Theorem griedg0ssusgr 16475

Description: The class of all simple graphs is a superclass of the class of empty graphs represented as ordered pairs. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
griedg0prc.u	⊢ 𝑈 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒:∅⟶∅}

Assertion

Ref	Expression
griedg0ssusgr	⊢ 𝑈 ⊆ USGraph

Distinct variable group:   𝑣,𝑒

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem griedg0ssusgr

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		griedg0prc.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒:∅⟶∅}
2	1	eleq2i 2305	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑈 ↔ 𝑔 ∈ {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒:∅⟶∅})
3		elopab 4398	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒:∅⟶∅} ↔ ∃𝑣∃𝑒(𝑔 = ⟨𝑣, 𝑒⟩ ∧ 𝑒:∅⟶∅))
4	2, 3	bitri 184	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑣∃𝑒(𝑔 = ⟨𝑣, 𝑒⟩ ∧ 𝑒:∅⟶∅))
5		vex 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑣 ∈ V
6		vex 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑒 ∈ V
7	5, 6	opex 4367	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ V
8	7	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒:∅⟶∅ → ⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ V)
9	5, 6	opiedgfvi 16252	. . . . . . . 8 ⊢ (iEdg‘⟨𝑣, 𝑒⟩) = 𝑒
10		f0bi 5583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒:∅⟶∅ ↔ 𝑒 = ∅)
11	10	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒:∅⟶∅ → 𝑒 = ∅)
12	9, 11	eqtrid 2283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒:∅⟶∅ → (iEdg‘⟨𝑣, 𝑒⟩) = ∅)
13	8, 12	usgr0e 16456	. . . . . 6 ⊢ (𝑒:∅⟶∅ → ⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ USGraph)
14	13	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = ⟨𝑣, 𝑒⟩ ∧ 𝑒:∅⟶∅) → ⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ USGraph)
15		eleq1 2301	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ⟨𝑣, 𝑒⟩ → (𝑔 ∈ USGraph ↔ ⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ USGraph))
16	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = ⟨𝑣, 𝑒⟩ ∧ 𝑒:∅⟶∅) → (𝑔 ∈ USGraph ↔ ⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ USGraph))
17	14, 16	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = ⟨𝑣, 𝑒⟩ ∧ 𝑒:∅⟶∅) → 𝑔 ∈ USGraph)
18	17	exlimivv 1952	. . 3 ⊢ (∃𝑣∃𝑒(𝑔 = ⟨𝑣, 𝑒⟩ ∧ 𝑒:∅⟶∅) → 𝑔 ∈ USGraph)
19	4, 18	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑈 → 𝑔 ∈ USGraph)
20	19	ssriv 3252	1 ⊢ 𝑈 ⊆ USGraph

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ⟨cop 3711  {copab 4189  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  iEdgciedg 16237  USGraphcusgr 16378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-sub 8493  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-dec 9761  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-usgren 16380

This theorem is referenced by:  usgrprc  16476