Theorem declei 9422

Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declei.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
declei.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
declei.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
declei.4	⊢ 𝐶 ≤ 9

Assertion

Ref	Expression
declei	⊢ 𝐶 ≤ ;𝐴𝐵

Proof of Theorem declei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		declei.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
2	1	dec0h 9408	. 2 ⊢ 𝐶 = ;0𝐶
3		0nn0 9194	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		declei.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
5	4	nnnn0i 9187	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		declei.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7		declei.4	. . 3 ⊢ 𝐶 ≤ 9
8	4	nngt0i 8952	. . 3 ⊢ 0 < 𝐴
9	3, 5, 1, 6, 7, 8	decleh 9421	. 2 ⊢ ;0𝐶 ≤ ;𝐴𝐵
10	2, 9	eqbrtri 4026	1 ⊢ 𝐶 ≤ ;𝐴𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  0cc0 7814   ≤ cle 7996  ℕcn 8922  9c9 8980  ℕ₀cn0 9179  ;cdc 9387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-9 8988  df-n0 9180  df-z 9257  df-dec 9388

This theorem is referenced by:  cnfldstr  13597