Theorem cos2bnd 12314

Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2bnd	⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7cn 9220	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
2		9cn 9224	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
3		9re 9223	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℝ
4		9pos 9240	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 9
5	3, 4	gt0ap0ii 8801	. . . . . 6 ⊢ 9 # 0
6		divnegap 8879	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
7	1, 2, 5, 6	mp3an 1371	. . . . 5 ⊢ -(7 / 9) = (-7 / 9)
8		2cn 9207	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	2, 5	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)
10		divsubdirap 8881	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
11	8, 2, 9, 10	mp3an 1371	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
12	2, 8	negsubdi2i 8458	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = (2 − 9)
13		7p2e9 9288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
14	2, 8, 1	subadd2i 8460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
15	13, 14	mpbir 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 2) = 7
16	15	negeqi 8366	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = -7
17	12, 16	eqtr3i 2252	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 9) = -7
18	17	oveq1i 6023	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
19	11, 18	eqtr3i 2252	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
20	2, 5	dividapi 8918	. . . . . 6 ⊢ (9 / 9) = 1
21	20	oveq2i 6024	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
22	7, 19, 21	3eqtr2ri 2257	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23		ax-1cn 8118	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	8, 23, 2, 5	divassapi 8941	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25		2t1e2 9290	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
26	25	oveq1i 6023	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
27	24, 26	eqtr3i 2252	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28		3cn 9211	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
29		3ap0 9232	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 # 0
30	23, 28, 29	sqdivapi 10878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31		sq1 10888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
32		sq3 10891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
33	31, 32	oveq12i 6025	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
34	30, 33	eqtri 2250	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35		cos1bnd 12313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
36	35	simpli 111	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
37		0le1 8654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
38		3pos 9230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
39		1re 8171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		3re 9210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
41	39, 40	divge0i 9084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
42	37, 38, 41	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
43		0re 8172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
44		recoscl 12275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
45	39, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘1) ∈ ℝ
46	40, 29	rerecclapi 8950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
47	43, 46, 45	lelttri 8278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
48	42, 36, 47	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (cos‘1)
49	43, 45, 48	ltleii 8275	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (cos‘1)
50	46, 45	lt2sqi 10882	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
51	42, 49, 50	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
52	36, 51	mpbi 145	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
53	34, 52	eqbrtrri 4109	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54		2pos 9227	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
55	3, 5	rerecclapi 8950	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 9) ∈ ℝ
56	45	resqcli 10879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57		2re 9206	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	55, 56, 57	ltmul2i 9096	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
59	54, 58	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
60	53, 59	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
61	27, 60	eqbrtrri 4109	. . . . 5 ⊢ (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
62	57, 3, 5	redivclapi 8952	. . . . . 6 ⊢ (2 / 9) ∈ ℝ
63	57, 56	remulcli 8186	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64		ltsub1 8631	. . . . . 6 ⊢ (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
65	62, 63, 39, 64	mp3an 1371	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
66	61, 65	mpbi 145	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
67	22, 66	eqbrtrri 4109	. . 3 ⊢ -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
68	25	fveq2i 5638	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69		cos2t 12304	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
70	23, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
71	68, 70	eqtr3i 2252	. . 3 ⊢ (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
72	67, 71	breqtrri 4113	. 2 ⊢ -(7 / 9) < (cos‘2)
73	35	simpri 113	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
74		0le2 9226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
75	57, 40	divge0i 9084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
76	74, 38, 75	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (2 / 3)
77	57, 40, 29	redivclapi 8952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
78	45, 77	lt2sqi 10882	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
79	49, 76, 78	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
80	73, 79	mpbi 145	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
81	8, 28, 29	sqdivapi 10878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82		sq2 10890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
83	82, 32	oveq12i 6025	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
84	81, 83	eqtri 2250	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
85	80, 84	breqtri 4111	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86		4re 9213	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
87	86, 3, 5	redivclapi 8952	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 9) ∈ ℝ
88	56, 87, 57	ltmul2i 9096	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
89	54, 88	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
90	85, 89	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91		4cn 9214	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	8, 91, 2, 5	divassapi 8941	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93		4t2e8 9295	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
94	91, 8, 93	mulcomli 8179	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
95	94	oveq1i 6023	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
96	92, 95	eqtr3i 2252	. . . . . 6 ⊢ (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
97	90, 96	breqtri 4111	. . . . 5 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98		8re 9221	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
99	98, 3, 5	redivclapi 8952	. . . . . 6 ⊢ (8 / 9) ∈ ℝ
100		ltsub1 8631	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
101	63, 99, 39, 100	mp3an 1371	. . . . 5 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
102	97, 101	mpbi 145	. . . 4 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
103	20	oveq2i 6024	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104		divnegap 8879	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
105	23, 2, 5, 104	mp3an 1371	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 9) = (-1 / 9)
106		8cn 9222	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
107	2, 106	negsubdi2i 8458	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = (8 − 9)
108		8p1e9 9277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
109	2, 106, 23, 108	subaddrii 8461	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 8) = 1
110	109	negeqi 8366	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = -1
111	107, 110	eqtr3i 2252	. . . . . . 7 ⊢ (8 − 9) = -1
112	111	oveq1i 6023	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113		divsubdirap 8881	. . . . . . 7 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 # 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114	106, 2, 9, 113	mp3an 1371	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115	105, 112, 114	3eqtr2ri 2257	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116	103, 115	eqtr3i 2252	. . . 4 ⊢ ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117	102, 116	breqtri 4111	. . 3 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
118	71, 117	eqbrtri 4107	. 2 ⊢ (cos‘2) < -(1 / 9)
119	72, 118	pm3.2i 272	1 ⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  ℝcr 8024  0cc0 8025  1c1 8026   + caddc 8028   · cmul 8030   < clt 8207   ≤ cle 8208   − cmin 8343  -cneg 8344   # cap 8754   / cdiv 8845  2c2 9187  3c3 9188  4c4 9189  7c7 9192  8c8 9193  9c9 9194  ↑cexp 10793  cosccos 12199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-disj 4063  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7177  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-ioc 10121  df-ico 10122  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-fac 10981  df-bc 11003  df-ihash 11031  df-shft 11369  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-clim 11833  df-sumdc 11908  df-ef 12202  df-sin 12204  df-cos 12205

This theorem is referenced by:  sincos2sgn  12320