Theorem exmidsbthr 14055

Description: The Schroeder-Bernstein Theorem implies excluded middle. Theorem 1 of [PradicBrown2022], p. 1. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidsbthr	⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑥 ≈ 𝑦) → EXMID)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem exmidsbthr

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2177	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = ∅ ↔ 𝑖 = ∅))
2		unieq 3805	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ∪ 𝑗 = ∪ 𝑖)
3	2	fveq2d 5500	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑝‘∪ 𝑗) = (𝑝‘∪ 𝑖))
4	1, 3	ifbieq2d 3550	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑗)) = if(𝑖 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑖)))
5	4	cbvmptv 4085	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ω ↦ if(𝑗 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑗))) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑖)))
6	5	mpteq2i 4076	. 2 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ∞ ↦ (𝑗 ∈ ω ↦ if(𝑗 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑗)))) = (𝑝 ∈ ℕ∞ ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑖))))
7	6	exmidsbthrlem 14054	1 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑥 ≈ 𝑦) → EXMID)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∀wal 1346   = wceq 1348  ∅c0 3414  ifcif 3526  ∪ cuni 3796   class class class wbr 3989   ↦ cmpt 4050  EXMIDwem 4180  ωcom 4574  ‘cfv 5198  1_oc1o 6388   ≈ cen 6716   ≼ cdom 6717  ℕ_∞xnninf 7096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-exmid 4181  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-en 6719  df-dom 6720  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025  df-case 7061  df-nninf 7097  df-omni 7111

This theorem is referenced by:  exmidsbth  14056