Theorem eqbrtrd 4004

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqbrtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
2		eqbrtrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	breq1d 3992	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
4	1, 3	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   class class class wbr 3982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983

This theorem is referenced by:  eqbrtrrd  4006  dif1en  6845  ccfunen  7205  prarloclemcalc  7443  ltexprlemopu  7544  recexprlemloc  7572  caucvgprprlemloccalc  7625  suplocsrlem  7749  axpre-suploclemres  7842  mulle0r  8839  lbinfle  8845  divge1  9659  xltnegi  9771  xleadd1a  9809  xltadd1  9812  xlt2add  9816  xposdif  9818  xleaddadd  9823  ubmelm1fzo  10161  qbtwnrelemcalc  10191  qbtwnxr  10193  ceiqm1l  10246  ceilqm1lt  10247  ceilqle  10249  modqlt  10268  modqeqmodmin  10329  addmodlteq  10333  exp3vallem  10456  bernneq  10575  nn0ltexp2  10623  faclbnd2  10655  resqrexlemdec  10953  resqrexlemcalc2  10957  resqrexlemglsq  10964  resqrexlemga  10965  abslt  11030  amgm2  11060  icodiamlt  11122  maxabsle  11146  maxltsup  11160  minmax  11171  min1inf  11173  min2inf  11174  bdtrilem  11180  xrmaxltsup  11199  xrmaxaddlem  11201  xrmaxadd  11202  xrminmax  11206  xrmin1inf  11208  xrmin2inf  11209  climconst  11231  serclim0  11246  mulcn2  11253  reccn2ap  11254  iserex  11280  climlec2  11282  iserge0  11284  climcau  11288  climcvg1nlem  11290  fsumabs  11406  iserabs  11416  isumlessdc  11437  divcnv  11438  expcnvre  11444  absgtap  11451  georeclim  11454  cvgratnnlembern  11464  cvgratnnlemsumlt  11469  cvgratnnlemfm  11470  cvgratnnlemrate  11471  mertenslemub  11475  mertenslemi1  11476  prodfclim1  11485  prodfap0  11486  efcvgfsum  11608  eftlub  11631  eflegeo  11642  tanval3ap  11655  tannegap  11669  ef01bndlem  11697  sin01bnd  11698  cos01bnd  11699  cos01gt0  11703  zsupssdc  11887  mulgcd  11949  nnminle  11968  eucalglt  11989  lcmledvds  12002  mulgcddvds  12026  prmind2  12052  isprm5lem  12073  pw2dvdslemn  12097  pw2dvdseulemle  12099  oddpwdclemdvds  12102  sqrt2irrap  12112  divdenle  12129  nonsq  12139  pythagtriplem4  12200  pclem0  12218  pcpremul  12225  pczdvds  12245  pcprmpw2  12264  qexpz  12282  4sqlem10  12317  ennnfonelemkh  12345  bl2in  13043  xblcntrps  13053  xblcntr  13054  ssblps  13065  ssbl  13066  blssps  13067  blss  13068  xmetxp  13147  mulc1cncf  13216  cncfmptc  13222  mulcncflem  13230  ivthinclemlopn  13254  ivthinclemuopn  13256  ivthdec  13262  limcimolemlt  13273  cnplimclemle  13277  cnplimclemr  13278  limccnp2lem  13285  dveflem  13327  reeff1olem  13332  reeff1oleme  13333  tangtx  13399  cosq34lt1  13411  logdivlti  13442  cxpap0  13465  rpabscxpbnd  13499  lgslem3  13543  qdencn  13906  cvgcmp2nlemabs  13911  trilpolemclim  13915  trilpolemisumle  13917  trilpolemeq1  13919  apdifflemf  13925  apdifflemr  13926