ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzled GIF version

Theorem frec2uzled 10043
Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 10013) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uzled.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uzled.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzled.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
frec2uzled.b (𝜑𝐵 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzled (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzled
StepHypRef Expression
1 frec2uzled.1 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frec2uzled.2 . . . 4 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3 frec2uzled.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ω)
4 frec2uzled.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ω)
51, 2, 3, 4frec2uzlt2d 10018 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
61, 2frec2uzf1od 10020 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
7 f1of1 5300 . . . . . 6 (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) → 𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶))
86, 7syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶))
9 f1fveq 5605 . . . . 5 ((𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐺𝐴) = (𝐺𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
108, 3, 4, 9syl12anc 1182 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝐴) = (𝐺𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
1110bicomd 140 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵)))
125, 11orbi12d 748 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵))))
13 nnsseleq 6327 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
143, 4, 13syl2anc 406 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
151, 2, 3frec2uzzd 10014 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
161, 2, 4frec2uzzd 10014 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℤ)
17 zleloe 8953 . . 3 (((𝐺𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝐵) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵))))
1815, 16, 17syl2anc 406 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝐵) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵))))
1912, 14, 183bitr4d 219 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  wo 670   = wceq 1299  wcel 1448  wss 3021   class class class wbr 3875  cmpt 3929  ωcom 4442  1-1wf1 5056  1-1-ontowf1o 5058  cfv 5059  (class class class)co 5706  freccfrec 6217  1c1 7501   + caddc 7503   < clt 7672  cle 7673  cz 8906  cuz 9176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177
This theorem is referenced by:  fihashdom  10390  ennnfonelemkh  11717  ctinfomlemom  11732
  Copyright terms: Public domain W3C validator