Theorem usgrexmpldifpr 16473

Description: Lemma for usgrexmpledg : all "edges" are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpldifpr	⊢ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))

Proof of Theorem usgrexmpldifpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9638	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 9653	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	1, 2	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
4		2z 9655	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	2, 4	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
6	3, 5	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
7		1ne0 9355	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
8	7	necomi 2505	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
9		2ne0 9379	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	necomi 2505	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 2
11	8, 10	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2)
12	11	orci 743	. . . 4 ⊢ ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2))
13		prneimg 3897	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)) → (((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2)) → {0, 1} ≠ {1, 2}))
14	6, 12, 13	mp2 16	. . 3 ⊢ {0, 1} ≠ {1, 2}
15	4, 1	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)
16	3, 15	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ))
17		1ne2 9494	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
18	17, 7	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0)
19	18	olci 744	. . . 4 ⊢ ((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 0) ∨ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0))
20		prneimg 3897	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → (((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 0) ∨ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0)) → {0, 1} ≠ {2, 0}))
21	16, 19, 20	mp2 16	. . 3 ⊢ {0, 1} ≠ {2, 0}
22		3nn 9450	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
23	1, 22	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)
24	3, 23	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
25		1re 8319	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		1lt3 9459	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
27	25, 26	ltneii 8416	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 3
28	7, 27	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)
29	28	olci 744	. . . 4 ⊢ ((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3))
30		prneimg 3897	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)) → {0, 1} ≠ {0, 3}))
31	24, 29, 30	mp2 16	. . 3 ⊢ {0, 1} ≠ {0, 3}
32	14, 21, 31	3pm3.2i 1206	. 2 ⊢ ({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3})
33	5, 15	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ))
34	18	orci 743	. . . 4 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0) ∨ (2 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 0))
35		prneimg 3897	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → (((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0) ∨ (2 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 0)) → {1, 2} ≠ {2, 0}))
36	33, 34, 35	mp2 16	. . 3 ⊢ {1, 2} ≠ {2, 0}
37	5, 23	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
38	28	orci 743	. . . 4 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3))
39		prneimg 3897	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)) → {1, 2} ≠ {0, 3}))
40	37, 38, 39	mp2 16	. . 3 ⊢ {1, 2} ≠ {0, 3}
41	15, 23	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
42		2re 9357	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
43		2lt3 9458	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 3
44	42, 43	ltneii 8416	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 3
45	9, 44	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)
46	45	orci 743	. . . 4 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3))
47		prneimg 3897	. . . 4 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3)) → {2, 0} ≠ {0, 3}))
48	41, 46, 47	mp2 16	. . 3 ⊢ {2, 0} ≠ {0, 3}
49	36, 40, 48	3pm3.2i 1206	. 2 ⊢ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})
50	32, 49	pm3.2i 272	1 ⊢ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  {cpr 3709  0cc0 8173  1c1 8174  ℕcn 9287  2c2 9338  3c3 9339  ℤcz 9627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-z 9628

This theorem is referenced by: (None)