Theorem elnn0 8567

Description: Nonnegative integers expressed in terms of naturals and zero. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem elnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8566	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2	1	eleq2i 2149	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℕ ∪ {0}))
3		elun 3125	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ ∪ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 ∈ {0}))
4		c0ex 7385	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
5	4	elsn2 3452	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0)
6	5	orbi2i 712	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 ∈ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
7	2, 3, 6	3bitri 204	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   ↔ wb 103   ∨ wo 662   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   ∪ cun 2982  {csn 3422  0cc0 7253  ℕcn 8316  ℕ₀cn0 8565

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-1cn 7341  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-mulcl 7346  ax-i2m1 7353

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-v 2614  df-un 2988  df-sn 3428  df-n0 8566

This theorem is referenced by:  0nn0  8580  nn0ge0  8590  nnnn0addcl  8595  nnm1nn0  8606  elnnnn0b  8609  elnn0z  8659  elznn0nn  8660  elznn0  8661  elznn  8662  nn0ind-raph  8759  nn0ledivnn  9133  expp1  9799  expnegap0  9800  expcllem  9803  facp1  9973  faclbnd  9984  faclbnd3  9986  bcn1  10001  ibcval5  10006  hashnncl  10039  fz1f1o  10572  nn0enne  10682  nn0o1gt2  10685  dfgcd2  10783  mulgcd  10785  eucalgf  10817  eucalginv  10818  prmdvdsexpr  10909  rpexp1i  10913  nn0gcdsq  10958