Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  012of GIF version

Theorem 012of 14715
Description: Mapping zero and one between 0 and ω style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
012of.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
Assertion
Ref Expression
012of (𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o

Proof of Theorem 012of
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 012of.g . . . . . 6 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
21frechashgf1o 10427 . . . . 5 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
3 f1ocnv 5474 . . . . 5 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ℕ01-1-onto→ω)
4 f1of 5461 . . . . 5 (𝐺:ℕ01-1-onto→ω → 𝐺:ℕ0⟶ω)
52, 3, 4mp2b 8 . . . 4 𝐺:ℕ0⟶ω
6 0nn0 9190 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
7 1nn0 9191 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
8 prssi 3750 . . . . 5 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
96, 7, 8mp2an 426 . . . 4 {0, 1} ⊆ ℕ0
10 fssres 5391 . . . 4 ((𝐺:ℕ0⟶ω ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0) → (𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω)
115, 9, 10mp2an 426 . . 3 (𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω
12 ffn 5365 . . 3 ((𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶ω → (𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1})
1311, 12ax-mp 5 . 2 (𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1}
14 fvres 5539 . . . 4 (𝑗 ∈ {0, 1} → ((𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) = (𝐺𝑗))
15 elpri 3615 . . . . 5 (𝑗 ∈ {0, 1} → (𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1))
16 fveq2 5515 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐺𝑗) = (𝐺‘0))
17 0zd 9264 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 0 ∈ ℤ)
1817, 1frec2uz0d 10398 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
1918mptru 1362 . . . . . . . . 9 (𝐺‘∅) = 0
20 peano1 4593 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
21 f1ocnvfv 5779 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 0 → (𝐺‘0) = ∅))
222, 20, 21mp2an 426 . . . . . . . . 9 ((𝐺‘∅) = 0 → (𝐺‘0) = ∅)
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐺‘0) = ∅
24 0lt2o 6441 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 2o
2523, 24eqeltri 2250 . . . . . . 7 (𝐺‘0) ∈ 2o
2616, 25eqeltrdi 2268 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐺𝑗) ∈ 2o)
27 fveq2 5515 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (𝐺𝑗) = (𝐺‘1))
28 df-1o 6416 . . . . . . . . . . 11 1o = suc ∅
2928fveq2i 5518 . . . . . . . . . 10 (𝐺‘1o) = (𝐺‘suc ∅)
3020a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ∅ ∈ ω)
3117, 1, 30frec2uzsucd 10400 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
3231mptru 1362 . . . . . . . . . 10 (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
3319oveq1i 5884 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
34 0p1e1 9032 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
3533, 34eqtri 2198 . . . . . . . . . 10 ((𝐺‘∅) + 1) = 1
3629, 32, 353eqtri 2202 . . . . . . . . 9 (𝐺‘1o) = 1
37 1onn 6520 . . . . . . . . . 10 1o ∈ ω
38 f1ocnvfv 5779 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 1o ∈ ω) → ((𝐺‘1o) = 1 → (𝐺‘1) = 1o))
392, 37, 38mp2an 426 . . . . . . . . 9 ((𝐺‘1o) = 1 → (𝐺‘1) = 1o)
4036, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐺‘1) = 1o
41 1lt2o 6442 . . . . . . . 8 1o ∈ 2o
4240, 41eqeltri 2250 . . . . . . 7 (𝐺‘1) ∈ 2o
4327, 42eqeltrdi 2268 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝐺𝑗) ∈ 2o)
4426, 43jaoi 716 . . . . 5 ((𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1) → (𝐺𝑗) ∈ 2o)
4515, 44syl 14 . . . 4 (𝑗 ∈ {0, 1} → (𝐺𝑗) ∈ 2o)
4614, 45eqeltrd 2254 . . 3 (𝑗 ∈ {0, 1} → ((𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o)
4746rgen 2530 . 2 𝑗 ∈ {0, 1} ((𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o
48 ffnfv 5674 . 2 ((𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o ↔ ((𝐺 ↾ {0, 1}) Fn {0, 1} ∧ ∀𝑗 ∈ {0, 1} ((𝐺 ↾ {0, 1})‘𝑗) ∈ 2o))
4913, 47, 48mpbir2an 942 1 (𝐺 ↾ {0, 1}):{0, 1}⟶2o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 708   = wceq 1353  wtru 1354  wcel 2148  wral 2455  wss 3129  c0 3422  {cpr 3593  cmpt 4064  suc csuc 4365  ωcom 4589  ccnv 4625  cres 4628   Fn wfn 5211  wf 5212  1-1-ontowf1o 5215  cfv 5216  (class class class)co 5874  freccfrec 6390  1oc1o 6409  2oc2o 6410  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813  0cn0 9175  cz 9252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-recs 6305  df-frec 6391  df-1o 6416  df-2o 6417  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528
This theorem is referenced by:  isomninnlem  14748  iswomninnlem  14767  ismkvnnlem  14770
  Copyright terms: Public domain W3C validator