Theorem iseqf1olemqval 10734

Description: Lemma for seq3f1o 10751. Value of the function 𝑄. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqval.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqval	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemqval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemqcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
2		iseqf1olemqcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3		iseqf1olemqcl.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4	2, 3, 1	iseqf1olemqcl 10733	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)) ∈ (𝑀...𝑁))
5		eleq1 2292	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ 𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾))))
6		eqeq1 2236	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 = 𝐾 ↔ 𝐴 = 𝐾))
7		oveq1 6014	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 − 1) = (𝐴 − 1))
8	7	fveq2d 5633	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝐽‘(𝑢 − 1)) = (𝐽‘(𝐴 − 1)))
9	6, 8	ifbieq2d 3627	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))) = if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))))
10		fveq2 5629	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝐽‘𝑢) = (𝐽‘𝐴))
11	5, 9, 10	ifbieq12d 3629	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
12		iseqf1olemqval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
13	11, 12	fvmptg 5712	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))
14	1, 4, 13	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = if(𝐴 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ifcif 3602   ↦ cmpt 4145  ^◡ccnv 4718  –1-1-onto→wf1o 5317  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  1c1 8011   − cmin 8328  ...cfz 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217

This theorem is referenced by:  iseqf1olemnab  10735  iseqf1olemab  10736  iseqf1olemnanb  10737  iseqf1olemqk  10741  seq3f1olemqsumkj  10745  seq3f1olemqsumk  10746