Theorem elnn0 9382

Description: Nonnegative integers expressed in terms of naturals and zero. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem elnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9381	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2	1	eleq2i 2296	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℕ ∪ {0}))
3		elun 3345	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ ∪ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 ∈ {0}))
4		c0ex 8151	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
5	4	elsn2 3700	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0)
6	5	orbi2i 767	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 ∈ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
7	2, 3, 6	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3195  {csn 3666  0cc0 8010  ℕcn 9121  ℕ₀cn0 9380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-1cn 8103  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-mulcl 8108  ax-i2m1 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-n0 9381

This theorem is referenced by:  0nn0  9395  nn0ge0  9405  nnnn0addcl  9410  nnm1nn0  9421  elnnnn0b  9424  elnn0z  9470  elznn0nn  9471  elznn0  9472  elznn  9473  nn0ind-raph  9575  nn0ledivnn  9975  expp1  10780  expnegap0  10781  expcllem  10784  nn0ltexp2  10943  facp1  10964  faclbnd  10975  faclbnd3  10977  bcn1  10992  bcval5  10997  hashnncl  11029  fz1f1o  11901  arisum  12024  arisum2  12025  fprodfac  12141  ef0lem  12186  nn0enne  12428  nn0o1gt2  12431  dfgcd2  12550  mulgcd  12552  eucalgf  12592  eucalginv  12593  prmdvdsexpr  12687  rpexp1i  12691  nn0gcdsq  12737  odzdvds  12783  pceq0  12860  fldivp1  12886  pockthg  12895  1arith  12905  4sqlem17  12945  4sqlem19  12947  mulgnn0gsum  13680  mulgnn0p1  13685  mulgnn0subcl  13687  mulgneg  13692  mulgnn0z  13701  mulgnn0dir  13704  mulgnn0ass  13710  submmulg  13718  znf1o  14630  dvexp2  15401  dvply1  15454  lgsdir  15729  lgsabs1  15733  lgseisenlem1  15764  2sqlem7  15815