Theorem elnn0 9172

Description: Nonnegative integers expressed in terms of naturals and zero. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem elnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9171	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2	1	eleq2i 2244	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℕ ∪ {0}))
3		elun 3276	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ ∪ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 ∈ {0}))
4		c0ex 7946	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
5	4	elsn2 3626	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0)
6	5	orbi2i 762	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 ∈ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
7	2, 3, 6	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3127  {csn 3592  0cc0 7806  ℕcn 8913  ℕ₀cn0 9170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-1cn 7899  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-mulcl 7904  ax-i2m1 7911

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-un 3133  df-sn 3598  df-n0 9171

This theorem is referenced by:  0nn0  9185  nn0ge0  9195  nnnn0addcl  9200  nnm1nn0  9211  elnnnn0b  9214  elnn0z  9260  elznn0nn  9261  elznn0  9262  elznn  9263  nn0ind-raph  9364  nn0ledivnn  9761  expp1  10520  expnegap0  10521  expcllem  10524  nn0ltexp2  10681  facp1  10701  faclbnd  10712  faclbnd3  10714  bcn1  10729  bcval5  10734  hashnncl  10766  fz1f1o  11374  arisum  11497  arisum2  11498  fprodfac  11614  ef0lem  11659  nn0enne  11897  nn0o1gt2  11900  dfgcd2  12005  mulgcd  12007  eucalgf  12045  eucalginv  12046  prmdvdsexpr  12140  rpexp1i  12144  nn0gcdsq  12190  odzdvds  12235  pceq0  12311  fldivp1  12336  pockthg  12345  1arith  12355  mulgnn0p1  12922  mulgnn0subcl  12924  mulgneg  12929  mulgnn0z  12937  mulgnn0dir  12940  mulgnn0ass  12946  dvexp2  13958  lgsdir  14218  lgsabs1  14222  2sqlem7  14239