Theorem caofref 6107

Description: Transfer a reflexive law to the function relation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caofref.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
caofref.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
caofref.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥𝑅𝑥)

Assertion

Ref	Expression
caofref	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∘𝑟 𝑅𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem caofref

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → 𝑥 = (𝐹‘𝑤))
2	1, 1	breq12d 4018	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → (𝑥𝑅𝑥 ↔ (𝐹‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤)))
3		caofref.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥𝑅𝑥)
4	3	ralrimiva 2550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥𝑅𝑥)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥𝑅𝑥)
6		caofref.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
7	6	ffvelcdmda 5654	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝑆)
8	2, 5, 7	rspcdva 2848	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤))
9	8	ralrimiva 2550	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤))
10		ffn 5367	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑆 → 𝐹 Fn 𝐴)
11	6, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
12		caofref.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		inidm 3346	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
14		eqidd 2178	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
15	11, 11, 12, 12, 13, 14, 14	ofrfval 6094	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑟 𝑅𝐹 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤)))
16	9, 15	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∘𝑟 𝑅𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   class class class wbr 4005   Fn wfn 5213  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218   ∘_𝑟 cofr 6085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ofr 6087

This theorem is referenced by: (None)