ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemqval GIF version

Theorem iseqf1olemqval 9916
Description: Lemma for seq3f1o 9933. Value of the function 𝑄. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqcl.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqval.q 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemqval (𝜑 → (𝑄𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemqval
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemqcl.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
2 iseqf1olemqcl.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3 iseqf1olemqcl.j . . 3 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
42, 3, 1iseqf1olemqcl 9915 . 2 (𝜑 → if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)) ∈ (𝑀...𝑁))
5 eleq1 2150 . . . 4 (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) ↔ 𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))))
6 eqeq1 2094 . . . . 5 (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 = 𝐾𝐴 = 𝐾))
7 oveq1 5659 . . . . . 6 (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 − 1) = (𝐴 − 1))
87fveq2d 5309 . . . . 5 (𝑢 = 𝐴 → (𝐽‘(𝑢 − 1)) = (𝐽‘(𝐴 − 1)))
96, 8ifbieq2d 3415 . . . 4 (𝑢 = 𝐴 → if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
10 fveq2 5305 . . . 4 (𝑢 = 𝐴 → (𝐽𝑢) = (𝐽𝐴))
115, 9, 10ifbieq12d 3417 . . 3 (𝑢 = 𝐴 → if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)))
12 iseqf1olemqval.q . . 3 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
1311, 12fvmptg 5380 . 2 ((𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑄𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)))
141, 4, 13syl2anc 403 1 (𝜑 → (𝑄𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1289  wcel 1438  ifcif 3393  cmpt 3899  ccnv 4437  1-1-ontowf1o 5014  cfv 5015  (class class class)co 5652  1c1 7351  cmin 7653  ...cfz 9424
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425
This theorem is referenced by:  iseqf1olemnab  9917  iseqf1olemab  9918  iseqf1olemnanb  9919  iseqf1olemqk  9923  seq3f1olemqsumkj  9927  seq3f1olemqsumk  9928
  Copyright terms: Public domain W3C validator