ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0.999... GIF version

Theorem 0.999... 11258
Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. 9 / 10↑1 + 9 / 10↑2 + 9 / 10↑3 + ..., is exactly equal to 1. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
0.999... Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 9cn 8776 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
21a1i 9 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 9 ∈ ℂ)
3 10re 9168 . . . . . . . 8 10 ∈ ℝ
43recni 7746 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
54a1i 9 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ∈ ℂ)
6 nnnn0 8952 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
75, 6expcld 10392 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
8 10pos 9166 . . . . . . . 8 0 < 10
93, 8gt0ap0ii 8358 . . . . . . 7 10 # 0
109a1i 9 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 # 0)
11 nnz 9041 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
125, 10, 11expap0d 10398 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) # 0)
132, 7, 12divrecapd 8521 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
145, 10, 11exprecapd 10400 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 10)↑𝑘) = (1 / (10↑𝑘)))
1514oveq2d 5758 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
1613, 15eqtr4d 2153 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · ((1 / 10)↑𝑘)))
1716sumeq2i 11101 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘))
183, 9rerecclapi 8505 . . . . 5 (1 / 10) ∈ ℝ
1918recni 7746 . . . 4 (1 / 10) ∈ ℂ
20 0re 7734 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
213, 8recgt0ii 8633 . . . . . . 7 0 < (1 / 10)
2220, 18, 21ltleii 7834 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 10)
2318absidi 10866 . . . . . 6 (0 ≤ (1 / 10) → (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10))
2422, 23ax-mp 5 . . . . 5 (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10)
25 1lt10 9288 . . . . . 6 1 < 10
26 recgt1 8623 . . . . . . 7 ((10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10) → (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1))
273, 8, 26mp2an 422 . . . . . 6 (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1)
2825, 27mpbi 144 . . . . 5 (1 / 10) < 1
2924, 28eqbrtri 3919 . . . 4 (abs‘(1 / 10)) < 1
30 geoisum1c 11257 . . . 4 ((9 ∈ ℂ ∧ (1 / 10) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 10)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10))))
311, 19, 29, 30mp3an 1300 . . 3 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
321, 4, 9divrecapi 8485 . . . 4 (9 / 10) = (9 · (1 / 10))
331, 4, 9divcanap2i 8483 . . . . . 6 (10 · (9 / 10)) = 9
34 ax-1cn 7681 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
354, 34, 19subdii 8137 . . . . . . 7 (10 · (1 − (1 / 10))) = ((10 · 1) − (10 · (1 / 10)))
364mulid1i 7736 . . . . . . . 8 (10 · 1) = 10
374, 9recidapi 8471 . . . . . . . 8 (10 · (1 / 10)) = 1
3836, 37oveq12i 5754 . . . . . . 7 ((10 · 1) − (10 · (1 / 10))) = (10 − 1)
39 10m1e9 9245 . . . . . . 7 (10 − 1) = 9
4035, 38, 393eqtrri 2143 . . . . . 6 9 = (10 · (1 − (1 / 10)))
4133, 40eqtri 2138 . . . . 5 (10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10)))
42 9re 8775 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
4342, 3, 9redivclapi 8507 . . . . . . 7 (9 / 10) ∈ ℝ
4443recni 7746 . . . . . 6 (9 / 10) ∈ ℂ
4534, 19subcli 8006 . . . . . 6 (1 − (1 / 10)) ∈ ℂ
4644, 45, 4, 9mulcanapi 8396 . . . . 5 ((10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10))) ↔ (9 / 10) = (1 − (1 / 10)))
4741, 46mpbi 144 . . . 4 (9 / 10) = (1 − (1 / 10))
4832, 47oveq12i 5754 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
49 9pos 8792 . . . . . 6 0 < 9
5042, 3, 49, 8divgt0ii 8645 . . . . 5 0 < (9 / 10)
5143, 50gt0ap0ii 8358 . . . 4 (9 / 10) # 0
5244, 51dividapi 8473 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = 1
5331, 48, 523eqtr2i 2144 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = 1
5417, 53eqtri 2138 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  cc 7586  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   · cmul 7593   < clt 7768  cle 7769  cmin 7901   # cap 8311   / cdiv 8400  cn 8688  9c9 8746  cdc 9150  cexp 10260  abscabs 10737  Σcsu 11090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-5 8750  df-6 8751  df-7 8752  df-8 8753  df-9 8754  df-n0 8946  df-z 9023  df-dec 9151  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-ihash 10490  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016  df-sumdc 11091
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator