Theorem iseqf1olemqk 10922

Description: Lemma for seq3f1o 10932. 𝑄 is constant for one more position than 𝐽 is. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemqk.const	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqk	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)(𝑄‘𝑥) = 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐽,𝑥   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝑀,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem iseqf1olemqk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzole1 10541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑀 ≤ 𝑥)
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
3		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
4		elfzle2 10411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
6		elfzolt2 10542	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑥 < 𝐾)
7	5, 6	anim12ci 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 < 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
8		elfzoelz 10532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑥 ∈ ℤ)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ ℤ)
10	9	zred 9747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		elfzoel2 10531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	zred 9747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
14		elfzel2 10405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	zred 9747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		ltleletr 8397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁))
19	10, 13, 17, 18	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ((𝑥 < 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁))
20	7, 19	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ≤ 𝑁)
21		elfzel1 10406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑀 ∈ ℤ)
24		elfz 10396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)))
25	9, 23, 16, 24	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)))
26	2, 20, 25	mpbir2and 957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
27	6	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 < 𝐾)
28		zltnle 9669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑥))
29	9, 12, 28	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑥))
30	27, 29	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ¬ 𝐾 ≤ 𝑥)
31	30	intnanrd 944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ¬ (𝐾 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
32		iseqf1olemqf.j	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
33		f1ocnv 5647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
34		f1of 5634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
35	32, 33, 34	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
36	35, 3	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
37		elfzelz 10407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
40		elfz 10396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (◡𝐽‘𝐾))))
41	9, 12, 39, 40	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (◡𝐽‘𝐾))))
42	31, 41	mtbird 684	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
43	42	iffalsed 3647	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)) = (𝐽‘𝑥))
44		iseqf1olemqk.const	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
45	44	r19.21bi 2638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝐽‘𝑥) = 𝑥)
46	43, 45	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)) = 𝑥)
47		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾))
48	46, 47	eqeltrd 2315	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)) ∈ (𝑀..^𝐾))
49		eleq1w 2299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
50		eqeq1 2245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 = 𝐾 ↔ 𝑥 = 𝐾))
51		oveq1 6082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 − 1) = (𝑥 − 1))
52	51	fveq2d 5694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝐽‘(𝑢 − 1)) = (𝐽‘(𝑥 − 1)))
53	50, 52	ifbieq2d 3662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))) = if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))))
54		fveq2 5690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝐽‘𝑢) = (𝐽‘𝑥))
55	49, 53, 54	ifbieq12d 3664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)) = if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)))
56		iseqf1olemqf.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
57	55, 56	fvmptg 5775	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)) ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑄‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)))
58	26, 48, 57	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑄‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)))
59	58, 46	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑄‘𝑥) = 𝑥)
60	59	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝑄‘𝑥) = 𝑥)
61	3, 32, 3, 56	iseqf1olemqval 10915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐾) = if(𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽‘𝐾)))
62		elfzelz 10407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
63	3, 62	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
64		elfzuz2 10412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
65	3, 64	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
66	65, 3, 32, 44	iseqf1olemkle 10912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
67		eluz2 9906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
68	63, 38, 66, 67	syl3anbrc 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
69		eluzfz1 10414	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
70	68, 69	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
71	70	iftrued 3644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽‘𝐾)) = if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))))
72		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = 𝐾
73	72	iftruei 3643	. . . . . 6 ⊢ if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))) = 𝐾
74	71, 73	eqtrdi 2287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
75	61, 74	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐾) = 𝐾)
76		fveq2 5690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑄‘𝑥) = (𝑄‘𝐾))
77		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → 𝑥 = 𝐾)
78	76, 77	eqeq12d 2253	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑄‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐾))
79	78	ralsng 3745	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐾))
80	3, 62, 79	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐾))
81	75, 80	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄‘𝑥) = 𝑥)
82		ralun 3411	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝑄‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄‘𝑥) = 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾})(𝑄‘𝑥) = 𝑥)
83	60, 81, 82	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾})(𝑄‘𝑥) = 𝑥)
84		elfzuz 10403	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
85		fzisfzounsn 10633	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾}))
86	3, 84, 85	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝐾) = ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾}))
87	86	raleqdv 2755	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)(𝑄‘𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾})(𝑄‘𝑥) = 𝑥))
88	83, 87	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)(𝑄‘𝑥) = 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ∪ cun 3218  ifcif 3635  {csn 3705   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187  ^◡ccnv 4768  ⟶wf 5368  –1-1-onto→wf1o 5371  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℝcr 8168  1c1 8170   < clt 8350   ≤ cle 8351   − cmin 8487  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ...cfz 10390  ..^cfzo 10527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528

This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  10929