Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0.999... GIF version

Theorem 0.999... 11283
 Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. 9 / 10↑1 + 9 / 10↑2 + 9 / 10↑3 + ..., is exactly equal to 1. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
0.999... Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 9cn 8801 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
21a1i 9 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 9 ∈ ℂ)
3 10re 9193 . . . . . . . 8 10 ∈ ℝ
43recni 7771 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
54a1i 9 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ∈ ℂ)
6 nnnn0 8977 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
75, 6expcld 10417 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
8 10pos 9191 . . . . . . . 8 0 < 10
93, 8gt0ap0ii 8383 . . . . . . 7 10 # 0
109a1i 9 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 # 0)
11 nnz 9066 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
125, 10, 11expap0d 10423 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) # 0)
132, 7, 12divrecapd 8546 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
145, 10, 11exprecapd 10425 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 10)↑𝑘) = (1 / (10↑𝑘)))
1514oveq2d 5783 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
1613, 15eqtr4d 2173 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · ((1 / 10)↑𝑘)))
1716sumeq2i 11126 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘))
183, 9rerecclapi 8530 . . . . 5 (1 / 10) ∈ ℝ
1918recni 7771 . . . 4 (1 / 10) ∈ ℂ
20 0re 7759 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
213, 8recgt0ii 8658 . . . . . . 7 0 < (1 / 10)
2220, 18, 21ltleii 7859 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 10)
2318absidi 10891 . . . . . 6 (0 ≤ (1 / 10) → (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10))
2422, 23ax-mp 5 . . . . 5 (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10)
25 1lt10 9313 . . . . . 6 1 < 10
26 recgt1 8648 . . . . . . 7 ((10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10) → (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1))
273, 8, 26mp2an 422 . . . . . 6 (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1)
2825, 27mpbi 144 . . . . 5 (1 / 10) < 1
2924, 28eqbrtri 3944 . . . 4 (abs‘(1 / 10)) < 1
30 geoisum1c 11282 . . . 4 ((9 ∈ ℂ ∧ (1 / 10) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 10)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10))))
311, 19, 29, 30mp3an 1315 . . 3 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
321, 4, 9divrecapi 8510 . . . 4 (9 / 10) = (9 · (1 / 10))
331, 4, 9divcanap2i 8508 . . . . . 6 (10 · (9 / 10)) = 9
34 ax-1cn 7706 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
354, 34, 19subdii 8162 . . . . . . 7 (10 · (1 − (1 / 10))) = ((10 · 1) − (10 · (1 / 10)))
364mulid1i 7761 . . . . . . . 8 (10 · 1) = 10
374, 9recidapi 8496 . . . . . . . 8 (10 · (1 / 10)) = 1
3836, 37oveq12i 5779 . . . . . . 7 ((10 · 1) − (10 · (1 / 10))) = (10 − 1)
39 10m1e9 9270 . . . . . . 7 (10 − 1) = 9
4035, 38, 393eqtrri 2163 . . . . . 6 9 = (10 · (1 − (1 / 10)))
4133, 40eqtri 2158 . . . . 5 (10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10)))
42 9re 8800 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
4342, 3, 9redivclapi 8532 . . . . . . 7 (9 / 10) ∈ ℝ
4443recni 7771 . . . . . 6 (9 / 10) ∈ ℂ
4534, 19subcli 8031 . . . . . 6 (1 − (1 / 10)) ∈ ℂ
4644, 45, 4, 9mulcanapi 8421 . . . . 5 ((10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10))) ↔ (9 / 10) = (1 − (1 / 10)))
4741, 46mpbi 144 . . . 4 (9 / 10) = (1 − (1 / 10))
4832, 47oveq12i 5779 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
49 9pos 8817 . . . . . 6 0 < 9
5042, 3, 49, 8divgt0ii 8670 . . . . 5 0 < (9 / 10)
5143, 50gt0ap0ii 8383 . . . 4 (9 / 10) # 0
5244, 51dividapi 8498 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = 1
5331, 48, 523eqtr2i 2164 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = 1
5417, 53eqtri 2158 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  ℝcr 7612  0cc0 7613  1c1 7614   · cmul 7618   < clt 7793   ≤ cle 7794   − cmin 7926   # cap 8336   / cdiv 8425  ℕcn 8713  9c9 8771  ;cdc 9175  ↑cexp 10285  abscabs 10762  Σcsu 11115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-5 8775  df-6 8776  df-7 8777  df-8 8778  df-9 8779  df-n0 8971  df-z 9048  df-dec 9176  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator