Theorem lmcn2 13865

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
txlm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
txlm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
txlm.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
txlm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
txlm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
txlm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝑌)
lmcn2.fl	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑅)
lmcn2.gl	⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘𝐾)𝑆)
lmcn2.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
lmcn2.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
lmcn2	⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘𝑁)(𝑅𝑂𝑆))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑂   𝜑,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐽   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem lmcn2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txlm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
2	1	ffvelcdmda 5653	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
3		txlm.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝑌)
4	3	ffvelcdmda 5653	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑛) ∈ 𝑌)
5	2, 4	opelxpd 4661	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
6		eqidd 2178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩))
7		txlm.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		txlm.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
9		txtopon 13847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
11		lmcn2.o	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
12		cntop2 13787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁) → 𝑁 ∈ Top)
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Top)
14		toptopon2 13604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Top ↔ 𝑁 ∈ (TopOn‘∪ 𝑁))
15	13, 14	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (TopOn‘∪ 𝑁))
16		cnf2 13790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝑁 ∈ (TopOn‘∪ 𝑁) ∧ 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁)) → 𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶∪ 𝑁)
17	10, 15, 11, 16	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶∪ 𝑁)
18	17	feqmptd 5571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (𝑂‘𝑥)))
19		fveq2 5517	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩ → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩))
20		df-ov 5880	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)) = (𝑂‘⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)
21	19, 20	eqtr4di 2228	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩ → (𝑂‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)))
22	5, 6, 18, 21	fmptco 5684	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛))))
23		lmcn2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)𝑂(𝐺‘𝑛)))
24	22, 23	eqtr4di 2228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)) = 𝐻)
25		lmcn2.fl	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑅)
26		lmcn2.gl	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘𝐾)𝑆)
27		txlm.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
28		txlm.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)
30	27, 28, 7, 8, 1, 3, 29	txlm 13864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑅 ∧ 𝐺(⇝𝑡‘𝐾)𝑆) ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩))
31	25, 26, 30	mpbi2and 943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩)
32	31, 11	lmcn 13836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ⟨(𝐹‘𝑛), (𝐺‘𝑛)⟩))(⇝𝑡‘𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
33	24, 32	eqbrtrrd 4029	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
34		df-ov 5880	. 2 ⊢ (𝑅𝑂𝑆) = (𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
35	33, 34	breqtrrdi 4047	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘𝑁)(𝑅𝑂𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ⟨cop 3597  ∪ cuni 3811   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066   × cxp 4626   ∘ ccom 4632  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530  Topctop 13582  TopOnctopon 13595   Cn ccn 13770  ⇝_𝑡clm 13772   ×_t ctx 13837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-pm 6653  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-topgen 12714  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-cn 13773  df-cnp 13774  df-lm 13775  df-tx 13838

This theorem is referenced by: (None)