Theorem ennnfonelemjn 12981

Description: Lemma for ennnfone 13004. Non-initial state for 𝐽. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemjn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (𝐽‘𝑓) ∈ ω)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑁   𝑥,𝑓,𝑦   𝑥,𝑗,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemjn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9766	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		0p1e1 9232	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
3	2	fveq2i 5632	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1)
4	1, 3	eqtr4i 2253	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
5	4	eleq2i 2296	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
6		ennnfonelemh.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		eqeq1 2236	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑓 = 0))
8		fvoveq1 6030	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (◡𝑁‘(𝑥 − 1)) = (◡𝑁‘(𝑓 − 1)))
9	7, 8	ifbieq2d 3627	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))) = if(𝑓 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑓 − 1))))
10		nnnn0 9384	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → 𝑓 ∈ ℕ0)
11	10	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → 𝑓 ∈ ℕ0)
12		nnne0 9146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → 𝑓 ≠ 0)
13	12	neneqd 2421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → ¬ 𝑓 = 0)
14	13	iffalsed 3612	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → if(𝑓 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑓 − 1))) = (◡𝑁‘(𝑓 − 1)))
15	14	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → if(𝑓 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑓 − 1))) = (◡𝑁‘(𝑓 − 1)))
16		0zd 9466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
17		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
18	16, 17	frec2uzf1od 10636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → 𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
19		f1ocnv 5587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) → ◡𝑁:(ℤ≥‘0)–1-1-onto→ω)
20		f1of 5574	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑁:(ℤ≥‘0)–1-1-onto→ω → ◡𝑁:(ℤ≥‘0)⟶ω)
21	18, 19, 20	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → ◡𝑁:(ℤ≥‘0)⟶ω)
22		0z 9465	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
23	5	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
24	23	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
25		eluzp1m1 9754	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (𝑓 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
26	22, 24, 25	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝑓 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
27	21, 26	ffvelcdmd 5773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (◡𝑁‘(𝑓 − 1)) ∈ ω)
28	15, 27	eqeltrd 2306	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → if(𝑓 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑓 − 1))) ∈ ω)
29	6, 9, 11, 28	fvmptd3 5730	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑓) = if(𝑓 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑓 − 1))))
30	29, 28	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑓) ∈ ω)
31	5, 30	sylan2br 288	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (𝐽‘𝑓) ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ∪ cun 3195  ∅c0 3491  ifcif 3602  {csn 3666  ⟨cop 3669   ↦ cmpt 4145  suc csuc 4456  ωcom 4682  ^◡ccnv 4718  dom cdm 4719   “ cima 4722  ⟶wf 5314  –onto→wfo 5316  –1-1-onto→wf1o 5317  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007   ∈ cmpo 6009  freccfrec 6542   ↑_pm cpm 6804  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010   − cmin 8325  ℕcn 9118  ℕ₀cn0 9377  ℤcz 9454  ℤ_≥cuz 9730  seqcseq 10677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731

This theorem is referenced by:  ennnfonelemh  12983  ennnfonelem0  12984  ennnfonelemp1  12985  ennnfonelemom  12987