Theorem fvimacnvi 5761

Description: A member of a preimage is a function value argument. (Contributed by NM, 4-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fvimacnvi	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fvimacnvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3817	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → {𝐴} ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵))
2		funimass2 5408	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ {𝐴} ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
3	1, 2	sylan2 286	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
4		cnvimass 5099	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐵) ⊆ dom 𝐹
5	4	sseli 3223	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6		funfvex 5656	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
7		snssg 3807	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵))
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵))
9	5, 8	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵))
10		funfn 5356	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
11		fnsnfv 5705	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
12	10, 11	sylanb 284	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
13	5, 12	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
14	13	sseq1d 3256	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → ({(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
15	9, 14	bitrd 188	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
16	3, 15	mpbird 167	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  {csn 3669  ^◡ccnv 4724  dom cdm 4725   “ cima 4728  Fun wfun 5320   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  fvimacnv  5762  elpreima  5766  psrbaglesuppg  14685