ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqeng GIF version

Theorem eqeng 6664
Description: Equality implies equinumerosity. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
eqeng (𝐴𝑉 → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem eqeng
StepHypRef Expression
1 enrefg 6662 . 2 (𝐴𝑉𝐴𝐴)
2 breq2 3937 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐴𝐴𝐵))
31, 2syl5ibcom 154 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3933  cen 6636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2689  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-en 6639
This theorem is referenced by:  idssen  6675  nneneq  6755  exmidpw  6806  pr2ne  7061
  Copyright terms: Public domain W3C validator