Theorem lmcn2 15274

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
txlm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
txlm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
txlm.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
txlm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
txlm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
txlm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝑌)
lmcn2.fl	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑅)
lmcn2.gl	⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘𝐾)𝑆)
lmcn2.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
lmcn2.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
lmcn2	⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘𝑁)(𝑅𝑂𝑆))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑂   𝜑,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐽   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem lmcn2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txlm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
2	1	ffvelcdmda 5817	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
3		txlm.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝑌)
4	3	ffvelcdmda 5817	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑛) ∈ 𝑌)
5	2, 4	opelxpd 4787	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
6		eqidd 2235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩))
7		txlm.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		txlm.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
9		txtopon 15256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
11		lmcn2.o	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
12		cntop2 15196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁) → 𝑁 ∈ Top)
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Top)
14		toptopon2 15013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Top ↔ 𝑁 ∈ (TopOn‘∪ 𝑁))
15	13, 14	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (TopOn‘∪ 𝑁))
16		cnf2 15199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝑁 ∈ (TopOn‘∪ 𝑁) ∧ 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁)) → 𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶∪ 𝑁)
17	10, 15, 11, 16	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶∪ 𝑁)
18	17	feqmptd 5735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (𝑂‘𝑥)))
19		fveq2 5675	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩ → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩))
20		df-ov 6061	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)) = (𝑂‘⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)
21	19, 20	eqtr4di 2285	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩ → (𝑂‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)))
22	5, 6, 18, 21	fmptco 5848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛))))
23		lmcn2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)))
24	22, 23	eqtr4di 2285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)) = 𝐻)
25		lmcn2.fl	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑅)
26		lmcn2.gl	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘𝐾)𝑆)
27		txlm.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
28		txlm.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)
30	27, 28, 7, 8, 1, 3, 29	txlm 15273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑅 ∧ 𝐺(⇝𝑡‘𝐾)𝑆) ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩))
31	25, 26, 30	mpbi2and 952	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩)
32	31, 11	lmcn 15245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩))(⇝𝑡‘𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
33	24, 32	eqbrtrrd 4138	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
34		df-ov 6061	. 2 ⊢ (𝑅𝑂𝑆) = (𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
35	33, 34	breqtrrdi 4156	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘𝑁)(𝑅𝑂𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ⟨cop 3697  ∪ cuni 3919   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176   × cxp 4752   ∘ ccom 4758  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℤcz 9597  ℤ_≥cuz 9874  Topctop 14991  TopOnctopon 15004   Cn ccn 15179  ⇝_𝑡clm 15181   ×_t ctx 15246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-pm 6898  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-inn 9258  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-topgen 13560  df-top 14992  df-topon 15005  df-bases 15037  df-cn 15182  df-cnp 15183  df-lm 15184  df-tx 15247

This theorem is referenced by: (None)