Theorem ifbid 3662

Description: Equivalence deduction for conditional operators. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ifbid.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
ifbid	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2		ifbi 3661	. 2 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜒) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-if 3639

This theorem is used by:  ifbieq1d  3663  ifbieq2d  3665  ifbieq12d  3667  ifandc  3681  ifordc  3682  rabsnif  3778  suppsnopdc  6490  pw2f1odclem  7134  2omap  7318  nnnninf  7466  nnnninf2  7467  nnnninfeq  7468  nninfisollemne  7471  nninfisol  7473  fodjum  7486  fodju0  7487  fodjuomni  7489  fodjumkv  7500  nninfwlporlemd  7512  nninfwlpor  7514  nninfwlpoimlemg  7515  nninfwlpoimlemginf  7516  nninfwlpoim  7519  nninfinfwlpo  7520  indval  9298  indfval  9301  xaddval  10257  0tonninf  10890  1tonninf  10891  nninfinf  10893  sumeq1  12137  summodc  12166  zsumdc  12167  fsum3  12170  isumss  12174  sumsplitdc  12215  prodeq1f  12335  zproddc  12362  fprodseq  12366  nninfctlemfo  12833  pcmpt  13142  pcmpt2  13143  pcfac  13149  lgsval  16221  lgsneg  16241  lgsdilem  16244  lgsdir2  16250  lgsdir  16252  bj-charfunbi  16935  pw1map  17123  subctctexmid  17128  nninfalllem1  17149  nninfsellemdc  17151  nninfself  17154  nninfsellemeq  17155  nninfsellemqall  17156  nninfsellemeqinf  17157  nninfomni  17160  nninffeq  17161  nnnninfex  17163  dceqnconst  17208  dcapnconst  17209