ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumrev GIF version

Theorem fsumrev 11417
Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 26-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumrev.1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
fsumrev.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumrev.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fsumrev.4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumrev.5 (𝑗 = (𝐾𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumrev (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrev
StepHypRef Expression
1 fsumrev.5 . 2 (𝑗 = (𝐾𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
2 fsumrev.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
3 fsumrev.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
42, 3zsubcld 9351 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
5 fsumrev.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
62, 5zsubcld 9351 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑀) ∈ ℤ)
74, 6fzfigd 10399 . 2 (𝜑 → ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∈ Fin)
8 eqid 2175 . . 3 (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↦ (𝐾𝑗)) = (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↦ (𝐾𝑗))
92adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → 𝐾 ∈ ℤ)
10 elfzelz 9993 . . . . 5 (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
1110adantl 277 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
129, 11zsubcld 9351 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (𝐾𝑗) ∈ ℤ)
132adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
14 elfzelz 9993 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
1514adantl 277 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
1613, 15zsubcld 9351 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑘) ∈ ℤ)
17 simprr 531 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾𝑗))) → 𝑘 = (𝐾𝑗))
18 simprl 529 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾𝑗))) → 𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)))
195adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾𝑗))) → 𝑀 ∈ ℤ)
203adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾𝑗))) → 𝑁 ∈ ℤ)
212adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾𝑗))) → 𝐾 ∈ ℤ)
2218, 10syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
23 fzrev 10052 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑗) ∈ (𝑀...𝑁)))
2419, 20, 21, 22, 23syl22anc 1239 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾𝑗))) → (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑗) ∈ (𝑀...𝑁)))
2518, 24mpbid 147 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾𝑗))) → (𝐾𝑗) ∈ (𝑀...𝑁))
2617, 25eqeltrd 2252 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾𝑗))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
2717oveq2d 5881 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾𝑗))) → (𝐾𝑘) = (𝐾 − (𝐾𝑗)))
28 zcn 9229 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
29 zcn 9229 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
30 nncan 8160 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾𝑗)) = 𝑗)
3128, 29, 30syl2an 289 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐾 − (𝐾𝑗)) = 𝑗)
3221, 22, 31syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾𝑗))) → (𝐾 − (𝐾𝑗)) = 𝑗)
3327, 32eqtr2d 2209 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾𝑗))) → 𝑗 = (𝐾𝑘))
3426, 33jca 306 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾𝑗))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾𝑘)))
35 simprr 531 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾𝑘))) → 𝑗 = (𝐾𝑘))
36 simprl 529 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
375adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾𝑘))) → 𝑀 ∈ ℤ)
383adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾𝑘))) → 𝑁 ∈ ℤ)
392adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾𝑘))) → 𝐾 ∈ ℤ)
4036, 14syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾𝑘))) → 𝑘 ∈ ℤ)
41 fzrev2 10053 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾𝑘) ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))))
4237, 38, 39, 40, 41syl22anc 1239 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾𝑘))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾𝑘) ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))))
4336, 42mpbid 147 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾𝑘))) → (𝐾𝑘) ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)))
4435, 43eqeltrd 2252 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾𝑘))) → 𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)))
4535oveq2d 5881 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾𝑘))) → (𝐾𝑗) = (𝐾 − (𝐾𝑘)))
46 zcn 9229 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
47 nncan 8160 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾𝑘)) = 𝑘)
4828, 46, 47syl2an 289 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐾 − (𝐾𝑘)) = 𝑘)
4939, 40, 48syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾𝑘))) → (𝐾 − (𝐾𝑘)) = 𝑘)
5045, 49eqtr2d 2209 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾𝑘))) → 𝑘 = (𝐾𝑗))
5144, 50jca 306 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾𝑘))) → (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾𝑗)))
5234, 51impbida 596 . . 3 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾𝑗)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾𝑘))))
538, 12, 16, 52f1od 6064 . 2 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↦ (𝐾𝑗)):((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
54 simpr 110 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)))
552adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → 𝐾 ∈ ℤ)
56 elfzelz 9993 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5756adantl 277 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → 𝑘 ∈ ℤ)
5855, 57zsubcld 9351 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (𝐾𝑘) ∈ ℤ)
59 oveq2 5873 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑘))
6059, 8fvmptg 5584 . . 3 ((𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ∧ (𝐾𝑘) ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↦ (𝐾𝑗))‘𝑘) = (𝐾𝑘))
6154, 58, 60syl2anc 411 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → ((𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↦ (𝐾𝑗))‘𝑘) = (𝐾𝑘))
62 fsumrev.4 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
631, 7, 53, 61, 62fsumf1o 11364 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2146  cmpt 4059  cfv 5208  (class class class)co 5865  cc 7784  cmin 8102  cz 9224  ...cfz 9977  Σcsu 11327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-ihash 10722  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-clim 11253  df-sumdc 11328
This theorem is referenced by:  fisumrev2  11420
  Copyright terms: Public domain W3C validator