Theorem ifbid 3662

Description: Equivalence deduction for conditional operators. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ifbid.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
ifbid	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2		ifbi 3661	. 2 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜒) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-if 3639

This theorem is used by:  ifbieq1d  3663  ifbieq2d  3665  ifbieq12d  3667  ifandc  3681  ifordc  3682  rabsnif  3778  suppsnopdc  6494  pw2f1odclem  7138  2omap  7324  nnnninf  7472  nnnninf2  7473  nnnninfeq  7474  nninfisollemne  7477  nninfisol  7479  fodjum  7492  fodju0  7493  fodjuomni  7495  fodjumkv  7506  nninfwlporlemd  7518  nninfwlpor  7520  nninfwlpoimlemg  7521  nninfwlpoimlemginf  7522  nninfwlpoim  7525  nninfinfwlpo  7526  indval  9305  indfval  9308  xaddval  10264  0tonninf  10898  1tonninf  10899  nninfinf  10901  sumeq1  12146  summodc  12175  zsumdc  12176  fsum3  12179  isumss  12183  sumsplitdc  12224  prodeq1f  12344  zproddc  12371  fprodseq  12375  nninfctlemfo  12842  pcmpt  13151  pcmpt2  13152  pcfac  13158  psrlidmfi  15199  psrridmfi  15200  prmorcht  16282  lgsval  16328  lgsneg  16348  lgsdilem  16351  lgsdir2  16357  lgsdir  16359  bj-charfunbi  17042  pw1map  17230  subctctexmid  17235  idjudju  17252  nninfalllem1  17257  nninfsellemdc  17259  nninfself  17262  nninfsellemeq  17263  nninfsellemqall  17264  nninfsellemeqinf  17265  nninfomni  17268  nninffeq  17269  nnnninfex  17271  dceqnconst  17317  dcapnconst  17318