ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exp3val GIF version
Theorem exp3val 10521
Description: Value of exponentiation to integer powers. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
exp3val ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) β†’ (𝐴↑𝑁) = if(𝑁 = 0, 1, if(0 < 𝑁, (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘), (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑁)))))
Proof of Theorem exp3val
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1cnd 7972 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ 𝑁 = 0) β†’ 1 ∈ β„‚)
2 simp1 997 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 nnuz 9562 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
4 1zzd 9279 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 1 ∈ β„€)
5 fvconst2g 5730 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝐴})β€˜π‘₯) = 𝐴)
6 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
75, 6eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝐴})β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8 mulcl 7937 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
98adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
103, 4, 7, 9seqf 10460 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴})):β„•βŸΆβ„‚)
112, 10syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) β†’ seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴})):β„•βŸΆβ„‚)
1211ad2antrr 488 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 0 < 𝑁) β†’ seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴})):β„•βŸΆβ„‚)
13 simp2 998 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1413ad2antrr 488 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 0 < 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
15 simpr 110 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 0 < 𝑁) β†’ 0 < 𝑁)
16 elnnz 9262 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• ↔ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑁))
1714, 15, 16sylanbrc 417 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 0 < 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1812, 17ffvelcdmd 5652 . . . 4 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 0 < 𝑁) β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘) ∈ β„‚)
1911ad2antrr 488 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴})):β„•βŸΆβ„‚)
2013ad2antrr 488 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2120znegcld 9376 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ -𝑁 ∈ β„€)
22 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ Β¬ 0 < 𝑁)
23 simplr 528 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ Β¬ 𝑁 = 0)
24 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
2523, 24sylnib 676 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ Β¬ 0 = 𝑁)
26 ioran 752 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁) ↔ (Β¬ 0 < 𝑁 ∧ Β¬ 0 = 𝑁))
2722, 25, 26sylanbrc 417 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ Β¬ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
28 0zd 9264 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ 0 ∈ β„€)
29 zleloe 9299 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
3028, 20, 29syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
3127, 30mtbird 673 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ Β¬ 0 ≀ 𝑁)
32 zltnle 9298 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (𝑁 < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ 𝑁))
3320, 28, 32syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ (𝑁 < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ 𝑁))
3431, 33mpbird 167 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ 𝑁 < 0)
3520zred 9374 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3635lt0neg1d 8471 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
3734, 36mpbid 147 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ 0 < -𝑁)
38 elnnz 9262 . . . . . . 7 (-𝑁 ∈ β„• ↔ (-𝑁 ∈ β„€ ∧ 0 < -𝑁))
3921, 37, 38sylanbrc 417 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ -𝑁 ∈ β„•)
4019, 39ffvelcdmd 5652 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑁) ∈ β„‚)
412ad2antrr 488 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
42 simpll3 1038 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁))
4331, 42ecased 1349 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ 𝐴 # 0)
4441, 43, 39exp3vallem 10520 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑁) # 0)
4540, 44recclapd 8737 . . . 4 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑁) β†’ (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑁)) ∈ β„‚)
46 0zd 9264 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 0 ∈ β„€)
47 simpl2 1001 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
48 zdclt 9329 . . . . 5 ((0 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ DECID 0 < 𝑁)
4946, 47, 48syl2anc 411 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ DECID 0 < 𝑁)
5018, 45, 49ifcldadc 3563 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ if(0 < 𝑁, (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘), (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑁))) ∈ β„‚)
51 0zd 9264 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) β†’ 0 ∈ β„€)
52 zdceq 9327 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ DECID 𝑁 = 0)
5313, 51, 52syl2anc 411 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) β†’ DECID 𝑁 = 0)
541, 50, 53ifcldadc 3563 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) β†’ if(𝑁 = 0, 1, if(0 < 𝑁, (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘), (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑁)))) ∈ β„‚)
55 sneq 3603 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ {π‘₯} = {𝐴})
5655xpeq2d 4650 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (β„• Γ— {π‘₯}) = (β„• Γ— {𝐴}))
5756seqeq3d 10452 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ seq1( Β· , (β„• Γ— {π‘₯})) = seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴})))
5857fveq1d 5517 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜π‘¦) = (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘¦))
5957fveq1d 5517 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑦) = (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑦))
6059oveq2d 5890 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑦)) = (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑦)))
6158, 60ifeq12d 3553 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(0 < 𝑦, (seq1( Β· , (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜π‘¦), (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑦))) = if(0 < 𝑦, (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘¦), (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑦))))
6261ifeq2d 3552 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(𝑦 = 0, 1, if(0 < 𝑦, (seq1( Β· , (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜π‘¦), (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑦)))) = if(𝑦 = 0, 1, if(0 < 𝑦, (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘¦), (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑦)))))
63 eqeq1 2184 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 β†’ (𝑦 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
64 breq2 4007 . . . . 5 (𝑦 = 𝑁 β†’ (0 < 𝑦 ↔ 0 < 𝑁))
65 fveq2 5515 . . . . 5 (𝑦 = 𝑁 β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘¦) = (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘))
66 negeq 8149 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑁 β†’ -𝑦 = -𝑁)
6766fveq2d 5519 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑁 β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑦) = (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑁))
6867oveq2d 5890 . . . . 5 (𝑦 = 𝑁 β†’ (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑦)) = (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑁)))
6964, 65, 68ifbieq12d 3560 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 β†’ if(0 < 𝑦, (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘¦), (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑦))) = if(0 < 𝑁, (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘), (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑁))))
7063, 69ifbieq2d 3558 . . 3 (𝑦 = 𝑁 β†’ if(𝑦 = 0, 1, if(0 < 𝑦, (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘¦), (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑦)))) = if(𝑁 = 0, 1, if(0 < 𝑁, (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘), (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑁)))))
71 df-exp 10519 . . 3 ↑ = (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ β„€ ↦ if(𝑦 = 0, 1, if(0 < 𝑦, (seq1( Β· , (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜π‘¦), (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑦)))))
7262, 70, 71ovmpog 6008 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ if(𝑁 = 0, 1, if(0 < 𝑁, (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘), (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑁)))) ∈ β„‚) β†’ (𝐴↑𝑁) = if(𝑁 = 0, 1, if(0 < 𝑁, (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘), (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑁)))))
7354, 72syld3an3 1283 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≀ 𝑁)) β†’ (𝐴↑𝑁) = if(𝑁 = 0, 1, if(0 < 𝑁, (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜π‘), (1 / (seq1( Β· , (β„• Γ— {𝐴}))β€˜-𝑁)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ifcif 3534  {csn 3592   class class class wbr 4003   Γ— cxp 4624  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  β„‚cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   Β· cmul 7815   < clt 7991   ≀ cle 7992  -cneg 8128   # cap 8537   / cdiv 8628  β„•cn 8918  β„€cz 9252  seqcseq 10444  β†‘cexp 10518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-seqfrec 10445  df-exp 10519
This theorem is referenced by:  expnnval  10522  exp0  10523  expnegap0  10527
  Copyright terms: Public domain W3C validator