Theorem iseqf1olemqk 10429

Description: Lemma for seq3f1o 10439. 𝑄 is constant for one more position than 𝐽 is. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemqk.const	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqk	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)(𝑄‘𝑥) = 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐽,𝑥   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝑀,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem iseqf1olemqk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzole1 10090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑀 ≤ 𝑥)
2	1	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
3		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
4		elfzle2 9963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
6		elfzolt2 10091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑥 < 𝐾)
7	5, 6	anim12ci 337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 < 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
8		elfzoelz 10082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑥 ∈ ℤ)
9	8	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ ℤ)
10	9	zred 9313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		elfzoel2 10081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
12	11	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	zred 9313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
14		elfzel2 9958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16	15	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	zred 9313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		ltleletr 7980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁))
19	10, 13, 17, 18	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ((𝑥 < 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁))
20	7, 19	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ≤ 𝑁)
21		elfzel1 9959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑀 ∈ ℤ)
24		elfz 9950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)))
25	9, 23, 16, 24	syl3anc 1228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑁)))
26	2, 20, 25	mpbir2and 934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
27	6	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 < 𝐾)
28		zltnle 9237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑥))
29	9, 12, 28	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑥))
30	27, 29	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ¬ 𝐾 ≤ 𝑥)
31	30	intnanrd 922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ¬ (𝐾 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
32		iseqf1olemqf.j	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
33		f1ocnv 5445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
34		f1of 5432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
35	32, 33, 34	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
36	35, 3	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
37		elfzelz 9960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
39	38	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
40		elfz 9950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (◡𝐽‘𝐾))))
41	9, 12, 39, 40	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (◡𝐽‘𝐾))))
42	31, 41	mtbird 663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
43	42	iffalsed 3530	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)) = (𝐽‘𝑥))
44		iseqf1olemqk.const	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
45	44	r19.21bi 2554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝐽‘𝑥) = 𝑥)
46	43, 45	eqtrd 2198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)) = 𝑥)
47		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾))
48	46, 47	eqeltrd 2243	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)) ∈ (𝑀..^𝐾))
49		eleq1w 2227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
50		eqeq1 2172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 = 𝐾 ↔ 𝑥 = 𝐾))
51		oveq1 5849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 − 1) = (𝑥 − 1))
52	51	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝐽‘(𝑢 − 1)) = (𝐽‘(𝑥 − 1)))
53	50, 52	ifbieq2d 3544	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))) = if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))))
54		fveq2 5486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝐽‘𝑢) = (𝐽‘𝑥))
55	49, 53, 54	ifbieq12d 3546	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)) = if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)))
56		iseqf1olemqf.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
57	55, 56	fvmptg 5562	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)) ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑄‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)))
58	26, 48, 57	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑄‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽‘𝑥)))
59	58, 46	eqtrd 2198	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑄‘𝑥) = 𝑥)
60	59	ralrimiva 2539	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝑄‘𝑥) = 𝑥)
61	3, 32, 3, 56	iseqf1olemqval 10422	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐾) = if(𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽‘𝐾)))
62		elfzelz 9960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
63	3, 62	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
64		elfzuz2 9964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
65	3, 64	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
66	65, 3, 32, 44	iseqf1olemkle 10419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
67		eluz2 9472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
68	63, 38, 66, 67	syl3anbrc 1171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
69		eluzfz1 9966	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
70	68, 69	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
71	70	iftrued 3527	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽‘𝐾)) = if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))))
72		eqid 2165	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = 𝐾
73	72	iftruei 3526	. . . . . 6 ⊢ if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))) = 𝐾
74	71, 73	eqtrdi 2215	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
75	61, 74	eqtrd 2198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐾) = 𝐾)
76		fveq2 5486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑄‘𝑥) = (𝑄‘𝐾))
77		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → 𝑥 = 𝐾)
78	76, 77	eqeq12d 2180	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑄‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐾))
79	78	ralsng 3616	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐾))
80	3, 62, 79	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑄‘𝐾) = 𝐾))
81	75, 80	mpbird 166	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄‘𝑥) = 𝑥)
82		ralun 3304	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝑄‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄‘𝑥) = 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾})(𝑄‘𝑥) = 𝑥)
83	60, 81, 82	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾})(𝑄‘𝑥) = 𝑥)
84		elfzuz 9956	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
85		fzisfzounsn 10171	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾}))
86	3, 84, 85	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝐾) = ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾}))
87	86	raleqdv 2667	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)(𝑄‘𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾})(𝑄‘𝑥) = 𝑥))
88	83, 87	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)(𝑄‘𝑥) = 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444   ∪ cun 3114  ifcif 3520  {csn 3576   class class class wbr 3982   ↦ cmpt 4043  ^◡ccnv 4603  ⟶wf 5184  –1-1-onto→wf1o 5187  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  1c1 7754   < clt 7933   ≤ cle 7934   − cmin 8069  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466  ...cfz 9944  ..^cfzo 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078

This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  10436