Theorem ifbid 3541

Description: Equivalence deduction for conditional operators. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ifbid.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
ifbid	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2		ifbi 3540	. 2 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜒) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1343  ifcif 3520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-11 1494  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-if 3521

This theorem is referenced by:  ifbieq1d  3542  ifbieq2d  3544  ifbieq12d  3546  ifandc  3557  nnnninf  7090  nnnninf2  7091  nnnninfeq  7092  nninfisollemne  7095  nninfisol  7097  fodjum  7110  fodju0  7111  fodjuomni  7113  fodjumkv  7124  xaddval  9781  0tonninf  10374  1tonninf  10375  sumeq1  11296  summodc  11324  zsumdc  11325  fsum3  11328  isumss  11332  sumsplitdc  11373  prodeq1f  11493  zproddc  11520  fprodseq  11524  pcmpt  12273  pcmpt2  12274  pcfac  12280  lgsval  13545  lgsneg  13565  lgsdilem  13568  lgsdir2  13574  lgsdir  13576  bj-charfunbi  13693  subctctexmid  13881  nninfalllem1  13888  nninfsellemdc  13890  nninfself  13893  nninfsellemeq  13894  nninfsellemqall  13895  nninfsellemeqinf  13896  nninfomni  13899  nninffeq  13900  dceqnconst  13938  dcapnconst  13939