Theorem pr2ne 7396

Description: If an unordered pair has two elements they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.)

Assertion

Ref	Expression
pr2ne	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem pr2ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 3749	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
2	1	eqcoms 2234	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
3		enpr1g 6971	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≈ 1o)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐴} ≈ 1o)
5		prexg 4301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
6		eqeng 6938	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ V → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → {𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴}))
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → {𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴}))
8		entr 6957	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} ∧ {𝐴, 𝐴} ≈ 1o) → {𝐴, 𝐵} ≈ 1o)
9		1nen2 7046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1o ≈ 2o
10		ensym 6954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1o → 1o ≈ {𝐴, 𝐵})
11		entr 6957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1o ≈ {𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o) → 1o ≈ 2o)
12	11	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1o ≈ {𝐴, 𝐵} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1o → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
14	9, 13	mtoi 670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1o → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
15	14	a1d 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1o → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
16	8, 15	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} ∧ {𝐴, 𝐴} ≈ 1o) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
17	16	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} → ({𝐴, 𝐴} ≈ 1o → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
18	17	com3r 79	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} → ({𝐴, 𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
19	7, 18	syld 45	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ({𝐴, 𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)))
20	4, 19	mpid 42	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
21	2, 20	syl5 32	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
22	21	necon2ad 2459	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐴 ≠ 𝐵))
23		pr2nelem 7395	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
24	23	3expia 1231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
25	22, 24	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  Vcvv 2802  {cpr 3670   class class class wbr 4088  1_oc1o 6574  2_oc2o 6575   ≈ cen 6906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909

This theorem is referenced by:  en2prde  7397  pr1or2  7398  exmidonfinlem  7403  pw1dom2  7444  isprm2lem  12687  umgrbien  15960  umgrnloopv  15964  upgr1een  15974  umgredgne  16000  usgr1e  16091  vdegp1aid  16164  vdegp1bid  16165