Theorem ennnfonelem0 12176

Description: Lemma for ennnfone 12196. Initial value. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelem0	⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = ∅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelem0

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
2	1	fveq1i 5470	. . 3 ⊢ (𝐻‘0) = (seq0(𝐺, 𝐽)‘0)
3		ennnfonelemh.dceq	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
4		ennnfonelemh.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
5		ennnfonelemh.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
6		ennnfonelemh.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
7		ennnfonelemh.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
8		ennnfonelemh.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8, 1	ennnfonelemj0 12172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 1	ennnfonelemg 12174	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω} ∧ 𝑗 ∈ ω)) → (𝑓𝐺𝑗) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
11		0zd 9180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 1	ennnfonelemjn 12173	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (𝐽‘𝑓) ∈ ω)
13	9, 10, 11, 12	seq1cd 10368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq0(𝐺, 𝐽)‘0) = (𝐽‘0))
14	2, 13	syl5eq 2202	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = (𝐽‘0))
15		0nn0 9106	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2157	. . . . . 6 ⊢ 0 = 0
17	16	iftruei 3511	. . . . 5 ⊢ if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))) = ∅
18		0ex 4092	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
19	17, 18	eqeltri 2230	. . . 4 ⊢ if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))) ∈ V
20		eqeq1 2164	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 = 0 ↔ 0 = 0))
21		fvoveq1 5848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (◡𝑁‘(𝑥 − 1)) = (◡𝑁‘(0 − 1)))
22	20, 21	ifbieq2d 3529	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))) = if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))))
23	22, 8	fvmptg 5545	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))) ∈ V) → (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1))))
24	15, 19, 23	mp2an 423	. . 3 ⊢ (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (◡𝑁‘(0 − 1)))
25	24, 17	eqtri 2178	. 2 ⊢ (𝐽‘0) = ∅
26	14, 25	eqtrdi 2206	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 820   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327  ∀wral 2435  ∃wrex 2436  {crab 2439  Vcvv 2712   ∪ cun 3100  ∅c0 3394  ifcif 3505  {csn 3560  ⟨cop 3563   ↦ cmpt 4026  suc csuc 4326  ωcom 4550  ^◡ccnv 4586  dom cdm 4587   “ cima 4590  –onto→wfo 5169  ‘cfv 5171  (class class class)co 5825   ∈ cmpo 5827  freccfrec 6338   ↑_pm cpm 6595  0cc0 7733  1c1 7734   + caddc 7736   − cmin 8047  ℕ₀cn0 9091  ℤcz 9168  seqcseq 10348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-addcom 7833  ax-addass 7835  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-ltadd 7849

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-frec 6339  df-pm 6597  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-inn 8835  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-seqfrec 10349

This theorem is referenced by:  ennnfonelem1  12178  ennnfonelemkh  12183  ennnfonelemhf1o  12184