Theorem elz2 9550

Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elz2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑁

Proof of Theorem elz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 9493	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2		nn0p1nn 9440	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	2	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4		1nn 9153	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
6		recn 8164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		ax-1cn 8124	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		pncan 8384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
11	10	eqcomd 2237	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
12		rspceov 6060	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
13	3, 5, 11, 12	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
14	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
15	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
16		negsub 8426	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
17	8, 15, 16	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
18		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
19		nnnn0addcl 9431	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
20	4, 18, 19	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
21	17, 20	eqeltrrd 2309	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − 𝑁) ∈ ℕ)
22		nncan 8407	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
23	8, 15, 22	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
24	23	eqcomd 2237	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁)))
25		rspceov 6060	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (1 − 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
26	14, 21, 24, 25	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
27	13, 26	jaodan 804	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
28		nnre 9149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
29		nnre 9149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
30		resubcl 8442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
31	28, 29, 30	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
32		nnz 9497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
33		nnz 9497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
34		zletric 9522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 𝑦))
35	32, 33, 34	syl2anr 290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 𝑦))
36		nnnn0 9408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
37		nnnn0 9408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
38		nn0sub 9545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
39	36, 37, 38	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
40		nn0sub 9545	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ0))
41	37, 36, 40	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ0))
42		nncn 9150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
43		nncn 9150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
44		negsubdi2 8437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(𝑥 − 𝑦) = (𝑦 − 𝑥))
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥 − 𝑦) = (𝑦 − 𝑥))
46	45	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ0))
47	41, 46	bitr4d 191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
48	39, 47	orbi12d 800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)))
49	35, 48	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
50	31, 49	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)))
51		eleq1 2294	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ))
52		eleq1 2294	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
53		negeq 8371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → -𝑁 = -(𝑥 − 𝑦))
54	53	eleq1d 2300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
55	52, 54	orbi12d 800	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)))
56	51, 55	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))))
57	50, 56	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))))
58	57	rexlimivv 2656	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
59	27, 58	impbii 126	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
60	1, 59	bitri 184	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  ℝcr 8030  1c1 8032   + caddc 8034   ≤ cle 8214   − cmin 8349  -cneg 8350  ℕcn 9142  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by:  dfz2  9551