ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzled GIF version

Theorem frec2uzled 10229
Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 10199) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uzled.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uzled.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzled.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
frec2uzled.b (𝜑𝐵 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzled (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzled
StepHypRef Expression
1 frec2uzled.1 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frec2uzled.2 . . . 4 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3 frec2uzled.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ω)
4 frec2uzled.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ω)
51, 2, 3, 4frec2uzlt2d 10204 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
61, 2frec2uzf1od 10206 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
7 f1of1 5370 . . . . . 6 (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) → 𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶))
86, 7syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶))
9 f1fveq 5677 . . . . 5 ((𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐺𝐴) = (𝐺𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
108, 3, 4, 9syl12anc 1215 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝐴) = (𝐺𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
1110bicomd 140 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵)))
125, 11orbi12d 783 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵))))
13 nnsseleq 6401 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
143, 4, 13syl2anc 409 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
151, 2, 3frec2uzzd 10200 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
161, 2, 4frec2uzzd 10200 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℤ)
17 zleloe 9121 . . 3 (((𝐺𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝐵) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵))))
1815, 16, 17syl2anc 409 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝐵) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵))))
1912, 14, 183bitr4d 219 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  wo 698   = wceq 1332  wcel 1481  wss 3072   class class class wbr 3933  cmpt 3993  ωcom 4508  1-1wf1 5124  1-1-ontowf1o 5126  cfv 5127  (class class class)co 5778  freccfrec 6291  1c1 7641   + caddc 7643   < clt 7820  cle 7821  cz 9074  cuz 9346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-addcom 7740  ax-addass 7742  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-ltadd 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-id 4219  df-iord 4292  df-on 4294  df-ilim 4295  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-recs 6206  df-frec 6292  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-inn 8741  df-n0 8998  df-z 9075  df-uz 9347
This theorem is referenced by:  fihashdom  10577  ennnfonelemkh  11952  ctinfomlemom  11967
  Copyright terms: Public domain W3C validator