Theorem 012of 16268

Description: Mapping zero and one between ℕ₀ and ω style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)

Assertion

Ref	Expression
012of	⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o

Proof of Theorem 012of

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2	1	frechashgf1o 10617	. . . . 5 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
3		f1ocnv 5561	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω)
4		f1of 5548	. . . . 5 ⊢ (◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝐺:ℕ0⟶ω)
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . 4 ⊢ ◡𝐺:ℕ0⟶ω
6		0nn0 9352	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		1nn0 9353	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		prssi 3805	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
9	6, 7, 8	mp2an 426	. . . 4 ⊢ {0, 1} ⊆ ℕ0
10		fssres 5477	. . . 4 ⊢ ((◡𝐺:ℕ0⟶ω ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0) → (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω)
11	5, 9, 10	mp2an 426	. . 3 ⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω
12		ffn 5449	. . 3 ⊢ ((◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω → (◡𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1})
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1}
14		fvres 5627	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) = (◡𝐺‘𝑗))
15		elpri 3669	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → (𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1))
16		fveq2 5603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (◡𝐺‘𝑗) = (◡𝐺‘0))
17		0zd 9426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
18	17, 1	frec2uz0d 10588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
19	18	mptru 1384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘∅) = 0
20		peano1 4663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ ω
21		f1ocnvfv 5876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅))
22	2, 20, 21	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅)
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐺‘0) = ∅
24		0lt2o 6557	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 2o
25	23, 24	eqeltri 2282	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐺‘0) ∈ 2o
26	16, 25	eqeltrdi 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
27		fveq2 5603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1 → (◡𝐺‘𝑗) = (◡𝐺‘1))
28		df-1o 6532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = suc ∅
29	28	fveq2i 5606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺‘1o) = (𝐺‘suc ∅)
30	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ ω)
31	17, 1, 30	frec2uzsucd 10590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
32	31	mptru 1384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
33	19	oveq1i 5984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
34		0p1e1 9192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
35	33, 34	eqtri 2230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = 1
36	29, 32, 35	3eqtri 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘1o) = 1
37		1onn 6636	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ ω
38		f1ocnvfv 5876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 1o ∈ ω) → ((𝐺‘1o) = 1 → (◡𝐺‘1) = 1o))
39	2, 37, 38	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘1o) = 1 → (◡𝐺‘1) = 1o)
40	36, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐺‘1) = 1o
41		1lt2o 6558	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ 2o
42	40, 41	eqeltri 2282	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐺‘1) ∈ 2o
43	27, 42	eqeltrdi 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
44	26, 43	jaoi 720	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1) → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
45	15, 44	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
46	14, 45	eqeltrd 2286	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o)
47	46	rgen 2563	. 2 ⊢ ∀𝑗 ∈ {0, 1} ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o
48		ffnfv 5766	. 2 ⊢ ((◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o ↔ ((◡𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1} ∧ ∀𝑗 ∈ {0, 1} ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o))
49	13, 47, 48	mpbir2an 947	1 ⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 712   = wceq 1375  ⊤wtru 1376   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488   ⊆ wss 3177  ∅c0 3471  {cpr 3647   ↦ cmpt 4124  suc csuc 4433  ωcom 4659  ^◡ccnv 4695   ↾ cres 4698   Fn wfn 5289  ⟶wf 5290  –1-1-onto→wf1o 5293  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  freccfrec 6506  1_oc1o 6525  2_oc2o 6526  0cc0 7967  1c1 7968   + caddc 7970  ℕ₀cn0 9337  ℤcz 9414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-recs 6421  df-frec 6507  df-1o 6532  df-2o 6533  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691

This theorem is referenced by:  isomninnlem  16309  iswomninnlem  16328  ismkvnnlem  16331