Theorem frec2uzled 10429

Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 10399) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uzled.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uzled.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
frec2uzled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzled	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzled.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frec2uzled.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3		frec2uzled.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
4		frec2uzled.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)
5	1, 2, 3, 4	frec2uzlt2d 10404	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
6	1, 2	frec2uzf1od 10406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))
7		f1of1 5461	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) → 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶))
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶))
9		f1fveq 5773	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
10	8, 3, 4, 9	syl12anc 1236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
11	10	bicomd 141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵)))
12	5, 11	orbi12d 793	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))))
13		nnsseleq 6502	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
14	3, 4, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
15	1, 2, 3	frec2uzzd 10400	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
16	1, 2, 4	frec2uzzd 10400	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ)
17		zleloe 9300	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))))
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))))
19	12, 14, 18	3bitr4d 220	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3130   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065  ωcom 4590  –1-1→wf1 5214  –1-1-onto→wf1o 5216  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  freccfrec 6391  1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992   ≤ cle 7993  ℤcz 9253  ℤ_≥cuz 9528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529

This theorem is referenced by:  fihashdom  10783  ennnfonelemkh  12413  ctinfomlemom  12428