Theorem ifbid 3493

Description: Equivalence deduction for conditional operators. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ifbid.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
ifbid	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2		ifbi 3492	. 2 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜒) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331  ifcif 3474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-if 3475

This theorem is referenced by:  ifbieq1d  3494  ifbieq2d  3496  ifbieq12d  3498  ifandc  3508  fodjum  7018  fodju0  7019  fodjuomni  7021  nnnninf  7023  fodjumkv  7034  xaddval  9628  0tonninf  10212  1tonninf  10213  sumeq1  11124  summodc  11152  zsumdc  11153  fsum3  11156  isumss  11160  sumsplitdc  11201  prodeq1f  11321  subctctexmid  13196  nninfalllemn  13202  nninfalllem1  13203  nninfsellemdc  13206  nninfself  13209  nninfsellemeq  13210  nninfsellemqall  13211  nninfsellemeqinf  13212  nninfomni  13215  nninffeq  13216