Theorem ifbid 3662

Description: Equivalence deduction for conditional operators. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ifbid.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
ifbid	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2		ifbi 3661	. 2 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜒) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-if 3639

This theorem is used by:  ifbieq1d  3663  ifbieq2d  3665  ifbieq12d  3667  ifandc  3681  ifordc  3682  rabsnif  3778  suppsnopdc  6490  pw2f1odclem  7134  2omap  7318  nnnninf  7466  nnnninf2  7467  nnnninfeq  7468  nninfisollemne  7471  nninfisol  7473  fodjum  7486  fodju0  7487  fodjuomni  7489  fodjumkv  7500  nninfwlporlemd  7512  nninfwlpor  7514  nninfwlpoimlemg  7515  nninfwlpoimlemginf  7516  nninfwlpoim  7519  nninfinfwlpo  7520  indval  9296  indfval  9299  xaddval  10247  0tonninf  10877  1tonninf  10878  nninfinf  10880  sumeq1  12121  summodc  12150  zsumdc  12151  fsum3  12154  isumss  12158  sumsplitdc  12199  prodeq1f  12319  zproddc  12346  fprodseq  12350  nninfctlemfo  12817  pcmpt  13122  pcmpt2  13123  pcfac  13129  lgsval  16123  lgsneg  16143  lgsdilem  16146  lgsdir2  16152  lgsdir  16154  bj-charfunbi  16837  pw1map  17025  subctctexmid  17030  nninfalllem1  17051  nninfsellemdc  17053  nninfself  17056  nninfsellemeq  17057  nninfsellemqall  17058  nninfsellemeqinf  17059  nninfomni  17062  nninffeq  17063  nnnninfex  17065  dceqnconst  17110  dcapnconst  17111