Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  exmidsbthr GIF version

Theorem exmidsbthr 12185
 Description: The Schroeder-Bernstein Theorem implies excluded middle. Theorem 1 of [PradicBrown2022], p. 1. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidsbthr (∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) → EXMID)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem exmidsbthr
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2095 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = ∅ ↔ 𝑖 = ∅))
2 unieq 3668 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 𝑗 = 𝑖)
32fveq2d 5322 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (𝑝 𝑗) = (𝑝 𝑖))
41, 3ifbieq2d 3419 . . . 4 (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = ∅, 1o, (𝑝 𝑗)) = if(𝑖 = ∅, 1o, (𝑝 𝑖)))
54cbvmptv 3940 . . 3 (𝑗 ∈ ω ↦ if(𝑗 = ∅, 1o, (𝑝 𝑗))) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 = ∅, 1o, (𝑝 𝑖)))
65mpteq2i 3931 . 2 (𝑝 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ ω ↦ if(𝑗 = ∅, 1o, (𝑝 𝑗)))) = (𝑝 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 = ∅, 1o, (𝑝 𝑖))))
76exmidsbthrlem 12184 1 (∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) → EXMID)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∀wal 1288   = wceq 1290  ∅c0 3287  ifcif 3397  ∪ cuni 3659   class class class wbr 3851   ↦ cmpt 3905  EXMIDwem 4035  ωcom 4418  ‘cfv 5028  1oc1o 6188   ≈ cen 6509   ≼ cdom 6510  ℕ∞xnninf 6850 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-exmid 4036  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-1o 6195  df-2o 6196  df-map 6421  df-en 6512  df-dom 6513  df-dju 6785  df-inl 6793  df-inr 6794  df-case 6829  df-omni 6851  df-nninf 6852 This theorem is referenced by:  exmidsbth  12186
 Copyright terms: Public domain W3C validator