Theorem frec2uzled 10681

Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 10651) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uzled.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uzled.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
frec2uzled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzled	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzled.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frec2uzled.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3		frec2uzled.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
4		frec2uzled.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)
5	1, 2, 3, 4	frec2uzlt2d 10656	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
6	1, 2	frec2uzf1od 10658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))
7		f1of1 5579	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) → 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶))
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶))
9		f1fveq 5908	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
10	8, 3, 4, 9	syl12anc 1269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
11	10	bicomd 141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵)))
12	5, 11	orbi12d 798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))))
13		nnsseleq 6664	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
14	3, 4, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
15	1, 2, 3	frec2uzzd 10652	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
16	1, 2, 4	frec2uzzd 10652	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ)
17		zleloe 9516	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))))
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))))
19	12, 14, 18	3bitr4d 220	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148  ωcom 4686  –1-1→wf1 5321  –1-1-onto→wf1o 5323  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  freccfrec 6551  1c1 8023   + caddc 8025   < clt 8204   ≤ cle 8205  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746

This theorem is referenced by:  fihashdom  11056  ennnfonelemkh  13023  ctinfomlemom  13038