Theorem inidm 3430

Description: Idempotent law for intersection of classes. Theorem 15 of [Suppes] p. 26. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
inidm	⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem inidm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anidm 396	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
2	1	ineqri 3414	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ∩ cin 3210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-in 3217

This theorem is referenced by:  inindi  3438  inindir  3439  uneqin  3472  ssdifeq0  3592  intsng  3983  xpindi  4890  xpindir  4891  resindm  5080  ofres  6281  offval2  6282  ofrfval2  6283  suppssof1  6284  ofco  6285  offveqb  6286  ofc1g  6288  ofc2g  6289  caofref  6291  caofrss  6298  caoftrn  6299  suppofss1dcl  6464  suppofss2dcl  6465  undifdc  7184  ofnegsub  9236  ressbasid  13283  strressid  13284  ressinbasd  13287  grpressid  13774  gsumfzmptfidmadd  14056  lcomf  14475  crng2idl  14679  psrbaglesuppg  14821  psrbagaddclfi  14825  psrbagcon  14826  psrbagconf1o  14828  psraddcl  14835  mplsubgfilemcl  14854  baspartn  14915  epttop  14955  dvaddxxbr  15566  dvmulxxbr  15567  dvaddxx  15568  dvmulxx  15569  dviaddf  15570  dvimulf  15571  plyaddlem1  15612  plyaddlem  15614