Theorem declei 9210

Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declei.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
declei.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
declei.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
declei.4	⊢ 𝐶 ≤ 9

Assertion

Ref	Expression
declei	⊢ 𝐶 ≤ ;𝐴𝐵

Proof of Theorem declei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		declei.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
2	1	dec0h 9196	. 2 ⊢ 𝐶 = ;0𝐶
3		0nn0 8985	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		declei.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
5	4	nnnn0i 8978	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		declei.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7		declei.4	. . 3 ⊢ 𝐶 ≤ 9
8	4	nngt0i 8743	. . 3 ⊢ 0 < 𝐴
9	3, 5, 1, 6, 7, 8	decleh 9209	. 2 ⊢ ;0𝐶 ≤ ;𝐴𝐵
10	2, 9	eqbrtri 3944	1 ⊢ 𝐶 ≤ ;𝐴𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  0cc0 7613   ≤ cle 7794  ℕcn 8713  9c9 8771  ℕ₀cn0 8970  ;cdc 9175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-5 8775  df-6 8776  df-7 8777  df-8 8778  df-9 8779  df-n0 8971  df-z 9048  df-dec 9176

This theorem is referenced by: (None)