ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemqk GIF version

Theorem iseqf1olemqk 10207
Description: Lemma for seq3f1o 10217. 𝑄 is constant for one more position than 𝐽 is. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqf.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
iseqf1olemqk.const (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemqk (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)(𝑄𝑥) = 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐽,𝑥   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝑀,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem iseqf1olemqk
StepHypRef Expression
1 elfzole1 9872 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑀𝑥)
21adantl 273 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑀𝑥)
3 iseqf1olemqf.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
4 elfzle2 9748 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾𝑁)
53, 4syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝑁)
6 elfzolt2 9873 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑥 < 𝐾)
75, 6anim12ci 335 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 < 𝐾𝐾𝑁))
8 elfzoelz 9864 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑥 ∈ ℤ)
98adantl 273 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ ℤ)
109zred 9124 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 elfzoel2 9863 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
1211adantl 273 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
1312zred 9124 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
14 elfzel2 9744 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
153, 14syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1615adantr 272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1716zred 9124 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 ltleletr 7810 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝐾𝐾𝑁) → 𝑥𝑁))
1910, 13, 17, 18syl3anc 1199 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ((𝑥 < 𝐾𝐾𝑁) → 𝑥𝑁))
207, 19mpd 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥𝑁)
21 elfzel1 9745 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
223, 21syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2322adantr 272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑀 ∈ ℤ)
24 elfz 9736 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝑥𝑥𝑁)))
259, 23, 16, 24syl3anc 1199 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝑥𝑥𝑁)))
262, 20, 25mpbir2and 911 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
276adantl 273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 < 𝐾)
28 zltnle 9051 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑥))
299, 12, 28syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑥))
3027, 29mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ¬ 𝐾𝑥)
3130intnanrd 900 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ¬ (𝐾𝑥𝑥 ≤ (𝐽𝐾)))
32 iseqf1olemqf.j . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
33 f1ocnv 5346 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
34 f1of 5333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
3532, 33, 343syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
3635, 3ffvelrnd 5522 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
37 elfzelz 9746 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
3938adantr 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
40 elfz 9736 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) ↔ (𝐾𝑥𝑥 ≤ (𝐽𝐾))))
419, 12, 39, 40syl3anc 1199 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) ↔ (𝐾𝑥𝑥 ≤ (𝐽𝐾))))
4231, 41mtbird 645 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
4342iffalsed 3452 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → if(𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽𝑥)) = (𝐽𝑥))
44 iseqf1olemqk.const . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
4544r19.21bi 2495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝐽𝑥) = 𝑥)
4643, 45eqtrd 2148 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → if(𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽𝑥)) = 𝑥)
47 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾))
4846, 47eqeltrd 2192 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → if(𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽𝑥)) ∈ (𝑀..^𝐾))
49 eleq1w 2176 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))))
50 eqeq1 2122 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 = 𝐾𝑥 = 𝐾))
51 oveq1 5747 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 − 1) = (𝑥 − 1))
5251fveq2d 5391 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑥 → (𝐽‘(𝑢 − 1)) = (𝐽‘(𝑥 − 1)))
5350, 52ifbieq2d 3464 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑥 → if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))) = if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))))
54 fveq2 5387 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑥 → (𝐽𝑢) = (𝐽𝑥))
5549, 53, 54ifbieq12d 3466 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑥 → if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)) = if(𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽𝑥)))
56 iseqf1olemqf.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
5755, 56fvmptg 5463 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ if(𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽𝑥)) ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑄𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽𝑥)))
5826, 48, 57syl2anc 406 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑄𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑥 − 1))), (𝐽𝑥)))
5958, 46eqtrd 2148 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)) → (𝑄𝑥) = 𝑥)
6059ralrimiva 2480 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝑄𝑥) = 𝑥)
613, 32, 3, 56iseqf1olemqval 10200 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝐾) = if(𝐾 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽𝐾)))
62 elfzelz 9746 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
633, 62syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
64 elfzuz2 9749 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
653, 64syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6665, 3, 32, 44iseqf1olemkle 10197 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
67 eluz2 9281 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ (𝐽𝐾)))
6863, 38, 66, 67syl3anbrc 1148 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾))
69 eluzfz1 9751 . . . . . . . 8 ((𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
7068, 69syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
7170iftrued 3449 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐾 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽𝐾)) = if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))))
72 eqid 2115 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
7372iftruei 3448 . . . . . 6 if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))) = 𝐾
7471, 73syl6eq 2164 . . . . 5 (𝜑 → if(𝐾 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽𝐾)) = 𝐾)
7561, 74eqtrd 2148 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐾) = 𝐾)
76 fveq2 5387 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → (𝑄𝑥) = (𝑄𝐾))
77 id 19 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾𝑥 = 𝐾)
7876, 77eqeq12d 2130 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑄𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑄𝐾) = 𝐾))
7978ralsng 3532 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑄𝐾) = 𝐾))
803, 62, 793syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑄𝐾) = 𝐾))
8175, 80mpbird 166 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄𝑥) = 𝑥)
82 ralun 3226 . . 3 ((∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝑄𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐾} (𝑄𝑥) = 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾})(𝑄𝑥) = 𝑥)
8360, 81, 82syl2anc 406 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾})(𝑄𝑥) = 𝑥)
84 elfzuz 9742 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
85 fzisfzounsn 9953 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾}))
863, 84, 853syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝐾) = ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾}))
8786raleqdv 2607 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)(𝑄𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑀..^𝐾) ∪ {𝐾})(𝑄𝑥) = 𝑥))
8883, 87mpbird 166 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)(𝑄𝑥) = 𝑥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2391  cun 3037  ifcif 3442  {csn 3495   class class class wbr 3897  cmpt 3957  ccnv 4506  wf 5087  1-1-ontowf1o 5090  cfv 5091  (class class class)co 5740  cr 7583  1c1 7585   < clt 7764  cle 7765  cmin 7897  cz 9005  cuz 9275  ...cfz 9730  ..^cfzo 9859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731  df-fzo 9860
This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  10214
  Copyright terms: Public domain W3C validator