Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmcn2 GIF version

Theorem lmcn2 12511
 Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txlm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
txlm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
txlm.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
txlm.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
txlm.f (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
txlm.g (𝜑𝐺:𝑍𝑌)
lmcn2.fl (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑅)
lmcn2.gl (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐾)𝑆)
lmcn2.o (𝜑𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
lmcn2.h 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)))
Assertion
Ref Expression
lmcn2 (𝜑𝐻(⇝𝑡𝑁)(𝑅𝑂𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑂   𝜑,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐽   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem lmcn2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txlm.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
21ffvelrnda 5565 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
3 txlm.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑍𝑌)
43ffvelrnda 5565 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ 𝑌)
52, 4opelxpd 4582 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
6 eqidd 2141 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩) = (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩))
7 txlm.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8 txlm.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
9 txtopon 12493 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
107, 8, 9syl2anc 409 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
11 lmcn2.o . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
12 cntop2 12433 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁) → 𝑁 ∈ Top)
1311, 12syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ Top)
14 toptopon2 12248 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Top ↔ 𝑁 ∈ (TopOn‘ 𝑁))
1513, 14sylib 121 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (TopOn‘ 𝑁))
16 cnf2 12436 . . . . . . 7 (((𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝑁 ∈ (TopOn‘ 𝑁) ∧ 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁)) → 𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶ 𝑁)
1710, 15, 11, 16syl3anc 1217 . . . . . 6 (𝜑𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶ 𝑁)
1817feqmptd 5484 . . . . 5 (𝜑𝑂 = (𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (𝑂𝑥)))
19 fveq2 5431 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ → (𝑂𝑥) = (𝑂‘⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩))
20 df-ov 5787 . . . . . 6 ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)) = (𝑂‘⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)
2119, 20eqtr4di 2191 . . . . 5 (𝑥 = ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ → (𝑂𝑥) = ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)))
225, 6, 18, 21fmptco 5596 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛))))
23 lmcn2.h . . . 4 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)))
2422, 23eqtr4di 2191 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)) = 𝐻)
25 lmcn2.fl . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑅)
26 lmcn2.gl . . . . 5 (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐾)𝑆)
27 txlm.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
28 txlm.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
29 eqid 2140 . . . . . 6 (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩) = (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)
3027, 28, 7, 8, 1, 3, 29txlm 12510 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑅𝐺(⇝𝑡𝐾)𝑆) ↔ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩))
3125, 26, 30mpbi2and 928 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩)
3231, 11lmcn 12482 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩))(⇝𝑡𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
3324, 32eqbrtrrd 3961 . 2 (𝜑𝐻(⇝𝑡𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
34 df-ov 5787 . 2 (𝑅𝑂𝑆) = (𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
3533, 34breqtrrdi 3979 1 (𝜑𝐻(⇝𝑡𝑁)(𝑅𝑂𝑆))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ⟨cop 3536  ∪ cuni 3745   class class class wbr 3938   ↦ cmpt 3998   × cxp 4547   ∘ ccom 4553  ⟶wf 5129  ‘cfv 5133  (class class class)co 5784  ℤcz 9101  ℤ≥cuz 9373  Topctop 12226  TopOnctopon 12239   Cn ccn 12416  ⇝𝑡clm 12418   ×t ctx 12483 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7758  ax-resscn 7759  ax-1cn 7760  ax-1re 7761  ax-icn 7762  ax-addcl 7763  ax-addrcl 7764  ax-mulcl 7765  ax-addcom 7767  ax-addass 7769  ax-distr 7771  ax-i2m1 7772  ax-0lt1 7773  ax-0id 7775  ax-rnegex 7776  ax-cnre 7778  ax-pre-ltirr 7779  ax-pre-ltwlin 7780  ax-pre-lttrn 7781  ax-pre-apti 7782  ax-pre-ltadd 7783 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4555  df-rel 4556  df-cnv 4557  df-co 4558  df-dm 4559  df-rn 4560  df-res 4561  df-ima 4562  df-iota 5098  df-fun 5135  df-fn 5136  df-f 5137  df-f1 5138  df-fo 5139  df-f1o 5140  df-fv 5141  df-riota 5740  df-ov 5787  df-oprab 5788  df-mpo 5789  df-1st 6048  df-2nd 6049  df-map 6554  df-pm 6555  df-pnf 7849  df-mnf 7850  df-xr 7851  df-ltxr 7852  df-le 7853  df-sub 7982  df-neg 7983  df-inn 8768  df-n0 9025  df-z 9102  df-uz 9374  df-topgen 12203  df-top 12227  df-topon 12240  df-bases 12272  df-cn 12419  df-cnp 12420  df-lm 12421  df-tx 12484 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator