Theorem elnn0 9116

Description: Nonnegative integers expressed in terms of naturals and zero. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem elnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9115	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2	1	eleq2i 2233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℕ ∪ {0}))
3		elun 3263	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ ∪ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 ∈ {0}))
4		c0ex 7893	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
5	4	elsn2 3610	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0)
6	5	orbi2i 752	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 ∈ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
7	2, 3, 6	3bitri 205	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ∪ cun 3114  {csn 3576  0cc0 7753  ℕcn 8857  ℕ₀cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-1cn 7846  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-mulcl 7851  ax-i2m1 7858

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-n0 9115

This theorem is referenced by:  0nn0  9129  nn0ge0  9139  nnnn0addcl  9144  nnm1nn0  9155  elnnnn0b  9158  elnn0z  9204  elznn0nn  9205  elznn0  9206  elznn  9207  nn0ind-raph  9308  nn0ledivnn  9703  expp1  10462  expnegap0  10463  expcllem  10466  nn0ltexp2  10623  facp1  10643  faclbnd  10654  faclbnd3  10656  bcn1  10671  bcval5  10676  hashnncl  10709  fz1f1o  11316  arisum  11439  arisum2  11440  fprodfac  11556  ef0lem  11601  nn0enne  11839  nn0o1gt2  11842  dfgcd2  11947  mulgcd  11949  eucalgf  11987  eucalginv  11988  prmdvdsexpr  12082  rpexp1i  12086  nn0gcdsq  12132  odzdvds  12177  pceq0  12253  fldivp1  12278  pockthg  12287  1arith  12297  dvexp2  13316  lgsdir  13576  lgsabs1  13580  2sqlem7  13597