Theorem ifbid 3583

Description: Equivalence deduction for conditional operators. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ifbid.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
ifbid	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2		ifbi 3582	. 2 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜒) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ifcif 3562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-if 3563

This theorem is referenced by:  ifbieq1d  3584  ifbieq2d  3586  ifbieq12d  3588  ifandc  3600  ifordc  3601  pw2f1odclem  6904  nnnninf  7201  nnnninf2  7202  nnnninfeq  7203  nninfisollemne  7206  nninfisol  7208  fodjum  7221  fodju0  7222  fodjuomni  7224  fodjumkv  7235  nninfwlporlemd  7247  nninfwlpor  7249  nninfwlpoimlemg  7250  nninfwlpoimlemginf  7251  nninfwlpoim  7253  xaddval  9937  0tonninf  10549  1tonninf  10550  nninfinf  10552  sumeq1  11537  summodc  11565  zsumdc  11566  fsum3  11569  isumss  11573  sumsplitdc  11614  prodeq1f  11734  zproddc  11761  fprodseq  11765  nninfctlemfo  12232  pcmpt  12537  pcmpt2  12538  pcfac  12544  lgsval  15329  lgsneg  15349  lgsdilem  15352  lgsdir2  15358  lgsdir  15360  bj-charfunbi  15541  2omap  15726  subctctexmid  15731  nninfalllem1  15739  nninfsellemdc  15741  nninfself  15744  nninfsellemeq  15745  nninfsellemqall  15746  nninfsellemeqinf  15747  nninfomni  15750  nninffeq  15751  dceqnconst  15791  dcapnconst  15792