Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txcnmpt GIF version

Theorem txcnmpt 12633
 Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnmpt.1 𝑊 = 𝑈
txcnmpt.2 𝐻 = (𝑥𝑊 ↦ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩)
Assertion
Ref Expression
txcnmpt ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐻 ∈ (𝑈 Cn (𝑅 ×t 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem txcnmpt
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnmpt.1 . . . . . . 7 𝑊 = 𝑈
2 eqid 2157 . . . . . . 7 𝑅 = 𝑅
31, 2cnf 12564 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) → 𝐹:𝑊 𝑅)
43adantr 274 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐹:𝑊 𝑅)
54ffvelrnda 5599 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑅)
6 eqid 2157 . . . . . . 7 𝑆 = 𝑆
71, 6cnf 12564 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝐺:𝑊 𝑆)
87adantl 275 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐺:𝑊 𝑆)
98ffvelrnda 5599 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
105, 9opelxpd 4616 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ ( 𝑅 × 𝑆))
11 txcnmpt.2 . . 3 𝐻 = (𝑥𝑊 ↦ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩)
1210, 11fmptd 5618 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐻:𝑊⟶( 𝑅 × 𝑆))
1311mptpreima 5076 . . . . . 6 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) = {𝑥𝑊 ∣ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)}
144adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → 𝐹:𝑊 𝑅)
1514adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → 𝐹:𝑊 𝑅)
16 ffn 5316 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑊 𝑅𝐹 Fn 𝑊)
17 elpreima 5583 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn 𝑊 → (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
1815, 16, 173syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
19 ibar 299 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑊 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
2019adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
2118, 20bitr4d 190 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟))
228ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → 𝐺:𝑊 𝑆)
23 ffn 5316 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝑊 𝑆𝐺 Fn 𝑊)
24 elpreima 5583 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 Fn 𝑊 → (𝑥 ∈ (𝐺𝑠) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
2522, 23, 243syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐺𝑠) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
26 ibar 299 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑊 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑠 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
2726adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑠 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
2825, 27bitr4d 190 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐺𝑠) ↔ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠))
2921, 28anbi12d 465 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺𝑠)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
30 elin 3290 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺𝑠)))
31 opelxp 4613 . . . . . . . . 9 (⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠))
3229, 30, 313bitr4g 222 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ↔ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)))
3332rabbi2dva 3315 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝑊 ∩ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠))) = {𝑥𝑊 ∣ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)})
34 inss1 3327 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ (𝐹𝑟)
35 cnvimass 4946 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑟) ⊆ dom 𝐹
3634, 35sstri 3137 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ dom 𝐹
3736, 14fssdm 5331 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ 𝑊)
38 sseqin2 3326 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ 𝑊 ↔ (𝑊 ∩ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠))) = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
3937, 38sylib 121 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝑊 ∩ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠))) = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
4033, 39eqtr3d 2192 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → {𝑥𝑊 ∣ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)} = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
4113, 40syl5eq 2202 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
42 cntop1 12561 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝑈 ∈ Top)
4342adantl 275 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝑈 ∈ Top)
4443adantr 274 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → 𝑈 ∈ Top)
45 cnima 12580 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝑟𝑅) → (𝐹𝑟) ∈ 𝑈)
4645ad2ant2r 501 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐹𝑟) ∈ 𝑈)
47 cnima 12580 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) ∧ 𝑠𝑆) → (𝐺𝑠) ∈ 𝑈)
4847ad2ant2l 500 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐺𝑠) ∈ 𝑈)
49 inopn 12361 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Top ∧ (𝐹𝑟) ∈ 𝑈 ∧ (𝐺𝑠) ∈ 𝑈) → ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ∈ 𝑈)
5044, 46, 48, 49syl3anc 1220 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ∈ 𝑈)
5141, 50eqeltrd 2234 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈)
5251ralrimivva 2539 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → ∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈)
53 vex 2715 . . . . . 6 𝑟 ∈ V
54 vex 2715 . . . . . 6 𝑠 ∈ V
5553, 54xpex 4698 . . . . 5 (𝑟 × 𝑠) ∈ V
5655rgen2w 2513 . . . 4 𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝑟 × 𝑠) ∈ V
57 eqid 2157 . . . . 5 (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠)) = (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))
58 imaeq2 4921 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑟 × 𝑠) → (𝐻𝑧) = (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)))
5958eleq1d 2226 . . . . 5 (𝑧 = (𝑟 × 𝑠) → ((𝐻𝑧) ∈ 𝑈 ↔ (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈))
6057, 59ralrnmpo 5929 . . . 4 (∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝑟 × 𝑠) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈))
6156, 60ax-mp 5 . . 3 (∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈)
6252, 61sylibr 133 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈)
631toptopon 12376 . . . 4 (𝑈 ∈ Top ↔ 𝑈 ∈ (TopOn‘𝑊))
6443, 63sylib 121 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝑈 ∈ (TopOn‘𝑊))
65 cntop2 12562 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) → 𝑅 ∈ Top)
66 cntop2 12562 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝑆 ∈ Top)
67 eqid 2157 . . . . 5 ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠)) = ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))
6867txval 12615 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))))
6965, 66, 68syl2an 287 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))))
70 toptopon2 12377 . . . . 5 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅))
7165, 70sylib 121 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) → 𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅))
72 toptopon2 12377 . . . . 5 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOn‘ 𝑆))
7366, 72sylib 121 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝑆 ∈ (TopOn‘ 𝑆))
74 txtopon 12622 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOn‘ 𝑆)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘( 𝑅 × 𝑆)))
7571, 73, 74syl2an 287 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘( 𝑅 × 𝑆)))
7664, 69, 75tgcn 12568 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → (𝐻 ∈ (𝑈 Cn (𝑅 ×t 𝑆)) ↔ (𝐻:𝑊⟶( 𝑅 × 𝑆) ∧ ∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈)))
7712, 62, 76mpbir2and 929 1 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐻 ∈ (𝑈 Cn (𝑅 ×t 𝑆)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  {crab 2439  Vcvv 2712   ∩ cin 3101   ⊆ wss 3102  ⟨cop 3563  ∪ cuni 3772   ↦ cmpt 4025   × cxp 4581  ◡ccnv 4582  dom cdm 4583  ran crn 4584   “ cima 4586   Fn wfn 5162  ⟶wf 5163  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818   ∈ cmpo 5820  topGenctg 12326  Topctop 12355  TopOnctopon 12368   Cn ccn 12545   ×t ctx 12612 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-map 6588  df-topgen 12332  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-cn 12548  df-tx 12613 This theorem is referenced by:  uptx  12634  cnmpt1t  12645  cnmpt2t  12653
 Copyright terms: Public domain W3C validator