Theorem fsumrev 11453

Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 26-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumrev.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fsumrev.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumrev.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fsumrev.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumrev.5	⊢ (𝑗 = (𝐾 − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumrev	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumrev.5	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝐾 − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
2		fsumrev.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3		fsumrev.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zsubcld 9382	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℤ)
5		fsumrev.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	2, 5	zsubcld 9382	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ)
7	4, 6	fzfigd 10433	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∈ Fin)
8		eqid 2177	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗)) = (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗))
9	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ℤ)
10		elfzelz 10027	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
11	10	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
12	9, 11	zsubcld 9382	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝐾 − 𝑗) ∈ ℤ)
13	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		elfzelz 10027	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
15	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
16	13, 15	zsubcld 9382	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑘) ∈ ℤ)
17		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))
18		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
19	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	2	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	18, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
23		fzrev 10086	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑗) ∈ (𝑀...𝑁)))
24	19, 20, 21, 22, 23	syl22anc 1239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑗) ∈ (𝑀...𝑁)))
25	18, 24	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝐾 − 𝑗) ∈ (𝑀...𝑁))
26	17, 25	eqeltrd 2254	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
27	17	oveq2d 5893	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝐾 − 𝑘) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
28		zcn 9260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
29		zcn 9260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
30		nncan 8188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
31	28, 29, 30	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
32	21, 22, 31	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
33	27, 32	eqtr2d 2211	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))
34	26, 33	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘)))
35		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))
36		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
37	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑀 ∈ ℤ)
38	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑁 ∈ ℤ)
39	2	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝐾 ∈ ℤ)
40	36, 14	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 ∈ ℤ)
41		fzrev2 10087	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))))
42	37, 38, 39, 40, 41	syl22anc 1239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))))
43	36, 42	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝐾 − 𝑘) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
44	35, 43	eqeltrd 2254	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
45	35	oveq2d 5893	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝐾 − 𝑗) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)))
46		zcn 9260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
47		nncan 8188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)) = 𝑘)
48	28, 46, 47	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)) = 𝑘)
49	39, 40, 48	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)) = 𝑘)
50	45, 49	eqtr2d 2211	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))
51	44, 50	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗)))
52	34, 51	impbida 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))))
53	8, 12, 16, 52	f1od 6076	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗)):((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
54		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
55	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ℤ)
56		elfzelz 10027	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
57	56	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℤ)
58	55, 57	zsubcld 9382	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝐾 − 𝑘) ∈ ℤ)
59		oveq2 5885	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐾 − 𝑗) = (𝐾 − 𝑘))
60	59, 8	fvmptg 5594	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ (𝐾 − 𝑘) ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗))‘𝑘) = (𝐾 − 𝑘))
61	54, 58, 60	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → ((𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗))‘𝑘) = (𝐾 − 𝑘))
62		fsumrev.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	1, 7, 53, 61, 62	fsumf1o 11400	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ↦ cmpt 4066  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℂcc 7811   − cmin 8130  ℤcz 9255  ...cfz 10010  Σcsu 11363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364

This theorem is referenced by:  fisumrev2  11456