Theorem elz2 9414

Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elz2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑁

Proof of Theorem elz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 9358	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2		nn0p1nn 9305	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	2	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4		1nn 9018	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
6		recn 8029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		ax-1cn 7989	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		pncan 8249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
11	10	eqcomd 2202	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
12		rspceov 5968	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
13	3, 5, 11, 12	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
14	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
15	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
16		negsub 8291	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
17	8, 15, 16	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
18		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
19		nnnn0addcl 9296	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
20	4, 18, 19	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
21	17, 20	eqeltrrd 2274	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − 𝑁) ∈ ℕ)
22		nncan 8272	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
23	8, 15, 22	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
24	23	eqcomd 2202	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁)))
25		rspceov 5968	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (1 − 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
26	14, 21, 24, 25	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
27	13, 26	jaodan 798	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
28		nnre 9014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
29		nnre 9014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
30		resubcl 8307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
31	28, 29, 30	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
32		nnz 9362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
33		nnz 9362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
34		zletric 9387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 𝑦))
35	32, 33, 34	syl2anr 290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 𝑦))
36		nnnn0 9273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
37		nnnn0 9273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
38		nn0sub 9409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
39	36, 37, 38	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
40		nn0sub 9409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ0))
41	37, 36, 40	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ0))
42		nncn 9015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
43		nncn 9015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
44		negsubdi2 8302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(𝑥 − 𝑦) = (𝑦 − 𝑥))
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥 − 𝑦) = (𝑦 − 𝑥))
46	45	eleq1d 2265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ0))
47	41, 46	bitr4d 191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
48	39, 47	orbi12d 794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)))
49	35, 48	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
50	31, 49	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)))
51		eleq1 2259	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ))
52		eleq1 2259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
53		negeq 8236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → -𝑁 = -(𝑥 − 𝑦))
54	53	eleq1d 2265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
55	52, 54	orbi12d 794	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)))
56	51, 55	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))))
57	50, 56	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))))
58	57	rexlimivv 2620	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
59	27, 58	impbii 126	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
60	1, 59	bitri 184	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  ℝcr 7895  1c1 7897   + caddc 7899   ≤ cle 8079   − cmin 8214  -cneg 8215  ℕcn 9007  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344

This theorem is referenced by:  dfz2  9415