Theorem frec2uzled 10815

Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 10785) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uzled.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uzled.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
frec2uzled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzled	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzled.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frec2uzled.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3		frec2uzled.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
4		frec2uzled.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)
5	1, 2, 3, 4	frec2uzlt2d 10790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
6	1, 2	frec2uzf1od 10792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))
7		f1of1 5618	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) → 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶))
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶))
9		f1fveq 5951	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
10	8, 3, 4, 9	syl12anc 1272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
11	10	bicomd 141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵)))
12	5, 11	orbi12d 801	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))))
13		nnsseleq 6747	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
14	3, 4, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
15	1, 2, 3	frec2uzzd 10786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
16	1, 2, 4	frec2uzzd 10786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ)
17		zleloe 9641	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))))
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))))
19	12, 14, 18	3bitr4d 220	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176  ωcom 4717  –1-1→wf1 5354  –1-1-onto→wf1o 5356  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  freccfrec 6634  1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   ≤ cle 8325  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by:  fihashdom  11192  ennnfonelemkh  13247  ctinfomlemom  13262