Theorem 012of 17240

Description: Mapping zero and one between ℕ₀ and ω style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)

Assertion

Ref	Expression
012of	⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o

Proof of Theorem 012of

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2	1	frechashgf1o 10887	. . . . 5 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
3		f1ocnv 5655	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω)
4		f1of 5642	. . . . 5 ⊢ (◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝐺:ℕ0⟶ω)
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . 4 ⊢ ◡𝐺:ℕ0⟶ω
6		0nn0 9590	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		1nn0 9591	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		prssi 3873	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
9	6, 7, 8	mp2an 430	. . . 4 ⊢ {0, 1} ⊆ ℕ0
10		fssres 5568	. . . 4 ⊢ ((◡𝐺:ℕ0⟶ω ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0) → (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω)
11	5, 9, 10	mp2an 430	. . 3 ⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω
12		ffn 5536	. . 3 ⊢ ((◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω → (◡𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1})
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1}
14		fvres 5722	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) = (◡𝐺‘𝑗))
15		elpri 3732	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → (𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1))
16		fveq2 5698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (◡𝐺‘𝑗) = (◡𝐺‘0))
17		0zd 9668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
18	17, 1	frec2uz0d 10858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
19	18	mptru 1411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘∅) = 0
20		peano1 4743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ ω
21		f1ocnvfv 5988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅))
22	2, 20, 21	mp2an 430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅)
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐺‘0) = ∅
24		0lt2o 6718	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 2o
25	23, 24	eqeltri 2311	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐺‘0) ∈ 2o
26	16, 25	eqeltrdi 2329	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
27		fveq2 5698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1 → (◡𝐺‘𝑗) = (◡𝐺‘1))
28		df-1o 6691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = suc ∅
29	28	fveq2i 5701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺‘1o) = (𝐺‘suc ∅)
30	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ ω)
31	17, 1, 30	frec2uzsucd 10860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
32	31	mptru 1411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
33	19	oveq1i 6098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
34		0p1e1 9428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
35	33, 34	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = 1
36	29, 32, 35	3eqtri 2263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘1o) = 1
37		1onn 6797	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ ω
38		f1ocnvfv 5988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 1o ∈ ω) → ((𝐺‘1o) = 1 → (◡𝐺‘1) = 1o))
39	2, 37, 38	mp2an 430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘1o) = 1 → (◡𝐺‘1) = 1o)
40	36, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐺‘1) = 1o
41		1lt2o 6719	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ 2o
42	40, 41	eqeltri 2311	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐺‘1) ∈ 2o
43	27, 42	eqeltrdi 2329	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
44	26, 43	jaoi 728	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1) → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
45	15, 44	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → (◡𝐺‘𝑗) ∈ 2o)
46	14, 45	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ {0, 1} → ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o)
47	46	rgen 2603	. 2 ⊢ ∀𝑗 ∈ {0, 1} ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o
48		ffnfv 5869	. 2 ⊢ ((◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o ↔ ((◡𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1} ∧ ∀𝑗 ∈ {0, 1} ((◡𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o))
49	13, 47, 48	mpbir2an 955	1 ⊢ (◡𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 720   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {cpr 3710   ↦ cmpt 4193  suc csuc 4512  ωcom 4739  ^◡ccnv 4775   ↾ cres 4778   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  –1-1-onto→wf1o 5379  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  freccfrec 6665  1_oc1o 6684  2_oc2o 6685  0cc0 8186  1c1 8187   + caddc 8189  ℕ₀cn0 9575  ℤcz 9656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939

This theorem is used by:  isomninnlem  17297  iswomninnlem  17318  ismkvnnlem  17321