Theorem eqop2 6138

Description: Two ways to express equality with an ordered pair. (Contributed by NM, 25-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqop2.1	⊢ 𝐵 ∈ V
eqop2.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eqop2	⊢ (𝐴 = ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐴 ∈ (V × V) ∧ ((1st ‘𝐴) = 𝐵 ∧ (2nd ‘𝐴) = 𝐶)))

Proof of Theorem eqop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqop2.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		eqop2.2	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ V
3	1, 2	opelvv 4648	. . 3 ⊢ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (V × V)
4		eleq1 2227	. . 3 ⊢ (𝐴 = ⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴 ∈ (V × V) ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (V × V)))
5	3, 4	mpbiri 167	. 2 ⊢ (𝐴 = ⟨𝐵, 𝐶⟩ → 𝐴 ∈ (V × V))
6		eqop 6137	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) → (𝐴 = ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((1st ‘𝐴) = 𝐵 ∧ (2nd ‘𝐴) = 𝐶)))
7	5, 6	biadan2 452	1 ⊢ (𝐴 = ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐴 ∈ (V × V) ∧ ((1st ‘𝐴) = 𝐵 ∧ (2nd ‘𝐴) = 𝐶)))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  Vcvv 2721  ⟨cop 3573   × cxp 4596  ‘cfv 5182  1^st c1st 6098  2^nd c2nd 6099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-sbc 2947  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fo 5188  df-fv 5190  df-1st 6100  df-2nd 6101

This theorem is referenced by: (None)