Theorem ifbid 3498

Description: Equivalence deduction for conditional operators. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ifbid.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
ifbid	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2		ifbi 3497	. 2 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜒) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1332  ifcif 3479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-11 1485  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-if 3480

This theorem is referenced by:  ifbieq1d  3499  ifbieq2d  3501  ifbieq12d  3503  ifandc  3513  fodjum  7026  fodju0  7027  fodjuomni  7029  nnnninf  7031  fodjumkv  7042  xaddval  9658  0tonninf  10243  1tonninf  10244  sumeq1  11156  summodc  11184  zsumdc  11185  fsum3  11188  isumss  11192  sumsplitdc  11233  prodeq1f  11353  zproddc  11380  fprodseq  11384  subctctexmid  13369  nninfalllemn  13377  nninfalllem1  13378  nninfsellemdc  13381  nninfself  13384  nninfsellemeq  13385  nninfsellemqall  13386  nninfsellemeqinf  13387  nninfomni  13390  nninffeq  13391  dceqnconst  13423