Theorem 1nprm 12307

Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1nprm	⊢ ¬ 1 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1nprm

Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nen2 6931	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
2		1nn 9018	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		eleq1 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
4	2, 3	mpbiri 168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → 𝑧 ∈ ℕ)
5		nnnn0 9273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
6		dvds1 12035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
8	7	bicomd 141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
9	4, 8	biadan2 456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
10		velsn 3640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 = 1)
11		breq1 4037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 ∥ 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
12	11	elrab 2920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
13	9, 10, 12	3bitr4ri 213	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ 𝑧 ∈ {1})
14	13	eqriv 2193	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} = {1}
15		1ex 8038	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
16	15	ensn1 6864	. . . . 5 ⊢ {1} ≈ 1o
17	14, 16	eqbrtri 4055	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 1o
18	17	ensymi 6850	. . 3 ⊢ 1o ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1}
19		isprm 12302	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℙ ↔ (1 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o))
20	19	simprbi 275	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℙ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o)
21		entr 6852	. . 3 ⊢ ((1o ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o) → 1o ≈ 2o)
22	18, 20, 21	sylancr 414	. 2 ⊢ (1 ∈ ℙ → 1o ≈ 2o)
23	1, 22	mto 663	1 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479  {csn 3623   class class class wbr 4034  1_oc1o 6476  2_oc2o 6477   ≈ cen 6806  1c1 7897  ℕcn 9007  ℕ₀cn0 9266   ∥ cdvds 11969  ℙcprime 12300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-er 6601  df-en 6809  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970  df-prm 12301

This theorem is referenced by:  isprm2  12310  nprmdvds1  12333  prm23lt5  12457  pcmpt  12537  2lgs  15429