Theorem 012of 16386

Description: Mapping zero and one between ℕ₀ and ω style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)

Assertion

Ref	Expression
012of	⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o

Proof of Theorem 012of

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2	1	frechashgf1o 10658	. . . . 5 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
3		f1ocnv 5587	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω)
4		f1of 5574	. . . . 5 ⊢ (◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝐺:ℕ0⟶ω)
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . 4 ⊢ ◡𝐺:ℕ0⟶ω
6		0nn0 9392	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		1nn0 9393	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		prssi 3826	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
9	6, 7, 8	mp2an 426	. . . 4 ⊢ {0, 1} ⊆ ℕ0
10		fssres 5503	. . . 4 ⊢ ((◡𝐺:ℕ0⟶ω ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0) → (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω)
11	5, 9, 10	mp2an 426	. . 3 ⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω
12		ffn 5473	. . 3 ⊢ ((◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω → (◡𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1})
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1}
14		fvres 5653	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) = (◡𝐺‘𝑗))
15		elpri 3689	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → (𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1))
16		fveq2 5629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (◡𝐺‘𝑗) = (◡𝐺‘0))
17		0zd 9466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
18	17, 1	frec2uz0d 10629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
19	18	mptru 1404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘∅) = 0
20		peano1 4686	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ ω
21		f1ocnvfv 5909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅))
22	2, 20, 21	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅)
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐺‘0) = ∅
24		0lt2o 6595	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 2o
25	23, 24	eqeltri 2302	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐺‘0) ∈ 2o
26	16, 25	eqeltrdi 2320	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
27		fveq2 5629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1 → (◡𝐺‘𝑗) = (◡𝐺‘1))
28		df-1o 6568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = suc ∅
29	28	fveq2i 5632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺‘1o) = (𝐺‘suc ∅)
30	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ ω)
31	17, 1, 30	frec2uzsucd 10631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
32	31	mptru 1404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
33	19	oveq1i 6017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
34		0p1e1 9232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
35	33, 34	eqtri 2250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = 1
36	29, 32, 35	3eqtri 2254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘1o) = 1
37		1onn 6674	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ ω
38		f1ocnvfv 5909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 1o ∈ ω) → ((𝐺‘1o) = 1 → (◡𝐺‘1) = 1o))
39	2, 37, 38	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘1o) = 1 → (◡𝐺‘1) = 1o)
40	36, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐺‘1) = 1o
41		1lt2o 6596	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ 2o
42	40, 41	eqeltri 2302	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐺‘1) ∈ 2o
43	27, 42	eqeltrdi 2320	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
44	26, 43	jaoi 721	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1) → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
45	15, 44	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
46	14, 45	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o)
47	46	rgen 2583	. 2 ⊢ ∀𝑗 ∈ {0, 1} ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o
48		ffnfv 5795	. 2 ⊢ ((◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o ↔ ((◡𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1} ∧ ∀𝑗 ∈ {0, 1} ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o))
49	13, 47, 48	mpbir2an 948	1 ⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 713   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  {cpr 3667   ↦ cmpt 4145  suc csuc 4456  ωcom 4682  ^◡ccnv 4718   ↾ cres 4721   Fn wfn 5313  ⟶wf 5314  –1-1-onto→wf1o 5317  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  freccfrec 6542  1_oc1o 6561  2_oc2o 6562  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010  ℕ₀cn0 9377  ℤcz 9454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731

This theorem is referenced by:  isomninnlem  16428  iswomninnlem  16447  ismkvnnlem  16450