Theorem tan4thpi 14976

Description: The tangent of π / 4. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tan4thpi	⊢ (tan‘(π / 4)) = 1

Proof of Theorem tan4thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 14921	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
2		4nn 9145	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		nndivre 9018	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (π / 4) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ
5	4	recni 8031	. . 3 ⊢ (π / 4) ∈ ℂ
6		sincos4thpi 14975	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))
7	6	simpri 113	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
8		sqrt2re 12301	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
9	8	recni 8031	. . . . 5 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
10		2re 9052	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2pos 9073	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
12	10, 11	sqrtgt0ii 11275	. . . . . 6 ⊢ 0 < (√‘2)
13	8, 12	gt0ap0ii 8647	. . . . 5 ⊢ (√‘2) # 0
14		recap0 8704	. . . . 5 ⊢ (((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) # 0) → (1 / (√‘2)) # 0)
15	9, 13, 14	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (1 / (√‘2)) # 0
16	7, 15	eqbrtri 4050	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 4)) # 0
17		tanvalap 11851	. . 3 ⊢ (((π / 4) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 4)) # 0) → (tan‘(π / 4)) = ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4))))
18	5, 16, 17	mp2an 426	. 2 ⊢ (tan‘(π / 4)) = ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4)))
19	6	simpli 111	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
20	19, 7	oveq12i 5930	. 2 ⊢ ((sin‘(π / 4)) / (cos‘(π / 4))) = ((1 / (√‘2)) / (1 / (√‘2)))
21	9, 13	recclapi 8761	. . 3 ⊢ (1 / (√‘2)) ∈ ℂ
22	21, 15	dividapi 8764	. 2 ⊢ ((1 / (√‘2)) / (1 / (√‘2))) = 1
23	18, 20, 22	3eqtri 2218	1 ⊢ (tan‘(π / 4)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   # cap 8600   / cdiv 8691  ℕcn 8982  2c2 9033  4c4 9035  √csqrt 11140  sincsin 11787  cosccos 11788  tanctan 11789  πcpi 11790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-pre-suploc 7993  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-map 6704  df-pm 6705  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-ioo 9958  df-ioc 9959  df-ico 9960  df-icc 9961  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-bc 10819  df-ihash 10847  df-shft 10959  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-ef 11791  df-sin 11793  df-cos 11794  df-tan 11795  df-pi 11796  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-ntr 14264  df-cn 14356  df-cnp 14357  df-tx 14421  df-cncf 14726  df-limced 14810  df-dvap 14811

This theorem is referenced by: (None)