ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelem0 GIF version

Theorem ennnfonelem0 12176
Description: Lemma for ennnfone 12196. Initial value. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelem0 (𝜑 → (𝐻‘0) = ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelem0
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.h . . . 4 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
21fveq1i 5470 . . 3 (𝐻‘0) = (seq0(𝐺, 𝐽)‘0)
3 ennnfonelemh.dceq . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
4 ennnfonelemh.f . . . . 5 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
5 ennnfonelemh.ne . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
6 ennnfonelemh.g . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
7 ennnfonelemh.n . . . . 5 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
8 ennnfonelemh.j . . . . 5 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
93, 4, 5, 6, 7, 8, 1ennnfonelemj0 12172 . . . 4 (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
103, 4, 5, 6, 7, 8, 1ennnfonelemg 12174 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω} ∧ 𝑗 ∈ ω)) → (𝑓𝐺𝑗) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
11 0zd 9180 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
123, 4, 5, 6, 7, 8, 1ennnfonelemjn 12173 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (𝐽𝑓) ∈ ω)
139, 10, 11, 12seq1cd 10368 . . 3 (𝜑 → (seq0(𝐺, 𝐽)‘0) = (𝐽‘0))
142, 13syl5eq 2202 . 2 (𝜑 → (𝐻‘0) = (𝐽‘0))
15 0nn0 9106 . . . 4 0 ∈ ℕ0
16 eqid 2157 . . . . . 6 0 = 0
1716iftruei 3511 . . . . 5 if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))) = ∅
18 0ex 4092 . . . . 5 ∅ ∈ V
1917, 18eqeltri 2230 . . . 4 if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))) ∈ V
20 eqeq1 2164 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 = 0 ↔ 0 = 0))
21 fvoveq1 5848 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑁‘(𝑥 − 1)) = (𝑁‘(0 − 1)))
2220, 21ifbieq2d 3529 . . . . 5 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))) = if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))))
2322, 8fvmptg 5545 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0 ∧ if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))) ∈ V) → (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1))))
2415, 19, 23mp2an 423 . . 3 (𝐽‘0) = if(0 = 0, ∅, (𝑁‘(0 − 1)))
2524, 17eqtri 2178 . 2 (𝐽‘0) = ∅
2614, 25eqtrdi 2206 1 (𝜑 → (𝐻‘0) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  DECID wdc 820   = wceq 1335  wcel 2128  wne 2327  wral 2435  wrex 2436  {crab 2439  Vcvv 2712  cun 3100  c0 3394  ifcif 3505  {csn 3560  cop 3563  cmpt 4026  suc csuc 4326  ωcom 4550  ccnv 4586  dom cdm 4587  cima 4590  ontowfo 5169  cfv 5171  (class class class)co 5825  cmpo 5827  freccfrec 6338  pm cpm 6595  0cc0 7733  1c1 7734   + caddc 7736  cmin 8047  0cn0 9091  cz 9168  seqcseq 10348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-addcom 7833  ax-addass 7835  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-ltadd 7849
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-frec 6339  df-pm 6597  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-inn 8835  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-seqfrec 10349
This theorem is referenced by:  ennnfonelem1  12178  ennnfonelemkh  12183  ennnfonelemhf1o  12184
  Copyright terms: Public domain W3C validator