Theorem ennnfonelemjn 12397

Description: Lemma for ennnfone 12420. Non-initial state for 𝐽. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemjn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (𝐽‘𝑓) ∈ ω)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑁   𝑥,𝑓,𝑦   𝑥,𝑗,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemjn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9561	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		0p1e1 9031	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
3	2	fveq2i 5518	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1)
4	1, 3	eqtr4i 2201	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
5	4	eleq2i 2244	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		eqeq1 2184	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑓 = 0))
8		fvoveq1 5897	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (◡𝑁‘(𝑥 − 1)) = (◡𝑁‘(𝑓 − 1)))
9	7, 8	ifbieq2d 3558	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))) = if(𝑓 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑓 − 1))))
10		nnnn0 9181	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → 𝑓 ∈ ℕ0)
11	10	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → 𝑓 ∈ ℕ0)
12		nnne0 8945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → 𝑓 ≠ 0)
13	12	neneqd 2368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → ¬ 𝑓 = 0)
14	13	iffalsed 3544	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → if(𝑓 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑓 − 1))) = (◡𝑁‘(𝑓 − 1)))
15	14	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → if(𝑓 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑓 − 1))) = (◡𝑁‘(𝑓 − 1)))
16		0zd 9263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
17		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
18	16, 17	frec2uzf1od 10403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → 𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
19		f1ocnv 5474	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) → ◡𝑁:(ℤ≥‘0)–1-1-onto→ω)
20		f1of 5461	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑁:(ℤ≥‘0)–1-1-onto→ω → ◡𝑁:(ℤ≥‘0)⟶ω)
21	18, 19, 20	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → ◡𝑁:(ℤ≥‘0)⟶ω)
22		0z 9262	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
23	5	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
24	23	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
25		eluzp1m1 9549	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (𝑓 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
26	22, 24, 25	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝑓 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
27	21, 26	ffvelcdmd 5652	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (◡𝑁‘(𝑓 − 1)) ∈ ω)
28	15, 27	eqeltrd 2254	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → if(𝑓 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑓 − 1))) ∈ ω)
29	6, 9, 11, 28	fvmptd3 5609	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑓) = if(𝑓 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑓 − 1))))
30	29, 28	eqeltrd 2254	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑓) ∈ ω)
31	5, 30	sylan2br 288	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (𝐽‘𝑓) ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ∪ cun 3127  ∅c0 3422  ifcif 3534  {csn 3592  ⟨cop 3595   ↦ cmpt 4064  suc csuc 4365  ωcom 4589  ^◡ccnv 4625  dom cdm 4626   “ cima 4629  ⟶wf 5212  –onto→wfo 5214  –1-1-onto→wf1o 5215  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874   ∈ cmpo 5876  freccfrec 6390   ↑_pm cpm 6648  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   − cmin 8126  ℕcn 8917  ℕ₀cn0 9174  ℤcz 9251  ℤ_≥cuz 9526  seqcseq 10442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12399  ennnfonelem0  12400  ennnfonelemp1  12401  ennnfonelemom  12403