Theorem exmidsbthr 16036

Description: The Schroeder-Bernstein Theorem implies excluded middle. Theorem 1 of [PradicBrown2022], p. 1. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidsbthr	⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑥 ≈ 𝑦) → EXMID)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem exmidsbthr

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2213	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = ∅ ↔ 𝑖 = ∅))
2		unieq 3861	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ∪ 𝑗 = ∪ 𝑖)
3	2	fveq2d 5587	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑝‘∪ 𝑗) = (𝑝‘∪ 𝑖))
4	1, 3	ifbieq2d 3596	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑗)) = if(𝑖 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑖)))
5	4	cbvmptv 4144	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ω ↦ if(𝑗 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑗))) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑖)))
6	5	mpteq2i 4135	. 2 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ∞ ↦ (𝑗 ∈ ω ↦ if(𝑗 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑗)))) = (𝑝 ∈ ℕ∞ ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 = ∅, 1o, (𝑝‘∪ 𝑖))))
7	6	exmidsbthrlem 16035	1 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑥 ≈ 𝑦) → EXMID)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1371   = wceq 1373  ∅c0 3461  ifcif 3572  ∪ cuni 3852   class class class wbr 4047   ↦ cmpt 4109  EXMIDwem 4242  ωcom 4642  ‘cfv 5276  1_oc1o 6502   ≈ cen 6832   ≼ cdom 6833  ℕ_∞xnninf 7228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-exmid 4243  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-1o 6509  df-2o 6510  df-map 6744  df-en 6835  df-dom 6836  df-dju 7147  df-inl 7156  df-inr 7157  df-case 7193  df-nninf 7229  df-omni 7244

This theorem is referenced by:  exmidsbth  16037