Theorem geoihalfsum 11533

Description: Prove that the infinite geometric series of 1/2, 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1. Uses geoisum1 11530. This is a representation of .111... in binary with an infinite number of 1's. Theorem 0.999... 11532 proves a similar claim for .999... in base 10. (Contributed by David A. Wheeler, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
geoihalfsum	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem geoihalfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 8993	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
3		2ap0 9015	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 # 0)
5		nnz 9275	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
6	2, 4, 5	exprecapd 10665	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
7	6	sumeq2i 11375	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘))
8		halfcn 9136	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
9		halfre 9135	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
10		halfge0 9138	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
11		absid 11083	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
12	9, 10, 11	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
13		halflt1 9139	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) < 1
14	12, 13	eqbrtri 4026	. . . 4 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
15		geoisum1 11530	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 2)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2) / (1 − (1 / 2))))
16	8, 14, 15	mp2an 426	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2) / (1 − (1 / 2)))
17		1mhlfehlf 9140	. . . 4 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
18	17	oveq2i 5889	. . 3 ⊢ ((1 / 2) / (1 − (1 / 2))) = ((1 / 2) / (1 / 2))
19		ax-1cn 7907	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		1ap0 8550	. . . . 5 ⊢ 1 # 0
21	19, 1, 20, 3	divap0i 8720	. . . 4 ⊢ (1 / 2) # 0
22	8, 21	dividapi 8705	. . 3 ⊢ ((1 / 2) / (1 / 2)) = 1
23	16, 18, 22	3eqtri 2202	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = 1
24	7, 23	eqtr3i 2200	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  ℂcc 7812  ℝcr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   < clt 7995   ≤ cle 7996   − cmin 8131   # cap 8541   / cdiv 8632  ℕcn 8922  2c2 8973  ↑cexp 10522  abscabs 11009  Σcsu 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-ihash 10759  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365

This theorem is referenced by:  trilpolemgt1  14928  trilpolemeq1  14929  redcwlpolemeq1  14943