Theorem tan4thpi 15357

Description: The tangent of π / 4. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tan4thpi	⊢ (tan‘(π / 4)) = 1

Proof of Theorem tan4thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 15302	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
2		4nn 9207	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		nndivre 9079	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (π / 4) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ
5	4	recni 8091	. . 3 ⊢ (π / 4) ∈ ℂ
6		sincos4thpi 15356	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))
7	6	simpri 113	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
8		sqrt2re 12529	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
9	8	recni 8091	. . . . 5 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
10		2re 9113	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2pos 9134	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
12	10, 11	sqrtgt0ii 11486	. . . . . 6 ⊢ 0 < (√‘2)
13	8, 12	gt0ap0ii 8708	. . . . 5 ⊢ (√‘2) # 0
14		recap0 8765	. . . . 5 ⊢ (((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) # 0) → (1 / (√‘2)) # 0)
15	9, 13, 14	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (1 / (√‘2)) # 0
16	7, 15	eqbrtri 4068	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 4)) # 0
17		tanvalap 12063	. . 3 ⊢ (((π / 4) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 4)) # 0) → (tan‘(π / 4)) = ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4))))
18	5, 16, 17	mp2an 426	. 2 ⊢ (tan‘(π / 4)) = ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4)))
19	6	simpli 111	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
20	19, 7	oveq12i 5963	. 2 ⊢ ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4))) = ((1 / (√‘2)) / (1 / (√‘2)))
21	9, 13	recclapi 8822	. . 3 ⊢ (1 / (√‘2)) ∈ ℂ
22	21, 15	dividapi 8825	. 2 ⊢ ((1 / (√‘2)) / (1 / (√‘2))) = 1
23	18, 20, 22	3eqtri 2231	1 ⊢ (tan‘(π / 4)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4047  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  ℝcr 7931  0cc0 7932  1c1 7933   # cap 8661   / cdiv 8752  ℕcn 9043  2c2 9094  4c4 9096  √csqrt 11351  sincsin 11999  cosccos 12000  tanctan 12001  πcpi 12002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052  ax-pre-suploc 8053  ax-addf 8054  ax-mulf 8055

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-disj 4024  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-isom 5285  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-of 6165  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-frec 6484  df-1o 6509  df-oadd 6513  df-er 6627  df-map 6744  df-pm 6745  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-sup 7093  df-inf 7094  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-xneg 9901  df-xadd 9902  df-ioo 10021  df-ioc 10022  df-ico 10023  df-icc 10024  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-fac 10878  df-bc 10900  df-ihash 10928  df-shft 11170  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-clim 11634  df-sumdc 11709  df-ef 12003  df-sin 12005  df-cos 12006  df-tan 12007  df-pi 12008  df-rest 13117  df-topgen 13136  df-psmet 14349  df-xmet 14350  df-met 14351  df-bl 14352  df-mopn 14353  df-top 14514  df-topon 14527  df-bases 14559  df-ntr 14612  df-cn 14704  df-cnp 14705  df-tx 14769  df-cncf 15087  df-limced 15172  df-dvap 15173

This theorem is referenced by: (None)