Theorem ffvelrn 5627

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelrn	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5345	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnfvelrn 5626	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹)
3	1, 2	sylan 281	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹)
4		frn 5354	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
5	4	sseld 3146	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵))
6	5	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵))
7	3, 6	mpd 13	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141  ran crn 4610   Fn wfn 5191  ⟶wf 5192  ‘cfv 5196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204

This theorem is referenced by:  ffvelrni  5628  ffvelrnda  5629  dffo3  5641  ffnfv  5652  ffvresb  5657  fcompt  5664  fsn2  5668  fvconst  5682  foco2  5731  fcofo  5761  cocan1  5764  isocnv  5788  isores2  5790  isopolem  5799  isosolem  5801  fovrn  5993  off  6071  mapsncnv  6671  2dom  6781  enm  6796  xpdom2  6807  xpmapenlem  6825  fiintim  6904  isotilem  6981  updjudhf  7054  exmidomniim  7115  shftf  10787  summodclem2a  11337  isumcl  11381  mertenslem2  11492  nn0seqcvgd  11988  algrf  11992  eucalg  12006  phimullem  12172  pcmpt  12288  pcprod  12291  mhmpropd  12682  upxp  13031  uptx  13033  txhmeo  13078  cncfmet  13338  dvaddxxbr  13424  dvcj  13432  dvfre  13433  lgsdir  13695  lgsdi  13697  bj-charfunr  13810