Theorem dvaddxxbr 14135

Description: The sum rule for derivatives at a point. That is, if the derivative of 𝐹 at 𝐶 is 𝐾 and the derivative of 𝐺 at 𝐶 is 𝐿, then the derivative of the pointwise sum of those two functions at 𝐶 is 𝐾 + 𝐿. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvaddxx.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddbr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvadd.bf	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvadd.bg	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
dvaddcntop.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Assertion

Ref	Expression
dvaddxxbr	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))

Proof of Theorem dvaddxxbr

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadd.bg	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
2		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆)
3		dvaddcntop.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
5		dvaddbr.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		dvaddxx.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
7		dvadd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	eldvap 14121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
9	1, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
10	9	simpld 112	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋))
11		dvadd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
12	7, 5	sstrd 3165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
13	3	cntoptopon 14002	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
14		resttopon 13641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15	13, 5, 14	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16		topontop 13484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top)
18		toponuni 13485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
19	15, 18	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
20	7, 19	sseqtrd 3193	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
21		eqid 2177	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)
22	21	ntrss2 13591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
23	17, 20, 22	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
24		dvadd.bf	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
25		eqid 2177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
26	2, 3, 25, 5, 11, 7	eldvap 14121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
27	24, 26	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
28	27	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋))
29	23, 28	sseldd 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
30	11, 12, 29	dvlemap 14119	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
31	6, 12, 29	dvlemap 14119	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
32		ssidd 3176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
33		txtopon 13732	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
34	13, 13, 33	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
35	34	toponrestid 13491	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
36	27	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
37	9	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
38	3	addcncntop 14022	. . . . 5 ⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
39	5, 11, 7	dvcl 14122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
40	24, 39	mpdan 421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
41	5, 6, 7	dvcl 14122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
42	1, 41	mpdan 421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
43	40, 42	opelxpd 4659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
44	34	toponunii 13487	. . . . . 6 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
45	44	cncnpi 13698	. . . . 5 ⊢ (( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
46	38, 43, 45	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
47	30, 31, 32, 32, 3, 35, 36, 37, 46	limccnp2cntop 14116	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))) limℂ 𝐶))
48		elrabi 2890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑧 ∈ 𝑋)
49	48	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ 𝑋)
50	11	ffnd 5366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐹 Fn 𝑋)
52	6	ffnd 5366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑋)
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐺 Fn 𝑋)
54		cnex 7934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
55		ssexg 4142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
56	12, 54, 55	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑋 ∈ V)
58		inidm 3344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
59		eqidd 2178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
60		eqidd 2178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
61	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
62	61	ffvelcdmda 5651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
63	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
64	63	ffvelcdmda 5651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
65	62, 64	addcld 7976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
66	51, 53, 57, 57, 58, 59, 60, 65	ofvalg 6091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)))
67	49, 66	mpdan 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)))
68		eqidd 2178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
69		eqidd 2178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))
70	61	ffvelcdmda 5651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
71	63	ffvelcdmda 5651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
72	70, 71	addcld 7976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝐶) + (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
73	51, 53, 57, 57, 58, 68, 69, 72	ofvalg 6091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) + (𝐺‘𝐶)))
74	29, 73	mpidan 423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) + (𝐺‘𝐶)))
75	67, 74	oveq12d 5892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) + (𝐺‘𝐶))))
76		ffvelcdm 5649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
77	11, 48, 76	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
78	63, 49	ffvelcdmd 5652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
79	11, 29	ffvelcdmd 5652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
80	79	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
81	6, 29	ffvelcdmd 5652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
82	81	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
83	77, 78, 80, 82	addsub4d 8314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) + (𝐺‘𝐶))) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) + ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
84	75, 83	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) + ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
85	84	oveq1d 5889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) + ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) / (𝑧 − 𝐶)))
86	61, 49	ffvelcdmd 5652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
87	86, 80	subcld 8267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
88	78, 82	subcld 8267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
89		ssrab2 3240	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋
90	89, 12	sstrid 3166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ⊆ ℂ)
91	90	sselda 3155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ ℂ)
92	12, 29	sseldd 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
93	92	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℂ)
94	91, 93	subcld 8267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑧 − 𝐶) ∈ ℂ)
95		breq1 4006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝐶 ↔ 𝑧 # 𝐶))
96	95	elrab 2893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝐶))
97	96	simprbi 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑧 # 𝐶)
98	97	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 # 𝐶)
99	91, 93, 98	subap0d 8600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑧 − 𝐶) # 0)
100	87, 88, 94, 99	divdirapd 8785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) + ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))))
101	85, 100	eqtrd 2210	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))))
102	101	mpteq2dva 4093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))))
103	102	oveq1d 5889	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))) limℂ 𝐶))
104	47, 103	eleqtrrd 2257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
105		eqid 2177	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
106		addcl 7935	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
107	106	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
108	107, 11, 6, 56, 56, 58	off 6094	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝑋⟶ℂ)
109	2, 3, 105, 5, 108, 7	eldvap 14121	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))(𝐾 + 𝐿) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
110	10, 104, 109	mpbir2and 944	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459  Vcvv 2737   ⊆ wss 3129  ⟨cop 3595  ∪ cuni 3809   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064   × cxp 4624   ∘ ccom 4630   Fn wfn 5211  ⟶wf 5212  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874   ∘_𝑓 cof 6080  ℂcc 7808   + caddc 7813   − cmin 8127   # cap 8537   / cdiv 8628  abscabs 11005   ↾_t crest 12687  MetOpencmopn 13415  Topctop 13467  TopOnctopon 13480  intcnt 13563   Cn ccn 13655   CnP ccnp 13656   ×_t ctx 13722   lim_ℂ climc 14093   D cdv 14094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-addf 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-of 6082  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-pm 6650  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13417  df-xmet 13418  df-met 13419  df-bl 13420  df-mopn 13421  df-top 13468  df-topon 13481  df-bases 13513  df-ntr 13566  df-cn 13658  df-cnp 13659  df-tx 13723  df-limced 14095  df-dvap 14096

This theorem is referenced by:  dvaddxx  14137  dviaddf  14139