Theorem fvimacnvi 5632

Description: A member of a preimage is a function value argument. (Contributed by NM, 4-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fvimacnvi	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fvimacnvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3738	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → {𝐴} ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵))
2		funimass2 5296	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ {𝐴} ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
3	1, 2	sylan2 286	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
4		cnvimass 4993	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐵) ⊆ dom 𝐹
5	4	sseli 3153	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6		funfvex 5534	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
7		snssg 3728	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵))
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵))
9	5, 8	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵))
10		funfn 5248	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
11		fnsnfv 5577	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
12	10, 11	sylanb 284	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
13	5, 12	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
14	13	sseq1d 3186	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → ({(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
15	9, 14	bitrd 188	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
16	3, 15	mpbird 167	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   ⊆ wss 3131  {csn 3594  ^◡ccnv 4627  dom cdm 4628   “ cima 4631  Fun wfun 5212   Fn wfn 5213  ‘cfv 5218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  fvimacnv  5633  elpreima  5637