Theorem iseqf1olemqk 10729

Description: Lemma for seq3f1o 10739. 𝑄 is constant for one more position than 𝐽 is. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemqk.const	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqk	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)(𝑄‘𝑥) = 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐽,𝑥   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝑀,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem iseqf1olemqk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzole1 10352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑀 ≤ 𝑥)
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
3		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
4		elfzle2 10224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
6		elfzolt2 10353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑥 < 𝐾)
7	5, 6	anim12ci 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 < 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
8		elfzoelz 10343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑥 ∈ ℤ)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ ℤ)
10	9	zred 9569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		elfzoel2 10342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	zred 9569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
14		elfzel2 10219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	zred 9569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		ltleletr 8228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁))
19	10, 13, 17, 18	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ((𝑥 < 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁))
20	7, 19	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ≤ 𝑁)
21		elfzel1 10220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑀 ∈ ℤ)
24		elfz 10210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)))
25	9, 23, 16, 24	syl3anc 1271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)))
26	2, 20, 25	mpbir2and 950	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
27	6	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 < 𝐾)
28		zltnle 9492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑥))
29	9, 12, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑥))
30	27, 29	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ¬ 𝐾 ≤ 𝑥)
31	30	intnanrd 937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ¬ (𝐾 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
32		iseqf1olemqf.j	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
33		f1ocnv 5585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
34		f1of 5572	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
35	32, 33, 34	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
36	35, 3	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
37		elfzelz 10221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
40		elfz 10210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (◡𝐽‘𝐾))))
41	9, 12, 39, 40	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (◡𝐽‘𝐾))))
42	31, 41	mtbird 677	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
43	42	iffalsed 3612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)) = (𝐽‘𝑥))
44		iseqf1olemqk.const	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
45	44	r19.21bi 2618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝐽‘𝑥) = 𝑥)
46	43, 45	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)) = 𝑥)
47		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾))
48	46, 47	eqeltrd 2306	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)) ∈ (𝑀..^𝐾))
49		eleq1w 2290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
50		eqeq1 2236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 = 𝐾 ↔ 𝑥 = 𝐾))
51		oveq1 6008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 − 1) = (𝑥 − 1))
52	51	fveq2d 5631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝐽‘(𝑢 − 1)) = (𝐽‘(𝑥 − 1)))
53	50, 52	ifbieq2d 3627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))) = if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))))
54		fveq2 5627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝐽‘𝑢) = (𝐽‘𝑥))
55	49, 53, 54	ifbieq12d 3629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)) = if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)))
56		iseqf1olemqf.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
57	55, 56	fvmptg 5710	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)) ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑄‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)))
58	26, 48, 57	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑄‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)))
59	58, 46	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑄‘𝑥) = 𝑥)
60	59	ralrimiva 2603	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝑄‘𝑥) = 𝑥)
61	3, 32, 3, 56	iseqf1olemqval 10722	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐾) = if(𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽‘𝐾)))
62		elfzelz 10221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
63	3, 62	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
64		elfzuz2 10225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
65	3, 64	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
66	65, 3, 32, 44	iseqf1olemkle 10719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
67		eluz2 9728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
68	63, 38, 66, 67	syl3anbrc 1205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
69		eluzfz1 10227	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
70	68, 69	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
71	70	iftrued 3609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽‘𝐾)) = if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))))
72		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = 𝐾
73	72	iftruei 3608	. . . . . 6 ⊢ if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))) = 𝐾
74	71, 73	eqtrdi 2278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
75	61, 74	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐾) = 𝐾)
76		fveq2 5627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑄‘𝑥) = (𝑄‘𝐾))
77		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → 𝑥 = 𝐾)
78	76, 77	eqeq12d 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑄‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐾))
79	78	ralsng 3706	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐾))
80	3, 62, 79	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐾))
81	75, 80	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄‘𝑥) = 𝑥)
82		ralun 3386	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝑄‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄‘𝑥) = 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾})(𝑄‘𝑥) = 𝑥)
83	60, 81, 82	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾})(𝑄‘𝑥) = 𝑥)
84		elfzuz 10217	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
85		fzisfzounsn 10442	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾}))
86	3, 84, 85	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝐾) = ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾}))
87	86	raleqdv 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)(𝑄‘𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾})(𝑄‘𝑥) = 𝑥))
88	83, 87	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)(𝑄‘𝑥) = 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ∪ cun 3195  ifcif 3602  {csn 3666   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  ^◡ccnv 4718  ⟶wf 5314  –1-1-onto→wf1o 5317  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  ℝcr 7998  1c1 8000   < clt 8181   ≤ cle 8182   − cmin 8317  ℤcz 9446  ℤ_≥cuz 9722  ...cfz 10204  ..^cfzo 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339

This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  10736