ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemp1 GIF version

Theorem ennnfonelemp1 11946
Description: Lemma for ennnfone 11965. Value of 𝐻 at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemp1.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemp1 (𝜑 → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)), (𝐻𝑃), ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑗,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝑃(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemp1
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemp1.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 9380 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
31, 2eleqtrdi 2233 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘0))
4 ennnfonelemh.dceq . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
5 ennnfonelemh.f . . . . 5 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
6 ennnfonelemh.ne . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
7 ennnfonelemh.g . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
8 ennnfonelemh.n . . . . 5 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
9 ennnfonelemh.j . . . . 5 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
10 ennnfonelemh.h . . . . 5 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10ennnfonelemj0 11941 . . . 4 (𝜑 → (𝐽‘0) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10ennnfonelemg 11943 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω} ∧ 𝑗 ∈ ω)) → (𝑓𝐺𝑗) ∈ {𝑔 ∈ (𝐴pm ω) ∣ dom 𝑔 ∈ ω})
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10ennnfonelemjn 11942 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (𝐽𝑓) ∈ ω)
143, 11, 12, 13seqp1cd 10266 . . 3 (𝜑 → (seq0(𝐺, 𝐽)‘(𝑃 + 1)) = ((seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃)𝐺(𝐽‘(𝑃 + 1))))
1510fveq1i 5426 . . . 4 (𝐻‘(𝑃 + 1)) = (seq0(𝐺, 𝐽)‘(𝑃 + 1))
1615a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = (seq0(𝐺, 𝐽)‘(𝑃 + 1)))
1710fveq1i 5426 . . . . 5 (𝐻𝑃) = (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃)
1817a1i 9 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝑃) = (seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃))
19 eqeq1 2147 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑃 + 1) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑃 + 1) = 0))
20 fvoveq1 5801 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑃 + 1) → (𝑁‘(𝑥 − 1)) = (𝑁‘((𝑃 + 1) − 1)))
2119, 20ifbieq2d 3497 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑃 + 1) → if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))) = if((𝑃 + 1) = 0, ∅, (𝑁‘((𝑃 + 1) − 1))))
22 peano2nn0 9037 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃 + 1) ∈ ℕ0)
231, 22syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ ℕ0)
24 nn0p1gt0 9026 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑃 + 1))
2524gt0ne0d 8294 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃 + 1) ≠ 0)
2625neneqd 2330 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ0 → ¬ (𝑃 + 1) = 0)
2726iffalsed 3485 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ0 → if((𝑃 + 1) = 0, ∅, (𝑁‘((𝑃 + 1) − 1))) = (𝑁‘((𝑃 + 1) − 1)))
28 nn0cn 9007 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℂ)
29 1cnd 7802 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3028, 29pncand 8094 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ0 → ((𝑃 + 1) − 1) = 𝑃)
3130fveq2d 5429 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁‘((𝑃 + 1) − 1)) = (𝑁𝑃))
3227, 31eqtrd 2173 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ0 → if((𝑃 + 1) = 0, ∅, (𝑁‘((𝑃 + 1) − 1))) = (𝑁𝑃))
338frechashgf1o 10228 . . . . . . . . . . 11 𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0
34 f1ocnv 5384 . . . . . . . . . . 11 (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0𝑁:ℕ01-1-onto→ω)
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑁:ℕ01-1-onto→ω
36 f1of 5371 . . . . . . . . . 10 (𝑁:ℕ01-1-onto→ω → 𝑁:ℕ0⟶ω)
3735, 36mp1i 10 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ0𝑁:ℕ0⟶ω)
38 id 19 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0)
3937, 38ffvelrnd 5560 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁𝑃) ∈ ω)
4032, 39eqeltrd 2217 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ0 → if((𝑃 + 1) = 0, ∅, (𝑁‘((𝑃 + 1) − 1))) ∈ ω)
411, 40syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑃 + 1) = 0, ∅, (𝑁‘((𝑃 + 1) − 1))) ∈ ω)
429, 21, 23, 41fvmptd3 5518 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽‘(𝑃 + 1)) = if((𝑃 + 1) = 0, ∅, (𝑁‘((𝑃 + 1) − 1))))
431, 32syl 14 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑃 + 1) = 0, ∅, (𝑁‘((𝑃 + 1) − 1))) = (𝑁𝑃))
4442, 43eqtr2d 2174 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑃) = (𝐽‘(𝑃 + 1)))
4518, 44oveq12d 5796 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝑃)𝐺(𝑁𝑃)) = ((seq0(𝐺, 𝐽)‘𝑃)𝐺(𝐽‘(𝑃 + 1))))
4614, 16, 453eqtr4d 2183 . 2 (𝜑 → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = ((𝐻𝑃)𝐺(𝑁𝑃)))
474, 5, 6, 7, 8, 9, 10ennnfonelemh 11944 . . . 4 (𝜑𝐻:ℕ0⟶(𝐴pm ω))
4847, 1ffvelrnd 5560 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑃) ∈ (𝐴pm ω))
491, 39syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑃) ∈ ω)
5048elexd 2700 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝑃) ∈ V)
