 108	subaddrii 8468	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 8) = 1
110	109	negeqi 8373	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = -1
111	107, 110	eqtr3i 2254	. . . . . . 7 ⊢ (8 − 9) = -1
112	111	oveq1i 6028	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113		divsubdirap 8888	. . . . . . 7 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114	106, 2, 9, 113	mp3an 1373	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115	105, 112, 114	3eqtr2ri 2259	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116	103, 115	eqtr3i 2254	. . . 4 ⊢ ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117	102, 116	breqtri 4113	. . 3 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
118	71, 117	eqbrtri 4109	. 2 ⊢ (cos‘2) < -(1 / 9)
119	72, 118	pm3.2i 272	1 ⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037   < clt 8214   ≤ cle 8215   − cmin 8350  -cneg 8351   # cap 8761   / cdiv 8852  2c2 9194  3c3 9195  4c4 9196  7c7 9199  8c8 9200  9c9 9201  ↑cexp 10801  cosccos 12208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-ioc 10128  df-ico 10129  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-fac 10989  df-bc 11011  df-ihash 11039  df-shft 11377  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-clim 11841  df-sumdc 11916  df-ef 12211  df-sin 12213  df-cos 12214

This theorem is referenced by:  sincos2sgn  12329