Theorem fsumrev 11244

Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 26-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumrev.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fsumrev.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumrev.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fsumrev.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumrev.5	⊢ (𝑗 = (𝐾 − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumrev	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumrev.5	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝐾 − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
2		fsumrev.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3		fsumrev.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zsubcld 9202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℤ)
5		fsumrev.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	2, 5	zsubcld 9202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ)
7	4, 6	fzfigd 10235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∈ Fin)
8		eqid 2140	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗)) = (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗))
9	2	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ℤ)
10		elfzelz 9837	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
11	10	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
12	9, 11	zsubcld 9202	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝐾 − 𝑗) ∈ ℤ)
13	2	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		elfzelz 9837	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
15	14	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
16	13, 15	zsubcld 9202	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑘) ∈ ℤ)
17		simprr 522	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))
18		simprl 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
19	5	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	3	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	2	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	18, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
23		fzrev 9895	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑗) ∈ (𝑀...𝑁)))
24	19, 20, 21, 22, 23	syl22anc 1218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑗) ∈ (𝑀...𝑁)))
25	18, 24	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝐾 − 𝑗) ∈ (𝑀...𝑁))
26	17, 25	eqeltrd 2217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
27	17	oveq2d 5798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝐾 − 𝑘) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
28		zcn 9083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
29		zcn 9083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
30		nncan 8015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
31	28, 29, 30	syl2an 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
32	21, 22, 31	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
33	27, 32	eqtr2d 2174	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))
34	26, 33	jca 304	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘)))
35		simprr 522	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))
36		simprl 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
37	5	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑀 ∈ ℤ)
38	3	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑁 ∈ ℤ)
39	2	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝐾 ∈ ℤ)
40	36, 14	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 ∈ ℤ)
41		fzrev2 9896	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))))
42	37, 38, 39, 40, 41	syl22anc 1218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))))
43	36, 42	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝐾 − 𝑘) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
44	35, 43	eqeltrd 2217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
45	35	oveq2d 5798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝐾 − 𝑗) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)))
46		zcn 9083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
47		nncan 8015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)) = 𝑘)
48	28, 46, 47	syl2an 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)) = 𝑘)
49	39, 40, 48	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)) = 𝑘)
50	45, 49	eqtr2d 2174	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))
51	44, 50	jca 304	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗)))
52	34, 51	impbida 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))))
53	8, 12, 16, 52	f1od 5981	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗)):((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
54		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
55	2	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ℤ)
56		elfzelz 9837	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
57	56	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℤ)
58	55, 57	zsubcld 9202	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝐾 − 𝑘) ∈ ℤ)
59		oveq2 5790	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐾 − 𝑗) = (𝐾 − 𝑘))
60	59, 8	fvmptg 5505	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ (𝐾 − 𝑘) ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗))‘𝑘) = (𝐾 − 𝑘))
61	54, 58, 60	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → ((𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗))‘𝑘) = (𝐾 − 𝑘))
62		fsumrev.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	1, 7, 53, 61, 62	fsumf1o 11191	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ↦ cmpt 3997  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℂcc 7642   − cmin 7957  ℤcz 9078  ...cfz 9821  Σcsu 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155

This theorem is referenced by:  fisumrev2  11247