51 dmexg 4807 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑃) ∈ V → dom (𝐻𝑃) ∈ V)
5250, 51syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝐻𝑃) ∈ V)
53 fof 5349 . . . . . . . . 9 (𝐹:ω–onto𝐴𝐹:ω⟶𝐴)
545, 53syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ω⟶𝐴)
5554, 49ffvelrnd 5560 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ 𝐴)
56 opexg 4154 . . . . . . 7 ((dom (𝐻𝑃) ∈ V ∧ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ 𝐴) → ⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩ ∈ V)
5752, 55, 56syl2anc 409 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩ ∈ V)
58 snexg 4112 . . . . . 6 (⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩ ∈ V → {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩} ∈ V)
5957, 58syl 14 . . . . 5 (𝜑 → {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩} ∈ V)
60 unexg 4368 . . . . 5 (((𝐻𝑃) ∈ V ∧ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩} ∈ V) → ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩}) ∈ V)
6150, 59, 60syl2anc 409 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩}) ∈ V)
624, 5, 49ennnfonelemdc 11939 . . . 4 (𝜑DECID (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)))
6350, 61, 62ifcldcd 3508 . . 3 (𝜑 → if((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)), (𝐻𝑃), ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})) ∈ V)
64 id 19 . . . . 5 (𝑥 = (𝐻𝑃) → 𝑥 = (𝐻𝑃))
65 dmeq 4743 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐻𝑃) → dom 𝑥 = dom (𝐻𝑃))
6665opeq1d 3715 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐻𝑃) → ⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩ = ⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹𝑦)⟩)
6766sneqd 3541 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐻𝑃) → {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩} = {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹𝑦)⟩})
6864, 67uneq12d 3232 . . . . 5 (𝑥 = (𝐻𝑃) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩}) = ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹𝑦)⟩}))
6964, 68ifeq12d 3492 . . . 4 (𝑥 = (𝐻𝑃) → if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})) = if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), (𝐻𝑃), ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹𝑦)⟩})))
70 fveq2 5425 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑁𝑃) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑁𝑃)))
71 imaeq2 4881 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑁𝑃) → (𝐹𝑦) = (𝐹 “ (𝑁𝑃)))
7270, 71eleq12d 2211 . . . . 5 (𝑦 = (𝑁𝑃) → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃))))
7370opeq2d 3716 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑁𝑃) → ⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹𝑦)⟩ = ⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩)
7473sneqd 3541 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑁𝑃) → {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹𝑦)⟩} = {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})
7574uneq2d 3231 . . . . 5 (𝑦 = (𝑁𝑃) → ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹𝑦)⟩}) = ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩}))
7672, 75ifbieq2d 3497 . . . 4 (𝑦 = (𝑁𝑃) → if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), (𝐻𝑃), ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹𝑦)⟩})) = if((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)), (𝐻𝑃), ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})))
7769, 76, 7ovmpog 5909 . . 3 (((𝐻𝑃) ∈ (𝐴pm ω) ∧ (𝑁𝑃) ∈ ω ∧ if((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)), (𝐻𝑃), ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})) ∈ V) → ((𝐻𝑃)𝐺(𝑁𝑃)) = if((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)), (𝐻𝑃), ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})))
7848, 49, 63, 77syl3anc 1217 . 2 (𝜑 → ((𝐻𝑃)𝐺(𝑁𝑃)) = if((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)), (𝐻𝑃), ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})))
7946, 78eqtrd 2173 1 (𝜑 → (𝐻‘(𝑃 + 1)) = if((𝐹‘(𝑁𝑃)) ∈ (𝐹 “ (𝑁𝑃)), (𝐻𝑃), ((𝐻𝑃) ∪ {⟨dom (𝐻𝑃), (𝐹‘(𝑁𝑃))⟩})))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  DECID wdc 820   = wceq 1332  wcel 1481  wne 2309  wral 2417  wrex 2418  {crab 2421  Vcvv 2687  cun 3070  c0 3364  ifcif 3475  {csn 3528  cop 3531  cmpt 3993  suc csuc 4291  ωcom 4508  ccnv 4542  dom cdm 4543  cima 4546  wf 5123  ontowfo 5125  1-1-ontowf1o 5126  cfv 5127  (class class class)co 5778  cmpo 5780  freccfrec 6291  pm cpm 6547  0cc0 7640  1c1 7641   + caddc 7643  cmin 7953  0cn0 8997  cz 9074  cuz 9346  seqcseq 10245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-addcom 7740  ax-addass 7742  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-ltadd 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-if 3476  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-id 4219  df-iord 4292  df-on 4294  df-ilim 4295  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6206  df-frec 6292  df-pm 6549  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-inn 8741  df-n0 8998  df-z 9075  df-uz 9347  df-seqfrec 10246
This theorem is referenced by:  ennnfonelem1  11947  ennnfonelemhdmp1  11949  ennnfonelemss  11950  ennnfonelemkh  11952  ennnfonelemhf1o  11953
  Copyright terms: Public domain W3C validator