Theorem ifbid 3662

Description: Equivalence deduction for conditional operators. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ifbid.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
ifbid	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifbid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2		ifbi 3661	. 2 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜒) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = if(𝜒, 𝐴, 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-if 3639

This theorem is used by:  ifbieq1d  3663  ifbieq2d  3665  ifbieq12d  3667  ifandc  3681  ifordc  3682  rabsnif  3778  suppsnopdc  6490  pw2f1odclem  7134  2omap  7319  nnnninf  7467  nnnninf2  7468  nnnninfeq  7469  nninfisollemne  7472  nninfisol  7474  fodjum  7487  fodju0  7488  fodjuomni  7490  fodjumkv  7501  nninfwlporlemd  7513  nninfwlpor  7515  nninfwlpoimlemg  7516  nninfwlpoimlemginf  7517  nninfwlpoim  7520  nninfinfwlpo  7521  indval  9299  indfval  9302  xaddval  10258  0tonninf  10892  1tonninf  10893  nninfinf  10895  sumeq1  12140  summodc  12169  zsumdc  12170  fsum3  12173  isumss  12177  sumsplitdc  12218  prodeq1f  12338  zproddc  12365  fprodseq  12369  nninfctlemfo  12836  pcmpt  13145  pcmpt2  13146  pcfac  13152  prmorcht  16243  lgsval  16289  lgsneg  16309  lgsdilem  16312  lgsdir2  16318  lgsdir  16320  bj-charfunbi  17003  pw1map  17191  subctctexmid  17196  nninfalllem1  17217  nninfsellemdc  17219  nninfself  17222  nninfsellemeq  17223  nninfsellemqall  17224  nninfsellemeqinf  17225  nninfomni  17228  nninffeq  17229  nnnninfex  17231  dceqnconst  17277  dcapnconst  17278