Theorem ifbid 3582

Description: Equivalence deduction for conditional operators. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ifbid.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
ifbid	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2		ifbi 3581	. 2 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜒) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ifcif 3561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-if 3562

This theorem is referenced by:  ifbieq1d  3583  ifbieq2d  3585  ifbieq12d  3587  ifandc  3599  ifordc  3600  pw2f1odclem  6895  nnnninf  7192  nnnninf2  7193  nnnninfeq  7194  nninfisollemne  7197  nninfisol  7199  fodjum  7212  fodju0  7213  fodjuomni  7215  fodjumkv  7226  nninfwlporlemd  7238  nninfwlpor  7240  nninfwlpoimlemg  7241  nninfwlpoimlemginf  7242  nninfwlpoim  7244  xaddval  9920  0tonninf  10532  1tonninf  10533  nninfinf  10535  sumeq1  11520  summodc  11548  zsumdc  11549  fsum3  11552  isumss  11556  sumsplitdc  11597  prodeq1f  11717  zproddc  11744  fprodseq  11748  nninfctlemfo  12207  pcmpt  12512  pcmpt2  12513  pcfac  12519  lgsval  15245  lgsneg  15265  lgsdilem  15268  lgsdir2  15274  lgsdir  15276  bj-charfunbi  15457  subctctexmid  15645  nninfalllem1  15652  nninfsellemdc  15654  nninfself  15657  nninfsellemeq  15658  nninfsellemqall  15659  nninfsellemeqinf  15660  nninfomni  15663  nninffeq  15664  dceqnconst  15704  dcapnconst  15705