ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemqk GIF version

Theorem iseqf1olemqk 9888
Description: Lemma for seq3f1o 9898. 𝑄 is constant for one more position than 𝐽 is. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqf.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
iseqf1olemqk.const (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemqk (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)(𝑄𝑥) = 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐽,𝑥   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝑀,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem iseqf1olemqk
StepHypRef Expression
1 elfzole1 9531 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑀𝑥)
21adantl 271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑀𝑥)
3 iseqf1olemqf.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
4 elfzle2 9411 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾𝑁)
53, 4syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝑁)
6 elfzolt2 9532 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑥 < 𝐾)
75, 6anim12ci 332 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 < 𝐾𝐾𝑁))
8 elfzoelz 9523 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑥 ∈ ℤ)
98adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ ℤ)
109zred 8838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 elfzoel2 9522 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
1211adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
1312zred 8838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
14 elfzel2 9407 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
153, 14syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1615adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1716zred 8838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 ltleletr 7546 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝐾𝐾𝑁) → 𝑥𝑁))
1910, 13, 17, 18syl3anc 1174 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ((𝑥 < 𝐾𝐾𝑁) → 𝑥𝑁))
207, 19mpd 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥𝑁)
21 elfzel1 9408 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
223, 21syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2322adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑀 ∈ ℤ)
24 elfz 9399 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝑥𝑥𝑁)))
259, 23, 16, 24syl3anc 1174 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝑥𝑥𝑁)))
262, 20, 25mpbir2and 890 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
276adantl 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 < 𝐾)
28 zltnle 8766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑥))
299, 12, 28syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑥))
3027, 29mpbid 145 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ¬ 𝐾𝑥)
3130intnanrd 879 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ¬ (𝐾𝑥𝑥 ≤ (𝐽𝐾)))
32 iseqf1olemqf.j . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
33 f1ocnv 5250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
34 f1of 5237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
3532, 33, 343syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
3635, 3ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
37 elfzelz 9409 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
3938adantr 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
40 elfz 9399 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) ↔ (𝐾𝑥𝑥 ≤ (𝐽𝐾))))
419, 12, 39, 40syl3anc 1174 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) ↔ (𝐾𝑥𝑥 ≤ (𝐽𝐾))))
4231, 41mtbird 633 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
4342iffalsed 3399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → if(𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽𝑥)) = (𝐽𝑥))
44 iseqf1olemqk.const . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
4544r19.21bi 2461 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝐽𝑥) = 𝑥)
4643, 45eqtrd 2120 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → if(𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽𝑥)) = 𝑥)
47 simpr 108 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾))
4846, 47eqeltrd 2164 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → if(𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽𝑥)) ∈ (𝑀..^𝐾))
49 eleq1w 2148 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))))
50 eqeq1 2094 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 = 𝐾𝑥 = 𝐾))
51 oveq1 5641 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 − 1) = (𝑥 − 1))
5251fveq2d 5293 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑥 → (𝐽‘(𝑢 − 1)) = (𝐽‘(𝑥 − 1)))
5350, 52ifbieq2d 3411 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑥 → if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))) = if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))))
54 fveq2 5289 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑥 → (𝐽𝑢) = (𝐽𝑥))
5549, 53, 54ifbieq12d 3413 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑥 → if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)) = if(𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽𝑥)))
56 iseqf1olemqf.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
5755, 56fvmptg 5364 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ if(𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽𝑥)) ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑄𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽𝑥)))
5826, 48, 57syl2anc 403 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑄𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽𝑥)))
5958, 46eqtrd 2120 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑄𝑥) = 𝑥)
6059ralrimiva 2446 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝑄𝑥) = 𝑥)
613, 32, 3, 56iseqf1olemqval 9881 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝐾) = if(𝐾 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽𝐾)))
62 elfzelz 9409 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
633, 62syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
64 elfzuz2 9412 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
653, 64syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6665, 3, 32, 44iseqf1olemkle 9878 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
67 eluz2 8994 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ (𝐽𝐾)))
6863, 38, 66, 67syl3anbrc 1127 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾))
69 eluzfz1 9414 . . . . . . . 8 ((𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
7068, 69syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
7170iftrued 3396 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐾 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽𝐾)) = if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))))
72 eqid 2088 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
7372iftruei 3395 . . . . . 6 if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))) = 𝐾
7471, 73syl6eq 2136 . . . . 5 (𝜑 → if(𝐾 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽𝐾)) = 𝐾)
7561, 74eqtrd 2120 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐾) = 𝐾)
76 fveq2 5289 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → (𝑄𝑥) = (𝑄𝐾))
77 id 19 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾𝑥 = 𝐾)
7876, 77eqeq12d 2102 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑄𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑄𝐾) = 𝐾))
7978ralsng 3478 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑄𝐾) = 𝐾))
803, 62, 793syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑄𝐾) = 𝐾))
8175, 80mpbird 165 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄𝑥) = 𝑥)
82 ralun 3180 . . 3 ((∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝑄𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄𝑥) = 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾})(𝑄𝑥) = 𝑥)
8360, 81, 82syl2anc 403 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾})(𝑄𝑥) = 𝑥)
84 elfzuz 9405 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
85 fzisfzounsn 9612 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾}))
863, 84, 853syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝐾) = ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾}))
8786raleqdv 2568 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)(𝑄𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾})(𝑄𝑥) = 𝑥))
8883, 87mpbird 165 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)(𝑄𝑥) = 𝑥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  cun 2995  ifcif 3389  {csn 3441   class class class wbr 3837  cmpt 3891  ccnv 4427  wf 4998  1-1-ontowf1o 5001  cfv 5002  (class class class)co 5634  cr 7328  1c1 7330   < clt 7501  cle 7502  cmin 7632  cz 8720  cuz 8988  ...cfz 9393  ..^cfzo 9518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519
This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  9895
  Copyright terms: Public domain W3C validator