Theorem inidm 3440

Description: Idempotent law for intersection of classes. Theorem 15 of [Suppes] p. 26. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
inidm	⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem inidm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anidm 400	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
2	1	ineqri 3424	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226

This theorem is used by:  inindi  3448  inindir  3449  uneqin  3482  ssdifeq0  3610  intsng  4004  xpindi  4917  xpindir  4918  resindm  5108  ofres  6321  offval2  6322  ofrfval2  6323  suppssof1  6324  ofco  6325  offveqb  6326  ofc1g  6328  ofc2g  6329  caofref  6331  caofrss  6338  caoftrn  6339  suppofss1dcl  6508  suppofss2dcl  6509  undifdc  7237  ofrfidc  7323  ofsubeq0  9300  ofnegsub  9301  ressbasid  13482  strressid  13483  ressinbasd  13486  grpressid  13924  lcomf  14772  crng2idl  14976  psrbaglesuppg  15170  psrbagaddclfi  15173  psrbagcon  15174  psrbaglefifi  15175  psrbagconf1o  15177  psrbagmaxlem1x  15181  psrbagmaxlem1y  15182  gsumbagdiaglem  15184  psraddcl  15193  psrlidmfi  15208  psrdifi  15211  psrdirfi  15212  mplsubgfilemcl  15232  baspartn  15293  epttop  15333  dvaddxxbr  15944  dvmulxxbr  15945  dvaddxx  15946  dvmulxx  15947  dviaddf  15948  dvimulf  15949  plyaddlem1  15990  plyaddlem  15992