Theorem elnn0 9394

Description: Nonnegative integers expressed in terms of naturals and zero. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem elnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9393	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2	1	eleq2i 2296	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℕ ∪ {0}))
3		elun 3346	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ ∪ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 ∈ {0}))
4		c0ex 8163	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
5	4	elsn2 3701	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0)
6	5	orbi2i 767	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 ∈ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
7	2, 3, 6	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3196  {csn 3667  0cc0 8022  ℕcn 9133  ℕ₀cn0 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-1cn 8115  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-mulcl 8120  ax-i2m1 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-un 3202  df-sn 3673  df-n0 9393

This theorem is referenced by:  0nn0  9407  nn0ge0  9417  nnnn0addcl  9422  nnm1nn0  9433  elnnnn0b  9436  elnn0z  9482  elznn0nn  9483  elznn0  9484  elznn  9485  nn0ind-raph  9587  nn0ledivnn  9992  expp1  10798  expnegap0  10799  expcllem  10802  nn0ltexp2  10961  facp1  10982  faclbnd  10993  faclbnd3  10995  bcn1  11010  bcval5  11015  hashnncl  11047  fz1f1o  11926  arisum  12049  arisum2  12050  fprodfac  12166  ef0lem  12211  nn0enne  12453  nn0o1gt2  12456  dfgcd2  12575  mulgcd  12577  eucalgf  12617  eucalginv  12618  prmdvdsexpr  12712  rpexp1i  12716  nn0gcdsq  12762  odzdvds  12808  pceq0  12885  fldivp1  12911  pockthg  12920  1arith  12930  4sqlem17  12970  4sqlem19  12972  mulgnn0gsum  13705  mulgnn0p1  13710  mulgnn0subcl  13712  mulgneg  13717  mulgnn0z  13726  mulgnn0dir  13729  mulgnn0ass  13735  submmulg  13743  znf1o  14655  dvexp2  15426  dvply1  15479  lgsdir  15754  lgsabs1  15758  lgseisenlem1  15789  2sqlem7  15840  clwwlknnn  16207