Theorem exmidsbthr 16795

Description: The Schroeder-Bernstein Theorem implies excluded middle. Theorem 1 of [PradicBrown2022], p. 1. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidsbthr	⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑥 ≈ 𝑦) → EXMID)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem exmidsbthr

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2239	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = ∅ ↔ 𝑖 = ∅))
2		unieq 3922	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ∪ 𝑗 = ∪ 𝑖)
3	2	fveq2d 5673	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑝‘∪ 𝑗) = (𝑝‘∪ 𝑖))
4	1, 3	ifbieq2d 3646	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑗)) = if(𝑖 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑖)))
5	4	cbvmptv 4205	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ω ↦ if(𝑗 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑗))) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑖)))
6	5	mpteq2i 4196	. 2 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ∞ ↦ (𝑗 ∈ ω ↦ if(𝑗 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑗)))) = (𝑝 ∈ ℕ∞ ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑖))))
7	6	exmidsbthrlem 16794	1 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑥 ≈ 𝑦) → EXMID)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1396   = wceq 1398  ∅c0 3507  ifcif 3619  ∪ cuni 3913   class class class wbr 4108   ↦ cmpt 4170  EXMIDwem 4306  ωcom 4711  ‘cfv 5351  1_oc1o 6639   ≈ cen 6972   ≼ cdom 6973  ℕ_∞xnninf 7409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-exmid 4307  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-1o 6646  df-2o 6647  df-map 6883  df-en 6975  df-dom 6976  df-dju 7328  df-inl 7337  df-inr 7338  df-case 7374  df-nninf 7410  df-omni 7425

This theorem is referenced by:  exmidsbth  16796