Theorem eqbrtrd 4110

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqbrtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	breq1d 4098	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   class class class wbr 4088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089

This theorem is referenced by:  eqbrtrrd  4112  dif1en  7068  ccfunen  7483  prarloclemcalc  7722  ltexprlemopu  7823  recexprlemloc  7851  caucvgprprlemloccalc  7904  suplocsrlem  8028  axpre-suploclemres  8121  mulle0r  9124  lbinfle  9130  divge1  9958  xltnegi  10070  xleadd1a  10108  xltadd1  10111  xlt2add  10115  xposdif  10117  xleaddadd  10122  ubmelm1fzo  10472  zsupssdc  10499  qbtwnrelemcalc  10516  qbtwnxr  10518  ceiqm1l  10574  ceilqm1lt  10575  ceilqle  10577  modqlt  10596  modqeqmodmin  10657  addmodlteq  10661  seqf1oglem1  10782  exp3vallem  10803  bernneq  10923  nn0ltexp2  10972  faclbnd2  11005  ccatsymb  11183  ccatrn  11190  resqrexlemdec  11589  resqrexlemcalc2  11593  resqrexlemglsq  11600  resqrexlemga  11601  abslt  11666  amgm2  11696  icodiamlt  11758  maxabsle  11782  maxltsup  11796  minmax  11808  min1inf  11810  min2inf  11811  bdtrilem  11817  xrmaxltsup  11836  xrmaxaddlem  11838  xrmaxadd  11839  xrminmax  11843  xrmin1inf  11845  xrmin2inf  11846  climconst  11868  serclim0  11883  mulcn2  11890  reccn2ap  11891  iserex  11917  climlec2  11919  iserge0  11921  climcau  11925  climcvg1nlem  11927  fsumabs  12044  iserabs  12054  isumlessdc  12075  divcnv  12076  expcnvre  12082  absgtap  12089  georeclim  12092  cvgratnnlembern  12102  cvgratnnlemsumlt  12107  cvgratnnlemfm  12108  cvgratnnlemrate  12109  mertenslemub  12113  mertenslemi1  12114  prodfclim1  12123  prodfap0  12124  efcvgfsum  12246  eftlub  12269  eflegeo  12280  tanval3ap  12293  tannegap  12307  ef01bndlem  12335  sin01bnd  12336  cos01bnd  12337  cos01gt0  12342  bitsfzolem  12533  bitsfzo  12534  bitsinv1lem  12540  mulgcd  12605  nnminle  12624  eucalglt  12647  lcmledvds  12660  mulgcddvds  12684  prmind2  12710  isprm5lem  12731  pw2dvdslemn  12755  pw2dvdseulemle  12757  oddpwdclemdvds  12760  sqrt2irrap  12770  divdenle  12787  nonsq  12797  pythagtriplem4  12859  pclem0  12877  pcpremul  12884  pczdvds  12905  pcprmpw2  12924  qexpz  12943  4sqlem10  12978  ennnfonelemkh  13051  prdsbaslemss  13375  triv1nsgd  13823  qusgrp  13837  gsumsplit0  13951  bl2in  15146  xblcntrps  15156  xblcntr  15157  ssblps  15168  ssbl  15169  blssps  15170  blss  15171  xmetxp  15250  mulc1cncf  15332  cncfmptc  15339  mulcncflem  15350  ivthinclemlopn  15379  ivthinclemuopn  15381  ivthdec  15387  ivthreinc  15388  hovera  15390  hoverlt1  15392  limcimolemlt  15407  cnplimclemle  15411  cnplimclemr  15412  limccnp2lem  15419  dveflem  15469  reeff1olem  15514  reeff1oleme  15515  tangtx  15581  cosq34lt1  15593  logdivlti  15624  cxpap0  15647  rpabscxpbnd  15683  mersenne  15740  lgslem3  15750  gausslemma2dlem1a  15806  lgsquadlem1  15825  lgsquadlem2  15826  2lgslem1c  15838  subumgredg2en  16141  qdencn  16682  cvgcmp2nlemabs  16687  trilpolemclim  16691  trilpolemisumle  16693  trilpolemeq1  16695  apdifflemf  16701  apdifflemr  16702