Theorem ennnfonelemjn 12888

Description: Lemma for ennnfone 12911. Non-initial state for 𝐽. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemjn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (𝐽‘𝑓) ∈ ω)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑁   𝑥,𝑓,𝑦   𝑥,𝑗,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemjn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9719	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		0p1e1 9185	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
3	2	fveq2i 5602	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1)
4	1, 3	eqtr4i 2231	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
5	4	eleq2i 2274	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		eqeq1 2214	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑓 = 0))
8		fvoveq1 5990	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (◡𝑁‘(𝑥 − 1)) = (◡𝑁‘(𝑓 − 1)))
9	7, 8	ifbieq2d 3604	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))) = if(𝑓 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑓 − 1))))
10		nnnn0 9337	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → 𝑓 ∈ ℕ0)
11	10	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → 𝑓 ∈ ℕ0)
12		nnne0 9099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → 𝑓 ≠ 0)
13	12	neneqd 2399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → ¬ 𝑓 = 0)
14	13	iffalsed 3589	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → if(𝑓 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑓 − 1))) = (◡𝑁‘(𝑓 − 1)))
15	14	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → if(𝑓 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑓 − 1))) = (◡𝑁‘(𝑓 − 1)))
16		0zd 9419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
17		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
18	16, 17	frec2uzf1od 10588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → 𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
19		f1ocnv 5557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) → ◡𝑁:(ℤ≥‘0)–1-1-onto→ω)
20		f1of 5544	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑁:(ℤ≥‘0)–1-1-onto→ω → ◡𝑁:(ℤ≥‘0)⟶ω)
21	18, 19, 20	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → ◡𝑁:(ℤ≥‘0)⟶ω)
22		0z 9418	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
23	5	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
24	23	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
25		eluzp1m1 9707	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (𝑓 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
26	22, 24, 25	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝑓 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
27	21, 26	ffvelcdmd 5739	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (◡𝑁‘(𝑓 − 1)) ∈ ω)
28	15, 27	eqeltrd 2284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → if(𝑓 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑓 − 1))) ∈ ω)
29	6, 9, 11, 28	fvmptd3 5696	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑓) = if(𝑓 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑓 − 1))))
30	29, 28	eqeltrd 2284	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑓) ∈ ω)
31	5, 30	sylan2br 288	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (𝐽‘𝑓) ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378  ∀wral 2486  ∃wrex 2487   ∪ cun 3172  ∅c0 3468  ifcif 3579  {csn 3643  ⟨cop 3646   ↦ cmpt 4121  suc csuc 4430  ωcom 4656  ^◡ccnv 4692  dom cdm 4693   “ cima 4696  ⟶wf 5286  –onto→wfo 5288  –1-1-onto→wf1o 5289  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967   ∈ cmpo 5969  freccfrec 6499   ↑_pm cpm 6759  0cc0 7960  1c1 7961   + caddc 7963   − cmin 8278  ℕcn 9071  ℕ₀cn0 9330  ℤcz 9407  ℤ_≥cuz 9683  seqcseq 10629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12890  ennnfonelem0  12891  ennnfonelemp1  12892  ennnfonelemom  12894