Theorem elnn0 9498

Description: Nonnegative integers expressed in terms of naturals and zero. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem elnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9497	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2	1	eleq2i 2299	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℕ ∪ {0}))
3		elun 3360	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ ∪ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 ∈ {0}))
4		c0ex 8268	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
5	4	elsn2 3723	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0)
6	5	orbi2i 770	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 ∈ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
7	2, 3, 6	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ∪ cun 3209  {csn 3689  0cc0 8127  ℕcn 9237  ℕ₀cn0 9496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-mulcl 8225  ax-i2m1 8232

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-sn 3695  df-n0 9497

This theorem is referenced by:  0nn0  9511  nn0ge0  9521  nnnn0addcl  9526  nnm1nn0  9537  elnnnn0b  9540  elnn0z  9590  elznn0nn  9591  elznn0  9592  elznn  9593  nn0ind-raph  9695  nn0ledivnn  10100  expp1  10908  expnegap0  10909  expcllem  10912  nn0ltexp2  11071  facp1  11092  faclbnd  11103  faclbnd3  11105  bcn1  11120  bcval5  11125  hashnncl  11158  fz1f1o  12060  arisum  12184  arisum2  12185  fprodfac  12301  ef0lem  12346  nn0enne  12588  nn0o1gt2  12591  dfgcd2  12710  mulgcd  12712  eucalgf  12752  eucalginv  12753  prmdvdsexpr  12847  rpexp1i  12851  nn0gcdsq  12897  odzdvds  12943  pceq0  13020  fldivp1  13046  pockthg  13055  1arith  13065  4sqlem17  13105  4sqlem19  13107  mulgnn0gsum  13845  mulgnn0p1  13850  mulgnn0subcl  13852  mulgneg  13857  mulgnn0z  13866  mulgnn0dir  13869  mulgnn0ass  13875  submmulg  13883  znf1o  14799  dvexp2  15577  dvply1  15630  lgsdir  15908  lgsabs1  15912  lgseisenlem1  15943  2sqlem7  15994  clwwlknnn  16407  gfsumval  16862