Theorem lmodvscl 14502

Description: Closure of scalar product for a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvscl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvscl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvscl.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvscl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 171	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ 𝑊 ∈ LMod)
2		pm4.24 395	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 ↔ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾))
3		pm4.24 395	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
4		lmodvscl.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6		lmodvscl.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		lmodvscl.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		lmodvscl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
10		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
11		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lmodlema 14489	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑅(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑅(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (𝑅 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
13	12	simpld 112	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑅(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋))))
14	13	simp1d 1036	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
15	1, 2, 3, 14	syl3anb 1317	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13233  +_gcplusg 13311  ._rcmulr 13312  Scalarcsca 13314   ·_𝑠 cvsca 13315  1_rcur 14124  LModclmod 14484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1re 8226  ax-addrcl 8229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-ov 6055  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-sca 13327  df-vsca 13328  df-lmod 14486

This theorem is referenced by:  lmodscaf  14507  lmod0vs  14518  lmodvsmmulgdi  14520  lcomf  14524  lmodvneg1  14527  lmodvsneg  14528  lmodnegadd  14533  lmodsubvs  14540  lmodsubdi  14541  lmodsubdir  14542  lmodprop2d  14545  lss1  14559  lssvsubcl  14563  lssvscl  14572  lss1d  14580