ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geoihalfsum GIF version

Theorem geoihalfsum 11485
Description: Prove that the infinite geometric series of 1/2, 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1. Uses geoisum1 11482. This is a representation of .111... in binary with an infinite number of 1's. Theorem 0.999... 11484 proves a similar claim for .999... in base 10. (Contributed by David A. Wheeler, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
geoihalfsum Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem geoihalfsum
StepHypRef Expression
1 2cn 8949 . . . . 5 2 ∈ ℂ
21a1i 9 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
3 2ap0 8971 . . . . 5 2 # 0
43a1i 9 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 2 # 0)
5 nnz 9231 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
62, 4, 5exprecapd 10617 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
76sumeq2i 11327 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘))
8 halfcn 9092 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℂ
9 halfre 9091 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
10 halfge0 9094 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 2)
11 absid 11035 . . . . . 6 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
129, 10, 11mp2an 424 . . . . 5 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
13 halflt1 9095 . . . . 5 (1 / 2) < 1
1412, 13eqbrtri 4010 . . . 4 (abs‘(1 / 2)) < 1
15 geoisum1 11482 . . . 4 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 2)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2) / (1 − (1 / 2))))
168, 14, 15mp2an 424 . . 3 Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2) / (1 − (1 / 2)))
17 1mhlfehlf 9096 . . . 4 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
1817oveq2i 5864 . . 3 ((1 / 2) / (1 − (1 / 2))) = ((1 / 2) / (1 / 2))
19 ax-1cn 7867 . . . . 5 1 ∈ ℂ
20 1ap0 8509 . . . . 5 1 # 0
2119, 1, 20, 3divap0i 8677 . . . 4 (1 / 2) # 0
228, 21dividapi 8662 . . 3 ((1 / 2) / (1 / 2)) = 1
2316, 18, 223eqtri 2195 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = 1
247, 23eqtr3i 2193 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) = 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1348  wcel 2141   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  cc 7772  cr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   < clt 7954  cle 7955  cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589  cn 8878  2c2 8929  cexp 10475  abscabs 10961  Σcsu 11316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317
This theorem is referenced by:  trilpolemgt1  14071  trilpolemeq1  14072  redcwlpolemeq1  14086
  Copyright terms: Public domain W3C validator