Theorem frec2uzled 10389

Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 10359) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uzled.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uzled.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
frec2uzled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzled	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzled.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frec2uzled.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3		frec2uzled.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
4		frec2uzled.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)
5	1, 2, 3, 4	frec2uzlt2d 10364	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
6	1, 2	frec2uzf1od 10366	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))
7		f1of1 5444	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) → 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶))
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶))
9		f1fveq 5755	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
10	8, 3, 4, 9	syl12anc 1232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
11	10	bicomd 140	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵)))
12	5, 11	orbi12d 789	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))))
13		nnsseleq 6484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
14	3, 4, 13	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
15	1, 2, 3	frec2uzzd 10360	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
16	1, 2, 4	frec2uzzd 10360	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ)
17		zleloe 9263	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))))
18	15, 16, 17	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))))
19	12, 14, 18	3bitr4d 219	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∨ wo 704   = wceq 1349   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3122   class class class wbr 3990   ↦ cmpt 4051  ωcom 4575  –1-1→wf1 5197  –1-1-onto→wf1o 5199  ‘cfv 5200  (class class class)co 5857  freccfrec 6373  1c1 7779   + caddc 7781   < clt 7958   ≤ cle 7959  ℤcz 9216  ℤ_≥cuz 9491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-addcom 7878  ax-addass 7880  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-ltadd 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-iord 4352  df-on 4354  df-ilim 4355  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-recs 6288  df-frec 6374  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-inn 8883  df-n0 9140  df-z 9217  df-uz 9492

This theorem is referenced by:  fihashdom  10742  ennnfonelemkh  12371  ctinfomlemom  12386