Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemqval GIF version

Theorem iseqf1olemqval 10253
 Description: Lemma for seq3f1o 10270. Value of the function 𝑄. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqcl.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqval.q 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemqval (𝜑 → (𝑄𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemqval
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemqcl.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
2 iseqf1olemqcl.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3 iseqf1olemqcl.j . . 3 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
42, 3, 1iseqf1olemqcl 10252 . 2 (𝜑 → if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)) ∈ (𝑀...𝑁))
5 eleq1 2200 . . . 4 (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) ↔ 𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))))
6 eqeq1 2144 . . . . 5 (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 = 𝐾𝐴 = 𝐾))
7 oveq1 5774 . . . . . 6 (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 − 1) = (𝐴 − 1))
87fveq2d 5418 . . . . 5 (𝑢 = 𝐴 → (𝐽‘(𝑢 − 1)) = (𝐽‘(𝐴 − 1)))
96, 8ifbieq2d 3491 . . . 4 (𝑢 = 𝐴 → if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
10 fveq2 5414 . . . 4 (𝑢 = 𝐴 → (𝐽𝑢) = (𝐽𝐴))
115, 9, 10ifbieq12d 3493 . . 3 (𝑢 = 𝐴 → if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)))
12 iseqf1olemqval.q . . 3 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
1311, 12fvmptg 5490 . 2 ((𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑄𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)))
141, 4, 13syl2anc 408 1 (𝜑 → (𝑄𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ifcif 3469   ↦ cmpt 3984  ◡ccnv 4533  –1-1-onto→wf1o 5117  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  1c1 7614   − cmin 7926  ...cfz 9783 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784 This theorem is referenced by:  iseqf1olemnab  10254  iseqf1olemab  10255  iseqf1olemnanb  10256  iseqf1olemqk  10260  seq3f1olemqsumkj  10264  seq3f1olemqsumk  10265
 Copyright terms: Public domain W3C validator