Theorem 1nprm 12691

Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1nprm	⊢ ¬ 1 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1nprm

Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nen2 7047	. 2 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
2		1nn 9154	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		eleq1 2294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
4	2, 3	mpbiri 168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → 𝑧 ∈ ℕ)
5		nnnn0 9409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
6		dvds1 12419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
8	7	bicomd 141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
9	4, 8	biadan2 456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
10		velsn 3686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 = 1)
11		breq1 4091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 ∥ 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
12	11	elrab 2962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
13	9, 10, 12	3bitr4ri 213	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ 𝑧 ∈ {1})
14	13	eqriv 2228	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} = {1}
15		1ex 8174	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
16	15	ensn1 6970	. . . . 5 ⊢ {1} ≈ 1o
17	14, 16	eqbrtri 4109	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 1o
18	17	ensymi 6956	. . 3 ⊢ 1o ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1}
19		isprm 12686	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℙ ↔ (1 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o))
20	19	simprbi 275	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℙ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o)
21		entr 6958	. . 3 ⊢ ((1o ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o) → 1o ≈ 2o)
22	18, 20, 21	sylancr 414	. 2 ⊢ (1 ∈ ℙ → 1o ≈ 2o)
23	1, 22	mto 668	1 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {crab 2514  {csn 3669   class class class wbr 4088  1_oc1o 6575  2_oc2o 6576   ≈ cen 6907  1c1 8033  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402   ∥ cdvds 12353  ℙcprime 12684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-dvds 12354  df-prm 12685

This theorem is referenced by:  isprm2  12694  nprmdvds1  12717  prm23lt5  12841  pcmpt  12921  2lgs  15839