Theorem eqbrtrd 4011

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqbrtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	breq1d 3999	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
4	1, 3	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   class class class wbr 3989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990

This theorem is referenced by:  eqbrtrrd  4013  dif1en  6857  ccfunen  7226  prarloclemcalc  7464  ltexprlemopu  7565  recexprlemloc  7593  caucvgprprlemloccalc  7646  suplocsrlem  7770  axpre-suploclemres  7863  mulle0r  8860  lbinfle  8866  divge1  9680  xltnegi  9792  xleadd1a  9830  xltadd1  9833  xlt2add  9837  xposdif  9839  xleaddadd  9844  ubmelm1fzo  10182  qbtwnrelemcalc  10212  qbtwnxr  10214  ceiqm1l  10267  ceilqm1lt  10268  ceilqle  10270  modqlt  10289  modqeqmodmin  10350  addmodlteq  10354  exp3vallem  10477  bernneq  10596  nn0ltexp2  10644  faclbnd2  10676  resqrexlemdec  10975  resqrexlemcalc2  10979  resqrexlemglsq  10986  resqrexlemga  10987  abslt  11052  amgm2  11082  icodiamlt  11144  maxabsle  11168  maxltsup  11182  minmax  11193  min1inf  11195  min2inf  11196  bdtrilem  11202  xrmaxltsup  11221  xrmaxaddlem  11223  xrmaxadd  11224  xrminmax  11228  xrmin1inf  11230  xrmin2inf  11231  climconst  11253  serclim0  11268  mulcn2  11275  reccn2ap  11276  iserex  11302  climlec2  11304  iserge0  11306  climcau  11310  climcvg1nlem  11312  fsumabs  11428  iserabs  11438  isumlessdc  11459  divcnv  11460  expcnvre  11466  absgtap  11473  georeclim  11476  cvgratnnlembern  11486  cvgratnnlemsumlt  11491  cvgratnnlemfm  11492  cvgratnnlemrate  11493  mertenslemub  11497  mertenslemi1  11498  prodfclim1  11507  prodfap0  11508  efcvgfsum  11630  eftlub  11653  eflegeo  11664  tanval3ap  11677  tannegap  11691  ef01bndlem  11719  sin01bnd  11720  cos01bnd  11721  cos01gt0  11725  zsupssdc  11909  mulgcd  11971  nnminle  11990  eucalglt  12011  lcmledvds  12024  mulgcddvds  12048  prmind2  12074  isprm5lem  12095  pw2dvdslemn  12119  pw2dvdseulemle  12121  oddpwdclemdvds  12124  sqrt2irrap  12134  divdenle  12151  nonsq  12161  pythagtriplem4  12222  pclem0  12240  pcpremul  12247  pczdvds  12267  pcprmpw2  12286  qexpz  12304  4sqlem10  12339  ennnfonelemkh  12367  bl2in  13197  xblcntrps  13207  xblcntr  13208  ssblps  13219  ssbl  13220  blssps  13221  blss  13222  xmetxp  13301  mulc1cncf  13370  cncfmptc  13376  mulcncflem  13384  ivthinclemlopn  13408  ivthinclemuopn  13410  ivthdec  13416  limcimolemlt  13427  cnplimclemle  13431  cnplimclemr  13432  limccnp2lem  13439  dveflem  13481  reeff1olem  13486  reeff1oleme  13487  tangtx  13553  cosq34lt1  13565  logdivlti  13596  cxpap0  13619  rpabscxpbnd  13653  lgslem3  13697  qdencn  14059  cvgcmp2nlemabs  14064  trilpolemclim  14068  trilpolemisumle  14070  trilpolemeq1  14072  apdifflemf  14078  apdifflemr  14079