Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvaddxxbr GIF version

 Description: The sum rule for derivatives at a point. That is, if the derivative of 𝐹 at 𝐶 is 𝐾 and the derivative of 𝐺 at 𝐶 is 𝐿, then the derivative of the pointwise sum of those two functions at 𝐶 is 𝐾 + 𝐿. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvaddcntop.j 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
Assertion
Ref Expression
dvaddxxbr (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bg . . . 4 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
2 eqid 2157 . . . . 5 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
3 dvaddcntop.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4 eqid 2157 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
5 dvaddbr.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 dvaddxx.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
7 dvadd.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7eldvap 13011 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
91, 8mpbid 146 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
109simpld 111 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋))
11 dvadd.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
127, 5sstrd 3138 . . . . 5 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
133cntoptopon 12892 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
14 resttopon 12531 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
1513, 5, 14sylancr 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16 topontop 12372 . . . . . . . 8 ((𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
1715, 16syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
18 toponuni 12373 . . . . . . . . 9 ((𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
1915, 18syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = (𝐽t 𝑆))
207, 19sseqtrd 3166 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 (𝐽t 𝑆))
21 eqid 2157 . . . . . . . 8 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
2221ntrss2 12481 . . . . . . 7 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆)) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
2317, 20, 22syl2anc 409 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
24 dvadd.bf . . . . . . . 8 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
25 eqid 2157 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)))
262, 3, 25, 5, 11, 7eldvap 13011 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
2724, 26mpbid 146 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
2827simpld 111 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋))
2923, 28sseldd 3129 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
3011, 12, 29dvlemap 13009 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
316, 12, 29dvlemap 13009 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
32 ssidd 3149 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
33 txtopon 12622 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
3413, 13, 33mp2an 423 . . . . 5 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
3534toponrestid 12379 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
3627simprd 113 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
379simprd 113 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
383addcncntop 12912 . . . . 5 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
395, 11, 7dvcl 13012 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
4024, 39mpdan 418 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
415, 6, 7dvcl 13012 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
421, 41mpdan 418 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
4340, 42opelxpd 4616 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
4434toponunii 12375 . . . . . 6 (ℂ × ℂ) = (𝐽 ×t 𝐽)
4544cncnpi 12588 . . . . 5 (( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
4638, 43, 45sylancr 411 . . . 4 (𝜑 → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
4730, 31, 32, 32, 3, 35, 36, 37, 46limccnp2cntop 13006 . . 3 (𝜑 → (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶))
48 elrabi 2865 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} → 𝑧𝑋)
4948adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑧𝑋)
5011ffnd 5317 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
5150adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐹 Fn 𝑋)
526ffnd 5317 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
5352adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐺 Fn 𝑋)
54 cnex 7839 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
55 ssexg 4103 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
5612, 54, 55sylancl 410 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ V)
5756adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑋 ∈ V)
58 inidm 3316 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑋) = 𝑋
59 eqidd 2158 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
60 eqidd 2158 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
6111adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
6261ffvelrnda 5599 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
636adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
6463ffvelrnda 5599 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
6562, 64addcld 7880 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
6651, 53, 57, 57, 58, 59, 60, 65ofvalg 6035 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)))
6749, 66mpdan 418 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)))
68 eqidd 2158 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶𝑋) → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶))
69 eqidd 2158 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶𝑋) → (𝐺𝐶) = (𝐺𝐶))
7061ffvelrnda 5599 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶𝑋) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
7163ffvelrnda 5599 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶𝑋) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
7270, 71addcld 7880 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶𝑋) → ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
7351, 53, 57, 57, 58, 68, 69, 72ofvalg 6035 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶𝑋) → ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶)))
7429, 73mpidan 420 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶)))
7567, 74oveq12d 5836 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶))))
76 ffvelrn 5597 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
7711, 48, 76syl2an 287 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
7863, 49ffvelrnd 5600 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
7911, 29ffvelrnd 5600 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
8079adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
816, 29ffvelrnd 5600 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
8281adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
8377, 78, 80, 82addsub4d 8216 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶))) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
8475, 83eqtrd 2190 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
8584oveq1d 5833 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
8661, 49ffvelrnd 5600 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
8786, 80subcld 8169 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
8878, 82subcld 8169 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
89 ssrab2 3213 . . . . . . . . . 10 {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋
9089, 12sstrid 3139 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ⊆ ℂ)
9190sselda 3128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ ℂ)
9212, 29sseldd 3129 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9392adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℂ)
9491, 93subcld 8169 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
95 breq1 3968 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝐶𝑧 # 𝐶))
9695elrab 2868 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↔ (𝑧𝑋𝑧 # 𝐶))
9796simprbi 273 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} → 𝑧 # 𝐶)
9897adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 # 𝐶)
9991, 93, 98subap0d 8502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝑧𝐶) # 0)
10087, 88, 94, 99divdirapd 8685 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
10185, 100eqtrd 2190 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
102101mpteq2dva 4054 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))))
103102oveq1d 5833 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶))
10447, 103eleqtrrd 2237 . 2 (𝜑 → (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
105 eqid 2157 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
106 addcl 7840 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
107106adantl 275 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
108107, 11, 6, 56, 56, 58off 6038 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺):𝑋⟶ℂ)
1092, 3, 105, 5, 108, 7eldvap 13011 . 2 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))(𝐾 + 𝐿) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
11010, 104, 109mpbir2and 929 1 (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  {crab 2439  Vcvv 2712   ⊆ wss 3102  ⟨cop 3563  ∪ cuni 3772   class class class wbr 3965   ↦ cmpt 4025   × cxp 4581   ∘ ccom 4587   Fn wfn 5162  ⟶wf 5163  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818   ∘𝑓 cof 6024  ℂcc 7713   + caddc 7718   − cmin 8029   # cap 8439   / cdiv 8528  abscabs 10879   ↾t crest 12311  MetOpencmopn 12345  Topctop 12355  TopOnctopon 12368  intcnt 12453   Cn ccn 12545   CnP ccnp 12546   ×t ctx 12612   limℂ climc 12983   D cdv 12984 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835  ax-addf 7837 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-of 6026  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-map 6588  df-pm 6589  df-sup 6920  df-inf 6921  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-xneg 9661  df-xadd 9662  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-rest 12313  df-topgen 12332  df-psmet 12347  df-xmet 12348  df-met 12349  df-bl 12350  df-mopn 12351  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-ntr 12456  df-cn 12548  df-cnp 12549  df-tx 12613  df-limced 12985  df-dvap 12986 This theorem is referenced by:  dvaddxx  13027  dviaddf  13029
 Copyright terms: Public domain W3C validator