Theorem ifbid 3583

Description: Equivalence deduction for conditional operators. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ifbid.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
ifbid	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2		ifbi 3582	. 2 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜒) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ifcif 3562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-if 3563

This theorem is referenced by:  ifbieq1d  3584  ifbieq2d  3586  ifbieq12d  3588  ifandc  3600  ifordc  3601  pw2f1odclem  6904  nnnninf  7201  nnnninf2  7202  nnnninfeq  7203  nninfisollemne  7206  nninfisol  7208  fodjum  7221  fodju0  7222  fodjuomni  7224  fodjumkv  7235  nninfwlporlemd  7247  nninfwlpor  7249  nninfwlpoimlemg  7250  nninfwlpoimlemginf  7251  nninfwlpoim  7254  nninfinfwlpo  7255  xaddval  9939  0tonninf  10551  1tonninf  10552  nninfinf  10554  sumeq1  11539  summodc  11567  zsumdc  11568  fsum3  11571  isumss  11575  sumsplitdc  11616  prodeq1f  11736  zproddc  11763  fprodseq  11767  nninfctlemfo  12234  pcmpt  12539  pcmpt2  12540  pcfac  12546  lgsval  15331  lgsneg  15351  lgsdilem  15354  lgsdir2  15360  lgsdir  15362  bj-charfunbi  15543  2omap  15728  subctctexmid  15733  nninfalllem1  15741  nninfsellemdc  15743  nninfself  15746  nninfsellemeq  15747  nninfsellemqall  15748  nninfsellemeqinf  15749  nninfomni  15752  nninffeq  15753  nnnninfex  15755  dceqnconst  15795  dcapnconst  15796