ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tan4thpi GIF version

Theorem tan4thpi 12935
Description: The tangent of π / 4. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tan4thpi (tan‘(π / 4)) = 1

Proof of Theorem tan4thpi
StepHypRef Expression
1 pire 12880 . . . . 5 π ∈ ℝ
2 4nn 8890 . . . . 5 4 ∈ ℕ
3 nndivre 8763 . . . . 5 ((π ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (π / 4) ∈ ℝ)
41, 2, 3mp2an 422 . . . 4 (π / 4) ∈ ℝ
54recni 7785 . . 3 (π / 4) ∈ ℂ
6 sincos4thpi 12934 . . . . 5 ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))
76simpri 112 . . . 4 (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
8 sqrt2re 11848 . . . . . 6 (√‘2) ∈ ℝ
98recni 7785 . . . . 5 (√‘2) ∈ ℂ
10 2re 8797 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
11 2pos 8818 . . . . . . 7 0 < 2
1210, 11sqrtgt0ii 10910 . . . . . 6 0 < (√‘2)
138, 12gt0ap0ii 8397 . . . . 5 (√‘2) # 0
14 recap0 8452 . . . . 5 (((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) # 0) → (1 / (√‘2)) # 0)
159, 13, 14mp2an 422 . . . 4 (1 / (√‘2)) # 0
167, 15eqbrtri 3949 . . 3 (cos‘(π / 4)) # 0
17 tanvalap 11422 . . 3 (((π / 4) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 4)) # 0) → (tan‘(π / 4)) = ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4))))
185, 16, 17mp2an 422 . 2 (tan‘(π / 4)) = ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4)))
196simpli 110 . . 3 (sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
2019, 7oveq12i 5786 . 2 ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4))) = ((1 / (√‘2)) / (1 / (√‘2)))
219, 13recclapi 8509 . . 3 (1 / (√‘2)) ∈ ℂ
2221, 15dividapi 8512 . 2 ((1 / (√‘2)) / (1 / (√‘2))) = 1
2318, 20, 223eqtri 2164 1 (tan‘(π / 4)) = 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  cr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   # cap 8350   / cdiv 8439  cn 8727  2c2 8778  4c4 8780  csqrt 10775  sincsin 11357  cosccos 11358  tanctan 11359  πcpi 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748  ax-addf 7749  ax-mulf 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-9 8793  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-ioo 9682  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-icc 9685  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-bc 10501  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363  df-cos 11364  df-tan 11365  df-pi 11366  df-rest 12132  df-topgen 12151  df-psmet 12166  df-xmet 12167  df-met 12168  df-bl 12169  df-mopn 12170  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-ntr 12275  df-cn 12367  df-cnp 12368  df-tx 12432  df-cncf 12737  df-limced 12804  df-dvap 12805
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator