ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0.999... GIF version

Theorem 0.999... 10911
Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. 9 / 10↑1 + 9 / 10↑2 + 9 / 10↑3 + ..., is exactly equal to 1. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
0.999... Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 9cn 8508 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
21a1i 9 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 9 ∈ ℂ)
3 10re 8893 . . . . . . . 8 10 ∈ ℝ
43recni 7498 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
54a1i 9 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ∈ ℂ)
6 nnnn0 8678 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
75, 6expcld 10082 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
8 10pos 8891 . . . . . . . 8 0 < 10
93, 8gt0ap0ii 8102 . . . . . . 7 10 # 0
109a1i 9 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 # 0)
11 nnz 8767 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
125, 10, 11expap0d 10088 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) # 0)
132, 7, 12divrecapd 8258 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
145, 10, 11exprecapd 10090 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 10)↑𝑘) = (1 / (10↑𝑘)))
1514oveq2d 5668 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
1613, 15eqtr4d 2123 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · ((1 / 10)↑𝑘)))
1716sumeq2i 10749 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘))
183, 9rerecclapi 8242 . . . . 5 (1 / 10) ∈ ℝ
1918recni 7498 . . . 4 (1 / 10) ∈ ℂ
20 0re 7486 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
213, 8recgt0ii 8366 . . . . . . 7 0 < (1 / 10)
2220, 18, 21ltleii 7585 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 10)
2318absidi 10555 . . . . . 6 (0 ≤ (1 / 10) → (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10))
2422, 23ax-mp 7 . . . . 5 (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10)
25 1lt10 9013 . . . . . 6 1 < 10
26 recgt1 8356 . . . . . . 7 ((10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10) → (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1))
273, 8, 26mp2an 417 . . . . . 6 (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1)
2825, 27mpbi 143 . . . . 5 (1 / 10) < 1
2924, 28eqbrtri 3864 . . . 4 (abs‘(1 / 10)) < 1
30 geoisum1c 10910 . . . 4 ((9 ∈ ℂ ∧ (1 / 10) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 10)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10))))
311, 19, 29, 30mp3an 1273 . . 3 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
321, 4, 9divrecapi 8222 . . . 4 (9 / 10) = (9 · (1 / 10))
331, 4, 9divcanap2i 8220 . . . . . 6 (10 · (9 / 10)) = 9
34 ax-1cn 7436 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
354, 34, 19subdii 7883 . . . . . . 7 (10 · (1 − (1 / 10))) = ((10 · 1) − (10 · (1 / 10)))
364mulid1i 7488 . . . . . . . 8 (10 · 1) = 10
374, 9recidapi 8208 . . . . . . . 8 (10 · (1 / 10)) = 1
3836, 37oveq12i 5664 . . . . . . 7 ((10 · 1) − (10 · (1 / 10))) = (10 − 1)
39 10m1e9 8970 . . . . . . 7 (10 − 1) = 9
4035, 38, 393eqtrri 2113 . . . . . 6 9 = (10 · (1 − (1 / 10)))
4133, 40eqtri 2108 . . . . 5 (10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10)))
42 9re 8507 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
4342, 3, 9redivclapi 8244 . . . . . . 7 (9 / 10) ∈ ℝ
4443recni 7498 . . . . . 6 (9 / 10) ∈ ℂ
4534, 19subcli 7756 . . . . . 6 (1 − (1 / 10)) ∈ ℂ
4644, 45, 4, 9mulcanapi 8134 . . . . 5 ((10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10))) ↔ (9 / 10) = (1 − (1 / 10)))
4741, 46mpbi 143 . . . 4 (9 / 10) = (1 − (1 / 10))
4832, 47oveq12i 5664 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
49 9pos 8524 . . . . . 6 0 < 9
5042, 3, 49, 8divgt0ii 8378 . . . . 5 0 < (9 / 10)
5143, 50gt0ap0ii 8102 . . . 4 (9 / 10) # 0
5244, 51dividapi 8210 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = 1
5331, 48, 523eqtr2i 2114 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = 1
5417, 53eqtri 2108 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3845  cfv 5015  (class class class)co 5652  cc 7346  cr 7347  0cc0 7348  1c1 7349   · cmul 7353   < clt 7520  cle 7521  cmin 7651   # cap 8056   / cdiv 8137  cn 8420  9c9 8478  cdc 8875  cexp 9950  abscabs 10426  Σcsu 10738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-5 8482  df-6 8483  df-7 8484  df-8 8485  df-9 8486  df-n0 8672  df-z 8749  df-dec 8876  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-ihash 10180  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663  df-isum 10739
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator