Theorem 012of 16906

Description: Mapping zero and one between ℕ₀ and ω style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)

Assertion

Ref	Expression
012of	⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o

Proof of Theorem 012of

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2	1	frechashgf1o 10817	. . . . 5 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
3		f1ocnv 5632	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω)
4		f1of 5619	. . . . 5 ⊢ (◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝐺:ℕ0⟶ω)
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . 4 ⊢ ◡𝐺:ℕ0⟶ω
6		0nn0 9531	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		1nn0 9532	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		prssi 3857	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
9	6, 7, 8	mp2an 426	. . . 4 ⊢ {0, 1} ⊆ ℕ0
10		fssres 5545	. . . 4 ⊢ ((◡𝐺:ℕ0⟶ω ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0) → (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω)
11	5, 9, 10	mp2an 426	. . 3 ⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω
12		ffn 5513	. . 3 ⊢ ((◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω → (◡𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1})
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1}
14		fvres 5699	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) = (◡𝐺‘𝑗))
15		elpri 3717	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → (𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1))
16		fveq2 5675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (◡𝐺‘𝑗) = (◡𝐺‘0))
17		0zd 9609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
18	17, 1	frec2uz0d 10788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
19	18	mptru 1407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘∅) = 0
20		peano1 4721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ ω
21		f1ocnvfv 5958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅))
22	2, 20, 21	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅)
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐺‘0) = ∅
24		0lt2o 6687	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 2o
25	23, 24	eqeltri 2307	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐺‘0) ∈ 2o
26	16, 25	eqeltrdi 2325	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
27		fveq2 5675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1 → (◡𝐺‘𝑗) = (◡𝐺‘1))
28		df-1o 6660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = suc ∅
29	28	fveq2i 5678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺‘1o) = (𝐺‘suc ∅)
30	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ ω)
31	17, 1, 30	frec2uzsucd 10790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
32	31	mptru 1407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
33	19	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
34		0p1e1 9371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
35	33, 34	eqtri 2255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = 1
36	29, 32, 35	3eqtri 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘1o) = 1
37		1onn 6766	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ ω
38		f1ocnvfv 5958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 1o ∈ ω) → ((𝐺‘1o) = 1 → (◡𝐺‘1) = 1o))
39	2, 37, 38	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘1o) = 1 → (◡𝐺‘1) = 1o)
40	36, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐺‘1) = 1o
41		1lt2o 6688	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ 2o
42	40, 41	eqeltri 2307	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐺‘1) ∈ 2o
43	27, 42	eqeltrdi 2325	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
44	26, 43	jaoi 724	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1) → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
45	15, 44	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
46	14, 45	eqeltrd 2311	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o)
47	46	rgen 2597	. 2 ⊢ ∀𝑗 ∈ {0, 1} ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o
48		ffnfv 5840	. 2 ⊢ ((◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o ↔ ((◡𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1} ∧ ∀𝑗 ∈ {0, 1} ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o))
49	13, 47, 48	mpbir2an 951	1 ⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 716   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  {cpr 3695   ↦ cmpt 4176  suc csuc 4491  ωcom 4717  ^◡ccnv 4753   ↾ cres 4756   Fn wfn 5352  ⟶wf 5353  –1-1-onto→wf1o 5356  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  freccfrec 6634  1_oc1o 6653  2_oc2o 6654  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146  ℕ₀cn0 9516  ℤcz 9597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-inn 9258  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875

This theorem is referenced by:  isomninnlem  16953  iswomninnlem  16973  ismkvnnlem  16976