ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0.999... GIF version

Theorem 0.999... 11570
Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. 9 / 10↑1 + 9 / 10↑2 + 9 / 10↑3 + ..., is exactly equal to 1. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
0.999... Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 9cn 9042 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
21a1i 9 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 9 ∈ ℂ)
3 10re 9437 . . . . . . . 8 10 ∈ ℝ
43recni 8004 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
54a1i 9 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ∈ ℂ)
6 nnnn0 9218 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
75, 6expcld 10694 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
8 10pos 9435 . . . . . . . 8 0 < 10
93, 8gt0ap0ii 8620 . . . . . . 7 10 # 0
109a1i 9 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 # 0)
11 nnz 9307 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
125, 10, 11expap0d 10700 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) # 0)
132, 7, 12divrecapd 8785 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
145, 10, 11exprecapd 10702 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 10)↑𝑘) = (1 / (10↑𝑘)))
1514oveq2d 5916 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
1613, 15eqtr4d 2225 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · ((1 / 10)↑𝑘)))
1716sumeq2i 11413 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘))
183, 9rerecclapi 8769 . . . . 5 (1 / 10) ∈ ℝ
1918recni 8004 . . . 4 (1 / 10) ∈ ℂ
20 0re 7992 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
213, 8recgt0ii 8899 . . . . . . 7 0 < (1 / 10)
2220, 18, 21ltleii 8095 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 10)
2318absidi 11176 . . . . . 6 (0 ≤ (1 / 10) → (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10))
2422, 23ax-mp 5 . . . . 5 (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10)
25 1lt10 9557 . . . . . 6 1 < 10
26 recgt1 8889 . . . . . . 7 ((10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10) → (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1))
273, 8, 26mp2an 426 . . . . . 6 (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1)
2825, 27mpbi 145 . . . . 5 (1 / 10) < 1
2924, 28eqbrtri 4042 . . . 4 (abs‘(1 / 10)) < 1
30 geoisum1c 11569 . . . 4 ((9 ∈ ℂ ∧ (1 / 10) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 10)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10))))
311, 19, 29, 30mp3an 1348 . . 3 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
321, 4, 9divrecapi 8749 . . . 4 (9 / 10) = (9 · (1 / 10))
331, 4, 9divcanap2i 8747 . . . . . 6 (10 · (9 / 10)) = 9
34 ax-1cn 7939 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
354, 34, 19subdii 8399 . . . . . . 7 (10 · (1 − (1 / 10))) = ((10 · 1) − (10 · (1 / 10)))
364mulid1i 7994 . . . . . . . 8 (10 · 1) = 10
374, 9recidapi 8735 . . . . . . . 8 (10 · (1 / 10)) = 1
3836, 37oveq12i 5912 . . . . . . 7 ((10 · 1) − (10 · (1 / 10))) = (10 − 1)
39 10m1e9 9514 . . . . . . 7 (10 − 1) = 9
4035, 38, 393eqtrri 2215 . . . . . 6 9 = (10 · (1 − (1 / 10)))
4133, 40eqtri 2210 . . . . 5 (10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10)))
42 9re 9041 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
4342, 3, 9redivclapi 8771 . . . . . . 7 (9 / 10) ∈ ℝ
4443recni 8004 . . . . . 6 (9 / 10) ∈ ℂ
4534, 19subcli 8268 . . . . . 6 (1 − (1 / 10)) ∈ ℂ
4644, 45, 4, 9mulcanapi 8659 . . . . 5 ((10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10))) ↔ (9 / 10) = (1 − (1 / 10)))
4741, 46mpbi 145 . . . 4 (9 / 10) = (1 − (1 / 10))
4832, 47oveq12i 5912 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
49 9pos 9058 . . . . . 6 0 < 9
5042, 3, 49, 8divgt0ii 8911 . . . . 5 0 < (9 / 10)
5143, 50gt0ap0ii 8620 . . . 4 (9 / 10) # 0
5244, 51dividapi 8737 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = 1
5331, 48, 523eqtr2i 2216 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = 1
5417, 53eqtri 2210 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4021  cfv 5238  (class class class)co 5900  cc 7844  cr 7845  0cc0 7846  1c1 7847   · cmul 7851   < clt 8027  cle 8028  cmin 8163   # cap 8573   / cdiv 8664  cn 8954  9c9 9012  cdc 9419  cexp 10559  abscabs 11047  Σcsu 11402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965  ax-caucvg 7966
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-isom 5247  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-irdg 6399  df-frec 6420  df-1o 6445  df-oadd 6449  df-er 6563  df-en 6771  df-dom 6772  df-fin 6773  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-7 9018  df-8 9019  df-9 9020  df-n0 9212  df-z 9289  df-dec 9420  df-uz 9564  df-q 9656  df-rp 9690  df-fz 10045  df-fzo 10179  df-seqfrec 10485  df-exp 10560  df-ihash 10797  df-cj 10892  df-re 10893  df-im 10894  df-rsqrt 11048  df-abs 11049  df-clim 11328  df-sumdc 11403
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator