ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemjn GIF version

Theorem ennnfonelemjn 12394
Description: Lemma for ennnfone 12417. Non-initial state for 𝐽. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemjn ((𝜑𝑓 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (𝐽𝑓) ∈ ω)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑁   𝑥,𝑓,𝑦   𝑥,𝑗,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemjn
StepHypRef Expression
1 nnuz 9558 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 0p1e1 9028 . . . . 5 (0 + 1) = 1
32fveq2i 5516 . . . 4 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
41, 3eqtr4i 2201 . . 3 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
54eleq2i 2244 . 2 (𝑓 ∈ ℕ ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
6 ennnfonelemh.j . . . 4 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
7 eqeq1 2184 . . . . 5 (𝑥 = 𝑓 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑓 = 0))
8 fvoveq1 5894 . . . . 5 (𝑥 = 𝑓 → (𝑁‘(𝑥 − 1)) = (𝑁‘(𝑓 − 1)))
97, 8ifbieq2d 3558 . . . 4 (𝑥 = 𝑓 → if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))) = if(𝑓 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑓 − 1))))
10 nnnn0 9178 . . . . 5 (𝑓 ∈ ℕ → 𝑓 ∈ ℕ0)
1110adantl 277 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ℕ) → 𝑓 ∈ ℕ0)
12 nnne0 8942 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ℕ → 𝑓 ≠ 0)
1312neneqd 2368 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ℕ → ¬ 𝑓 = 0)
1413iffalsed 3544 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ℕ → if(𝑓 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑓 − 1))) = (𝑁‘(𝑓 − 1)))
1514adantl 277 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ℕ) → if(𝑓 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑓 − 1))) = (𝑁‘(𝑓 − 1)))
16 0zd 9260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
17 ennnfonelemh.n . . . . . . . 8 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
1816, 17frec2uzf1od 10400 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ ℕ) → 𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ‘0))
19 f1ocnv 5472 . . . . . . 7 (𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ‘0) → 𝑁:(ℤ‘0)–1-1-onto→ω)
20 f1of 5459 . . . . . . 7 (𝑁:(ℤ‘0)–1-1-onto→ω → 𝑁:(ℤ‘0)⟶ω)
2118, 19, 203syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ ℕ) → 𝑁:(ℤ‘0)⟶ω)
22 0z 9259 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
235biimpi 120 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ℕ → 𝑓 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
2423adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ ℕ) → 𝑓 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
25 eluzp1m1 9546 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (𝑓 − 1) ∈ (ℤ‘0))
2622, 24, 25sylancr 414 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ ℕ) → (𝑓 − 1) ∈ (ℤ‘0))
2721, 26ffvelcdmd 5650 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝑓 − 1)) ∈ ω)
2815, 27eqeltrd 2254 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ℕ) → if(𝑓 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑓 − 1))) ∈ ω)
296, 9, 11, 28fvmptd3 5607 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ ℕ) → (𝐽𝑓) = if(𝑓 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑓 − 1))))
3029, 28eqeltrd 2254 . 2 ((𝜑𝑓 ∈ ℕ) → (𝐽𝑓) ∈ ω)
315, 30sylan2br 288 1 ((𝜑𝑓 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (𝐽𝑓) ∈ ω)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  wral 2455  wrex 2456  cun 3127  c0 3422  ifcif 3534  {csn 3592  cop 3595  cmpt 4063  suc csuc 4364  ωcom 4588  ccnv 4624  dom cdm 4625  cima 4628  wf 5210  ontowfo 5212  1-1-ontowf1o 5213  cfv 5214  (class class class)co 5871  cmpo 5873  freccfrec 6387  pm cpm 6645  0cc0 7807  1c1 7808   + caddc 7810  cmin 8123  cn 8914  0cn0 9171  cz 9248  cuz 9523  seqcseq 10439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-ltadd 7923
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-recs 6302  df-frec 6388  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524
This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12396  ennnfonelem0  12397  ennnfonelemp1  12398  ennnfonelemom  12400
  Copyright terms: Public domain W3C validator