ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvaddxxbr GIF version

Theorem dvaddxxbr 14204
Description: The sum rule for derivatives at a point. That is, if the derivative of 𝐹 at 𝐢 is 𝐾 and the derivative of 𝐺 at 𝐢 is 𝐿, then the derivative of the pointwise sum of those two functions at 𝐢 is 𝐾 + 𝐿. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvadd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvaddxx.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvaddbr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
dvadd.bf (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvadd.bg (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿)
dvaddcntop.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
Assertion
Ref Expression
dvaddxxbr (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))

Proof of Theorem dvaddxxbr
Dummy variables 𝑦 𝑧 π‘₯ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bg . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿)
2 eqid 2177 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt 𝑆) = (𝐽 β†Ύt 𝑆)
3 dvaddcntop.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
4 eqid 2177 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
5 dvaddbr.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6 dvaddxx.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
7 dvadd.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7eldvap 14190 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
91, 8mpbid 147 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
109simpld 112 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹))
11 dvadd.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
127, 5sstrd 3167 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
133cntoptopon 14071 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
14 resttopon 13710 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
1513, 5, 14sylancr 414 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
16 topontop 13553 . . . . . . . 8 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
1715, 16syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
18 toponuni 13554 . . . . . . . . 9 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
1915, 18syl 14 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
207, 19sseqtrd 3195 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
21 eqid 2177 . . . . . . . 8 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆)
2221ntrss2 13660 . . . . . . 7 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆)) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) βŠ† 𝑋)
2317, 20, 22syl2anc 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) βŠ† 𝑋)
24 dvadd.bf . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾)
25 eqid 2177 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
262, 3, 25, 5, 11, 7eldvap 14190 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
2724, 26mpbid 147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
2827simpld 112 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹))
2923, 28sseldd 3158 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
3011, 12, 29dvlemap 14188 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
316, 12, 29dvlemap 14188 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
32 ssidd 3178 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
33 txtopon 13801 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚)))
3413, 13, 33mp2an 426 . . . . 5 (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚))
3534toponrestid 13560 . . . 4 (𝐽 Γ—t 𝐽) = ((𝐽 Γ—t 𝐽) β†Ύt (β„‚ Γ— β„‚))
3627simprd 114 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
379simprd 114 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
383addcncntop 14091 . . . . 5 + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
395, 11, 7dvcl 14191 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
4024, 39mpdan 421 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
415, 6, 7dvcl 14191 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
421, 41mpdan 421 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
4340, 42opelxpd 4661 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
4434toponunii 13556 . . . . . 6 (β„‚ Γ— β„‚) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
4544cncnpi 13767 . . . . 5 (( + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ + ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, 𝐿⟩))
4638, 43, 45sylancr 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ + ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, 𝐿⟩))
4730, 31, 32, 32, 3, 35, 36, 37, 46limccnp2cntop 14185 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
48 elrabi 2892 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
4948adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
5011ffnd 5368 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
5150adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
526ffnd 5368 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑋)
5352adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐺 Fn 𝑋)
54 cnex 7937 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ ∈ V
55 ssexg 4144 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑋 ∈ V)
5612, 54, 55sylancl 413 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
5756adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝑋 ∈ V)
58 inidm 3346 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
59 eqidd 2178 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
60 eqidd 2178 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
6111adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
6261ffvelcdmda 5653 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
636adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
6463ffvelcdmda 5653 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
6562, 64addcld 7979 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
6651, 53, 57, 57, 58, 59, 60, 65ofvalg 6094 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
6749, 66mpdan 421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
68 eqidd 2178 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜πΆ) = (πΉβ€˜πΆ))
69 eqidd 2178 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (πΊβ€˜πΆ) = (πΊβ€˜πΆ))
7061ffvelcdmda 5653 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
7163ffvelcdmda 5653 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
7270, 71addcld 7979 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) + (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
7351, 53, 57, 57, 58, 68, 69, 72ofvalg 6094 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜πΆ) + (πΊβ€˜πΆ)))
7429, 73mpidan 423 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜πΆ) + (πΊβ€˜πΆ)))
7567, 74oveq12d 5895 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜πΆ)) = (((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) + (πΊβ€˜πΆ))))
76 ffvelcdm 5651 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
7711, 48, 76syl2an 289 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
7863, 49ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
7911, 29ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
8079adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
816, 29ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
8281adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
8377, 78, 80, 82addsub4d 8317 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) + (πΊβ€˜πΆ))) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) + ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
8475, 83eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜πΆ)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) + ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
8584oveq1d 5892 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) + ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
8661, 49ffvelcdmd 5654 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
8786, 80subcld 8270 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
8878, 82subcld 8270 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
89 ssrab2 3242 . . . . . . . . . 10 {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} βŠ† 𝑋
9089, 12sstrid 3168 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} βŠ† β„‚)
9190sselda 3157 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
9212, 29sseldd 3158 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9392adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9491, 93subcld 8270 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
95 breq1 4008 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑀 # 𝐢 ↔ 𝑧 # 𝐢))
9695elrab 2895 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝐢))
9796simprbi 275 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} β†’ 𝑧 # 𝐢)
9897adantl 277 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝑧 # 𝐢)
9991, 93, 98subap0d 8603 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) # 0)
10087, 88, 94, 99divdirapd 8788 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) + ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
10185, 100eqtrd 2210 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
102101mpteq2dva 4095 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))))
103102oveq1d 5892 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
10447, 103eleqtrrd 2257 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
105 eqid 2177 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
106 addcl 7938 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
107106adantl 277 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
108107, 11, 6, 56, 56, 58off 6097 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
1092, 3, 105, 5, 108, 7eldvap 14190 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺))(𝐾 + 𝐿) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
11010, 104, 109mpbir2and 944 1 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459  Vcvv 2739   βŠ† wss 3131  βŸ¨cop 3597  βˆͺ cuni 3811   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066   Γ— cxp 4626   ∘ ccom 4632   Fn wfn 5213  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   βˆ˜π‘“ cof 6083  β„‚cc 7811   + caddc 7816   βˆ’ cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631  abscabs 11008   β†Ύt crest 12693  MetOpencmopn 13484  Topctop 13536  TopOnctopon 13549  intcnt 13632   Cn ccn 13724   CnP ccnp 13725   Γ—t ctx 13791   limβ„‚ climc 14162   D cdv 14163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933  ax-addf 7935
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-of 6085  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-map 6652  df-pm 6653  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13486  df-xmet 13487  df-met 13488  df-bl 13489  df-mopn 13490  df-top 13537  df-topon 13550  df-bases 13582  df-ntr 13635  df-cn 13727  df-cnp 13728  df-tx 13792  df-limced 14164  df-dvap 14165
This theorem is referenced by:  dvaddxx  14206  dviaddf  14208
  Copyright terms: Public domain W3C validator