Theorem ifbid 3662

Description: Equivalence deduction for conditional operators. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ifbid.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
ifbid	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2		ifbi 3661	. 2 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜒) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-if 3639

This theorem is used by:  ifbieq1d  3663  ifbieq2d  3665  ifbieq12d  3667  ifandc  3681  ifordc  3682  rabsnif  3778  suppsnopdc  6494  pw2f1odclem  7140  2omap  7324  nnnninf  7472  nnnninf2  7473  nnnninfeq  7474  nninfisollemne  7477  nninfisol  7479  fodjum  7492  fodju0  7493  fodjuomni  7495  fodjumkv  7506  nninfwlporlemd  7518  nninfwlpor  7520  nninfwlpoimlemg  7521  nninfwlpoimlemginf  7522  nninfwlpoim  7525  nninfinfwlpo  7526  indval  9305  indfval  9308  xaddval  10263  0tonninf  10897  1tonninf  10898  nninfinf  10900  sumeq1  12145  summodc  12174  zsumdc  12175  fsum3  12178  isumss  12182  sumsplitdc  12223  prodeq1f  12343  zproddc  12370  fprodseq  12374  nninfctlemfo  12841  pcmpt  13150  pcmpt2  13151  pcfac  13157  psrlidmfi  15208  psrridmfi  15209  mvrval  15215  mvrval2  15216  mvrf1fi  15219  prmorcht  16299  lgsval  16345  lgsneg  16365  lgsdilem  16368  lgsdir2  16374  lgsdir  16376  bj-charfunbi  17059  pw1map  17247  subctctexmid  17252  idjudju  17269  nninfalllem1  17274  nninfsellemdc  17276  nninfself  17279  nninfsellemeq  17280  nninfsellemqall  17281  nninfsellemeqinf  17282  nninfomni  17285  nninffeq  17286  nnnninfex  17288  dceqnconst  17334  dcapnconst  17335