ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txcnmpt GIF version

Theorem txcnmpt 13440
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnmpt.1 𝑊 = 𝑈
txcnmpt.2 𝐻 = (𝑥𝑊 ↦ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩)
Assertion
Ref Expression
txcnmpt ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐻 ∈ (𝑈 Cn (𝑅 ×t 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem txcnmpt
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnmpt.1 . . . . . . 7 𝑊 = 𝑈
2 eqid 2177 . . . . . . 7 𝑅 = 𝑅
31, 2cnf 13371 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) → 𝐹:𝑊 𝑅)
43adantr 276 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐹:𝑊 𝑅)
54ffvelcdmda 5647 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑅)
6 eqid 2177 . . . . . . 7 𝑆 = 𝑆
71, 6cnf 13371 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝐺:𝑊 𝑆)
87adantl 277 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐺:𝑊 𝑆)
98ffvelcdmda 5647 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
105, 9opelxpd 4656 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ ( 𝑅 × 𝑆))
11 txcnmpt.2 . . 3 𝐻 = (𝑥𝑊 ↦ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩)
1210, 11fmptd 5666 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐻:𝑊⟶( 𝑅 × 𝑆))
1311mptpreima 5118 . . . . . 6 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) = {𝑥𝑊 ∣ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)}
144adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → 𝐹:𝑊 𝑅)
1514adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → 𝐹:𝑊 𝑅)
16 ffn 5361 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑊 𝑅𝐹 Fn 𝑊)
17 elpreima 5631 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn 𝑊 → (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
1815, 16, 173syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
19 ibar 301 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑊 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
2019adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
2118, 20bitr4d 191 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟))
228ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → 𝐺:𝑊 𝑆)
23 ffn 5361 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝑊 𝑆𝐺 Fn 𝑊)
24 elpreima 5631 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 Fn 𝑊 → (𝑥 ∈ (𝐺𝑠) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
2522, 23, 243syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐺𝑠) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
26 ibar 301 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑊 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑠 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
2726adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑠 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
2825, 27bitr4d 191 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐺𝑠) ↔ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠))
2921, 28anbi12d 473 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺𝑠)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
30 elin 3318 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺𝑠)))
31 opelxp 4653 . . . . . . . . 9 (⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠))
3229, 30, 313bitr4g 223 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ↔ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)))
3332rabbi2dva 3343 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝑊 ∩ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠))) = {𝑥𝑊 ∣ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)})
34 inss1 3355 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ (𝐹𝑟)
35 cnvimass 4987 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑟) ⊆ dom 𝐹
3634, 35sstri 3164 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ dom 𝐹
3736, 14fssdm 5376 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ 𝑊)
38 sseqin2 3354 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ 𝑊 ↔ (𝑊 ∩ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠))) = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
3937, 38sylib 122 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝑊 ∩ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠))) = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
4033, 39eqtr3d 2212 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → {𝑥𝑊 ∣ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)} = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
4113, 40eqtrid 2222 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
42 cntop1 13368 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝑈 ∈ Top)
4342adantl 277 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝑈 ∈ Top)
4443adantr 276 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → 𝑈 ∈ Top)
45 cnima 13387 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝑟𝑅) → (𝐹𝑟) ∈ 𝑈)
4645ad2ant2r 509 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐹𝑟) ∈ 𝑈)
47 cnima 13387 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) ∧ 𝑠𝑆) → (𝐺𝑠) ∈ 𝑈)
4847ad2ant2l 508 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐺𝑠) ∈ 𝑈)
49 inopn 13168 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Top ∧ (𝐹𝑟) ∈ 𝑈 ∧ (𝐺𝑠) ∈ 𝑈) → ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ∈ 𝑈)
5044, 46, 48, 49syl3anc 1238 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ∈ 𝑈)
5141, 50eqeltrd 2254 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈)
5251ralrimivva 2559 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → ∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈)
53 vex 2740 . . . . . 6 𝑟 ∈ V
54 vex 2740 . . . . . 6 𝑠 ∈ V
5553, 54xpex 4738 . . . . 5 (𝑟 × 𝑠) ∈ V
5655rgen2w 2533 . . . 4 𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝑟 × 𝑠) ∈ V
57 eqid 2177 . . . . 5 (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠)) = (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))
58 imaeq2 4962 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑟 × 𝑠) → (𝐻𝑧) = (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)))
5958eleq1d 2246 . . . . 5 (𝑧 = (𝑟 × 𝑠) → ((𝐻𝑧) ∈ 𝑈 ↔ (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈))
6057, 59ralrnmpo 5983 . . . 4 (∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝑟 × 𝑠) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈))
6156, 60ax-mp 5 . . 3 (∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈)
6252, 61sylibr 134 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈)
631toptopon 13183 . . . 4 (𝑈 ∈ Top ↔ 𝑈 ∈ (TopOn‘𝑊))
6443, 63sylib 122 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝑈 ∈ (TopOn‘𝑊))
65 cntop2 13369 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) → 𝑅 ∈ Top)
66 cntop2 13369 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝑆 ∈ Top)
67 eqid 2177 . . . . 5 ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠)) = ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))
6867txval 13422 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))))
6965, 66, 68syl2an 289 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))))
70 toptopon2 13184 . . . . 5 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅))
7165, 70sylib 122 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) → 𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅))
72 toptopon2 13184 . . . . 5 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOn‘ 𝑆))
7366, 72sylib 122 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝑆 ∈ (TopOn‘ 𝑆))
74 txtopon 13429 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOn‘ 𝑆)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘( 𝑅 × 𝑆)))
7571, 73, 74syl2an 289 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘( 𝑅 × 𝑆)))
7664, 69, 75tgcn 13375 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → (𝐻 ∈ (𝑈 Cn (𝑅 ×t 𝑆)) ↔ (𝐻:𝑊⟶( 𝑅 × 𝑆) ∧ ∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈)))
7712, 62, 76mpbir2and 944 1 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐻 ∈ (𝑈 Cn (𝑅 ×t 𝑆)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2737  cin 3128  wss 3129  cop 3594   cuni 3807  cmpt 4061   × cxp 4621  ccnv 4622  dom cdm 4623  ran crn 4624  cima 4626   Fn wfn 5207  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  cmpo 5871  topGenctg 12651  Topctop 13162  TopOnctopon 13175   Cn ccn 13352   ×t ctx 13419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-map 6644  df-topgen 12657  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-cn 13355  df-tx 13420
This theorem is referenced by:  uptx  13441  cnmpt1t  13452  cnmpt2t  13460
  Copyright terms: Public domain W3C validator