ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pr2ne GIF version

Theorem pr2ne 6723
Description: If an unordered pair has two elements they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
pr2ne ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜𝐴𝐵))

Proof of Theorem pr2ne
StepHypRef Expression
1 preq2 3494 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
21eqcoms 2086 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
3 enpr1g 6445 . . . . . 6 (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜)
43adantr 270 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜)
5 prexg 4002 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
6 eqeng 6413 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ∈ V → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → {𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴}))
75, 6syl 14 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → {𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴}))
8 entr 6431 . . . . . . . . 9 (({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} ∧ {𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜) → {𝐴, 𝐵} ≈ 1𝑜)
9 1nen2 6507 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1𝑜 ≈ 2𝑜
10 ensym 6428 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐴, 𝐵} ≈ 1𝑜 → 1𝑜 ≈ {𝐴, 𝐵})
11 entr 6431 . . . . . . . . . . . . 13 ((1𝑜 ≈ {𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜) → 1𝑜 ≈ 2𝑜)
1211ex 113 . . . . . . . . . . . 12 (1𝑜 ≈ {𝐴, 𝐵} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
1310, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11 ({𝐴, 𝐵} ≈ 1𝑜 → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
149, 13mtoi 623 . . . . . . . . . 10 ({𝐴, 𝐵} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
1514a1d 22 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ≈ 1𝑜 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
168, 15syl 14 . . . . . . . 8 (({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} ∧ {𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
1716ex 113 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} → ({𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)))
1817com3r 78 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} → ({𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)))
197, 18syld 44 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ({𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)))
204, 19mpid 41 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
212, 20syl5 32 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
2221necon2ad 2306 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜𝐴𝐵))
23 pr2nelem 6722 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
24233expia 1141 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
2522, 24impbid 127 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  Vcvv 2612  {cpr 3423   class class class wbr 3811  1𝑜c1o 6106  2𝑜c2o 6107  cen 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-1o 6113  df-2o 6114  df-er 6222  df-en 6388
This theorem is referenced by:  isprm2lem  10878
  Copyright terms: Public domain W3C validator