Theorem frec2uzled 10364

Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 10334) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uzled.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uzled.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
frec2uzled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzled	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzled.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frec2uzled.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3		frec2uzled.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
4		frec2uzled.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ω)
5	1, 2, 3, 4	frec2uzlt2d 10339	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
6	1, 2	frec2uzf1od 10341	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))
7		f1of1 5431	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) → 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶))
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶))
9		f1fveq 5740	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
10	8, 3, 4, 9	syl12anc 1226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
11	10	bicomd 140	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵)))
12	5, 11	orbi12d 783	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))))
13		nnsseleq 6469	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
14	3, 4, 13	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
15	1, 2, 3	frec2uzzd 10335	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
16	1, 2, 4	frec2uzzd 10335	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ)
17		zleloe 9238	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))))
18	15, 16, 17	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))))
19	12, 14, 18	3bitr4d 219	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3116   class class class wbr 3982   ↦ cmpt 4043  ωcom 4567  –1-1→wf1 5185  –1-1-onto→wf1o 5187  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  freccfrec 6358  1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   ≤ cle 7934  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  fihashdom  10716  ennnfonelemkh  12345  ctinfomlemom  12360