Theorem 012of 13506

Description: Mapping zero and one between ℕ₀ and ω style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)

Assertion

Ref	Expression
012of	⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o

Proof of Theorem 012of

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2	1	frechashgf1o 10305	. . . . 5 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
3		f1ocnv 5420	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω)
4		f1of 5407	. . . . 5 ⊢ (◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝐺:ℕ0⟶ω)
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . 4 ⊢ ◡𝐺:ℕ0⟶ω
6		0nn0 9084	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		1nn0 9085	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		prssi 3710	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
9	6, 7, 8	mp2an 423	. . . 4 ⊢ {0, 1} ⊆ ℕ0
10		fssres 5338	. . . 4 ⊢ ((◡𝐺:ℕ0⟶ω ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0) → (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω)
11	5, 9, 10	mp2an 423	. . 3 ⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω
12		ffn 5312	. . 3 ⊢ ((◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω → (◡𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1})
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1}
14		fvres 5485	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) = (◡𝐺‘𝑗))
15		elpri 3579	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → (𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1))
16		fveq2 5461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (◡𝐺‘𝑗) = (◡𝐺‘0))
17		0zd 9158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
18	17, 1	frec2uz0d 10276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
19	18	mptru 1341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘∅) = 0
20		peano1 4547	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ ω
21		f1ocnvfv 5720	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅))
22	2, 20, 21	mp2an 423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅)
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐺‘0) = ∅
24		0lt2o 6378	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 2o
25	23, 24	eqeltri 2227	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐺‘0) ∈ 2o
26	16, 25	eqeltrdi 2245	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
27		fveq2 5461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1 → (◡𝐺‘𝑗) = (◡𝐺‘1))
28		df-1o 6353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = suc ∅
29	28	fveq2i 5464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺‘1o) = (𝐺‘suc ∅)
30	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ ω)
31	17, 1, 30	frec2uzsucd 10278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
32	31	mptru 1341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
33	19	oveq1i 5824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
34		0p1e1 8926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
35	33, 34	eqtri 2175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = 1
36	29, 32, 35	3eqtri 2179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘1o) = 1
37		1onn 6456	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ ω
38		f1ocnvfv 5720	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 1o ∈ ω) → ((𝐺‘1o) = 1 → (◡𝐺‘1) = 1o))
39	2, 37, 38	mp2an 423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘1o) = 1 → (◡𝐺‘1) = 1o)
40	36, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐺‘1) = 1o
41		1lt2o 6379	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ 2o
42	40, 41	eqeltri 2227	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐺‘1) ∈ 2o
43	27, 42	eqeltrdi 2245	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
44	26, 43	jaoi 706	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1) → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
45	15, 44	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
46	14, 45	eqeltrd 2231	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o)
47	46	rgen 2507	. 2 ⊢ ∀𝑗 ∈ {0, 1} ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o
48		ffnfv 5618	. 2 ⊢ ((◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o ↔ ((◡𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1} ∧ ∀𝑗 ∈ {0, 1} ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o))
49	13, 47, 48	mpbir2an 927	1 ⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 698   = wceq 1332  ⊤wtru 1333   ∈ wcel 2125  ∀wral 2432   ⊆ wss 3098  ∅c0 3390  {cpr 3557   ↦ cmpt 4021  suc csuc 4320  ωcom 4543  ^◡ccnv 4578   ↾ cres 4581   Fn wfn 5158  ⟶wf 5159  –1-1-onto→wf1o 5162  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  freccfrec 6327  1_oc1o 6346  2_oc2o 6347  0cc0 7711  1c1 7712   + caddc 7714  ℕ₀cn0 9069  ℤcz 9146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-ltadd 7827

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-recs 6242  df-frec 6328  df-1o 6353  df-2o 6354  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419

This theorem is referenced by:  isomninnlem  13542  iswomninnlem  13561  ismkvnnlem  13564