Theorem elz2 9262

Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elz2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑁

Proof of Theorem elz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 9206	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2		nn0p1nn 9153	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	2	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4		1nn 8868	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
6		recn 7886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		ax-1cn 7846	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		pncan 8104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	7, 8, 9	sylancl 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
11	10	eqcomd 2171	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
12		rspceov 5884	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
13	3, 5, 11, 12	syl3anc 1228	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
14	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
15	6	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
16		negsub 8146	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
17	8, 15, 16	sylancr 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
18		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
19		nnnn0addcl 9144	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
20	4, 18, 19	sylancr 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
21	17, 20	eqeltrrd 2244	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − 𝑁) ∈ ℕ)
22		nncan 8127	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
23	8, 15, 22	sylancr 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
24	23	eqcomd 2171	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁)))
25		rspceov 5884	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (1 − 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
26	14, 21, 24, 25	syl3anc 1228	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
27	13, 26	jaodan 787	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
28		nnre 8864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
29		nnre 8864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
30		resubcl 8162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
31	28, 29, 30	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
32		nnz 9210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
33		nnz 9210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
34		zletric 9235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 𝑦))
35	32, 33, 34	syl2anr 288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 𝑦))
36		nnnn0 9121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
37		nnnn0 9121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
38		nn0sub 9257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
39	36, 37, 38	syl2anr 288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
40		nn0sub 9257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ0))
41	37, 36, 40	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ0))
42		nncn 8865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
43		nncn 8865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
44		negsubdi2 8157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(𝑥 − 𝑦) = (𝑦 − 𝑥))
45	42, 43, 44	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥 − 𝑦) = (𝑦 − 𝑥))
46	45	eleq1d 2235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ0))
47	41, 46	bitr4d 190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
48	39, 47	orbi12d 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)))
49	35, 48	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
50	31, 49	jca 304	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)))
51		eleq1 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ))
52		eleq1 2229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
53		negeq 8091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → -𝑁 = -(𝑥 − 𝑦))
54	53	eleq1d 2235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
55	52, 54	orbi12d 783	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)))
56	51, 55	anbi12d 465	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))))
57	50, 56	syl5ibrcom 156	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))))
58	57	rexlimivv 2589	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
59	27, 58	impbii 125	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
60	1, 59	bitri 183	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2445   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  1c1 7754   + caddc 7756   ≤ cle 7934   − cmin 8069  -cneg 8070  ℕcn 8857  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  dfz2  9263