Theorem iseqf1olemqval 10920

Description: Lemma for seq3f1o 10937. Value of the function 𝑄. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqval.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqval	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemqval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemqcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
2		iseqf1olemqcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3		iseqf1olemqcl.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4	2, 3, 1	iseqf1olemqcl 10919	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)) ∈ (𝑀...𝑁))
5		eleq1 2301	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
6		eqeq1 2245	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 = 𝐾 ↔ 𝐴 = 𝐾))
7		oveq1 6086	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 − 1) = (𝐴 − 1))
8	7	fveq2d 5697	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝐽‘(𝑢 − 1)) = (𝐽‘(𝐴 − 1)))
9	6, 8	ifbieq2d 3665	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
10		fveq2 5693	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝐽‘𝑢) = (𝐽‘𝐴))
11	5, 9, 10	ifbieq12d 3667	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
12		iseqf1olemqval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
13	11, 12	fvmptg 5778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
14	1, 4, 13	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ifcif 3638   ↦ cmpt 4190  ^◡ccnv 4771  –1-1-onto→wf1o 5374  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  1c1 8174   − cmin 8491  ...cfz 10394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395

This theorem is used by:  iseqf1olemnab  10921  iseqf1olemab  10922  iseqf1olemnanb  10923  iseqf1olemqk  10927  seq3f1olemqsumkj  10931  seq3f1olemqsumk  10932