Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  012of GIF version

Theorem 012of 13407
 Description: Mapping zero and one between ℕ0 and ω style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
012of.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
Assertion
Ref Expression
012of (𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o

Proof of Theorem 012of
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 012of.g . . . . . 6 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
21frechashgf1o 10261 . . . . 5 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
3 f1ocnv 5392 . . . . 5 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ℕ01-1-onto→ω)
4 f1of 5379 . . . . 5 (𝐺:ℕ01-1-onto→ω → 𝐺:ℕ0⟶ω)
52, 3, 4mp2b 8 . . . 4 𝐺:ℕ0⟶ω
6 0nn0 9045 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
7 1nn0 9046 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
8 prssi 3688 . . . . 5 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
96, 7, 8mp2an 423 . . . 4 {0, 1} ⊆ ℕ0
10 fssres 5310 . . . 4 ((𝐺:ℕ0⟶ω ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0) → (𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω)
115, 9, 10mp2an 423 . . 3 (𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω
12 ffn 5284 . . 3 ((𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω → (𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1})
1311, 12ax-mp 5 . 2 (𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1}
14 fvres 5457 . . . 4 (𝑗 ∈ {0, 1} → ((𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) = (𝐺𝑗))
15 elpri 3557 . . . . 5 (𝑗 ∈ {0, 1} → (𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1))
16 fveq2 5433 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐺𝑗) = (𝐺‘0))
17 0zd 9119 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 0 ∈ ℤ)
1817, 1frec2uz0d 10232 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
1918mptru 1341 . . . . . . . . 9 (𝐺‘∅) = 0
20 peano1 4519 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
21 f1ocnvfv 5692 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 0 → (𝐺‘0) = ∅))
222, 20, 21mp2an 423 . . . . . . . . 9 ((𝐺‘∅) = 0 → (𝐺‘0) = ∅)
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐺‘0) = ∅
24 0lt2o 6350 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 2o
2523, 24eqeltri 2214 . . . . . . 7 (𝐺‘0) ∈ 2o
2616, 25eqeltrdi 2232 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐺𝑗) ∈ 2o)
27 fveq2 5433 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (𝐺𝑗) = (𝐺‘1))
28 df-1o 6325 . . . . . . . . . . 11 1o = suc ∅
2928fveq2i 5436 . . . . . . . . . 10 (𝐺‘1o) = (𝐺‘suc ∅)
3020a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ∅ ∈ ω)
3117, 1, 30frec2uzsucd 10234 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
3231mptru 1341 . . . . . . . . . 10 (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
3319oveq1i 5796 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
34 0p1e1 8887 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
3533, 34eqtri 2162 . . . . . . . . . 10 ((𝐺‘∅) + 1) = 1
3629, 32, 353eqtri 2166 . . . . . . . . 9 (𝐺‘1o) = 1
37 1onn 6428 . . . . . . . . . 10 1o ∈ ω
38 f1ocnvfv 5692 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 1o ∈ ω) → ((𝐺‘1o) = 1 → (𝐺‘1) = 1o))
392, 37, 38mp2an 423 . . . . . . . . 9 ((𝐺‘1o) = 1 → (𝐺‘1) = 1o)
4036, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐺‘1) = 1o
41 1lt2o 6351 . . . . . . . 8 1o ∈ 2o
4240, 41eqeltri 2214 . . . . . . 7 (𝐺‘1) ∈ 2o
4327, 42eqeltrdi 2232 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝐺𝑗) ∈ 2o)
4426, 43jaoi 706 . . . . 5 ((𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1) → (𝐺𝑗) ∈ 2o)
4515, 44syl 14 . . . 4 (𝑗 ∈ {0, 1} → (𝐺𝑗) ∈ 2o)
4614, 45eqeltrd 2218 . . 3 (𝑗 ∈ {0, 1} → ((𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o)
4746rgen 2490 . 2 𝑗 ∈ {0, 1} ((𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o
48 ffnfv 5590 . 2 ((𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o ↔ ((𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1} ∧ ∀𝑗 ∈ {0, 1} ((𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o))
4913, 47, 48mpbir2an 927 1 (𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 698   = wceq 1332  ⊤wtru 1333   ∈ wcel 2112  ∀wral 2418   ⊆ wss 3078  ∅c0 3370  {cpr 3535   ↦ cmpt 3999  suc csuc 4298  ωcom 4515  ◡ccnv 4550   ↾ cres 4553   Fn wfn 5130  ⟶wf 5131  –1-1-onto→wf1o 5134  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786  freccfrec 6299  1oc1o 6318  2oc2o 6319  0cc0 7673  1c1 7674   + caddc 7676  ℕ0cn0 9030  ℤcz 9107 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-addcom 7773  ax-addass 7775  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-ltadd 7789 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-recs 6214  df-frec 6300  df-1o 6325  df-2o 6326  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-inn 8774  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380 This theorem is referenced by:  isomninnlem  13444  iswomninnlem  13463  ismkvnnlem  13466
 Copyright terms: Public domain W3C validator