Theorem tan4thpi 15568

Description: The tangent of π / 4. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tan4thpi	⊢ (tan‘(π / 4)) = 1

Proof of Theorem tan4thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 15513	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
2		4nn 9307	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		nndivre 9179	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (π / 4) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ
5	4	recni 8191	. . 3 ⊢ (π / 4) ∈ ℂ
6		sincos4thpi 15567	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))
7	6	simpri 113	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
8		sqrt2re 12737	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
9	8	recni 8191	. . . . 5 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
10		2re 9213	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2pos 9234	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
12	10, 11	sqrtgt0ii 11693	. . . . . 6 ⊢ 0 < (√‘2)
13	8, 12	gt0ap0ii 8808	. . . . 5 ⊢ (√‘2) # 0
14		recap0 8865	. . . . 5 ⊢ (((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) # 0) → (1 / (√‘2)) # 0)
15	9, 13, 14	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (1 / (√‘2)) # 0
16	7, 15	eqbrtri 4109	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 4)) # 0
17		tanvalap 12271	. . 3 ⊢ (((π / 4) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 4)) # 0) → (tan‘(π / 4)) = ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4))))
18	5, 16, 17	mp2an 426	. 2 ⊢ (tan‘(π / 4)) = ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4)))
19	6	simpli 111	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
20	19, 7	oveq12i 6030	. 2 ⊢ ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4))) = ((1 / (√‘2)) / (1 / (√‘2)))
21	9, 13	recclapi 8922	. . 3 ⊢ (1 / (√‘2)) ∈ ℂ
22	21, 15	dividapi 8925	. 2 ⊢ ((1 / (√‘2)) / (1 / (√‘2))) = 1
23	18, 20, 22	3eqtri 2256	1 ⊢ (tan‘(π / 4)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   # cap 8761   / cdiv 8852  ℕcn 9143  2c2 9194  4c4 9196  √csqrt 11558  sincsin 12207  cosccos 12208  tanctan 12209  πcpi 12210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-pre-suploc 8153  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-map 6819  df-pm 6820  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-ioo 10127  df-ioc 10128  df-ico 10129  df-icc 10130  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-fac 10989  df-bc 11011  df-ihash 11039  df-shft 11377  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-clim 11841  df-sumdc 11916  df-ef 12211  df-sin 12213  df-cos 12214  df-tan 12215  df-pi 12216  df-rest 13326  df-topgen 13345  df-psmet 14560  df-xmet 14561  df-met 14562  df-bl 14563  df-mopn 14564  df-top 14725  df-topon 14738  df-bases 14770  df-ntr 14823  df-cn 14915  df-cnp 14916  df-tx 14980  df-cncf 15298  df-limced 15383  df-dvap 15384

This theorem is referenced by: (None)