ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvimacnvi GIF version

Theorem fvimacnvi 5610
Description: A member of a preimage is a function value argument. (Contributed by NM, 4-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
fvimacnvi ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fvimacnvi
StepHypRef Expression
1 snssi 3724 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → {𝐴} ⊆ (𝐹𝐵))
2 funimass2 5276 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ {𝐴} ⊆ (𝐹𝐵)) → (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
31, 2sylan2 284 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
4 cnvimass 4974 . . . . 5 (𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹
54sseli 3143 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6 funfvex 5513 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) ∈ V)
7 snssg 3716 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∈ V → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵))
86, 7syl 14 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵))
95, 8sylan2 284 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵))
10 funfn 5228 . . . . . 6 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
11 fnsnfv 5555 . . . . . 6 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
1210, 11sylanb 282 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
135, 12sylan2 284 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
1413sseq1d 3176 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
159, 14bitrd 187 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
163, 15mpbird 166 1 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  Vcvv 2730  wss 3121  {csn 3583  ccnv 4610  dom cdm 4611  cima 4614  Fun wfun 5192   Fn wfn 5193  cfv 5198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206
This theorem is referenced by:  fvimacnv  5611  elpreima  5615
  Copyright terms: Public domain W3C validator