Theorem suplocsrlemb 8179

Description: Lemma for suplocsr 8182. The set 𝐵 is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsrlem.b	⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
suplocsrlem.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
suplocsrlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
suplocsrlem.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
suplocsrlem.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplocsrlemb	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ P ∀𝑣 ∈ P (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑧,𝐵   𝐶,𝑞,𝑤   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑞,𝑢,𝑣,𝑧   𝑥,𝑢,𝑦   𝑦,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑤)   𝐴(𝑣, 𝑢)   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑣, 𝑢, 𝑞)   𝐶(𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem suplocsrlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑢<P 𝑣)
2		simplrl 541	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑢 ∈ P)
3		simplrr 542	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑣 ∈ P)
4		suplocsrlem.ss	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
5		suplocsrlem.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sseldd 3249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ R)
7	6	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝐶 ∈ R)
8		ltpsrprg 8176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑣))
9	2, 3, 7, 8	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑣))
10	1, 9	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
11		breq2 4135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
12		breq2 4135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (𝑧 <R 𝑦 ↔ 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
13	12	ralbidv 2550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
14	13	orbi2d 802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))))
15	11, 14	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))))
16		breq1 4134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (𝑥 <R 𝑦 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦))
17		breq1 4134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (𝑥 <R 𝑧 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧))
18	17	rexbidv 2551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧))
19	18	orbi1d 803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
20	16, 19	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → ((𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦))))
21	20	ralbidv 2550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ R ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦))))
22		suplocsrlem.loc	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
23	22	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
24		1pr 7927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1P ∈ P
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 1P ∈ P)
26	2, 25	opelxpd 4809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ⟨𝑢, 1P⟩ ∈ (P × P))
27		enrex 8110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ~R ∈ V
28	27	ecelqsi 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑢, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
29	26, 28	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
30		df-nr 8100	. . . . . . . . 9 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
31	29, 30	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ R)
32		addclsr 8126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ R) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
33	7, 31, 32	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
34	21, 23, 33	rspcdva 2934	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ∀𝑦 ∈ R ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
35	3, 25	opelxpd 4809	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P))
36	27	ecelqsi 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
37	36, 30	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ R)
38	35, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ R)
39		addclsr 8126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ R) → (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
40	7, 38, 39	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
41	15, 34, 40	rspcdva 2934	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))))
42	10, 41	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
43	2	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → 𝑢 ∈ P)
44	7	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → 𝐶 ∈ R)
45		mappsrprg 8177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ))
46	43, 44, 45	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ))
47		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧)
48		ltsosr 8137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <R Or R
49		ltrelsr 8111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <R ⊆ (R × R)
50	48, 49	sotri 5186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑧)
51	46, 47, 50	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑧)
52		map2psrprg 8178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑧 ↔ ∃𝑞 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧))
53	44, 52	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑧 ↔ ∃𝑞 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧))
54	51, 53	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧)
55		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧)
56		simp-4r 548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
57	55, 56	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
58		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧)
59	58, 55	breqtrrd 4159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ))
60	2	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑢 ∈ P)
61		simplr 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑞 ∈ P)
62	44	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝐶 ∈ R)
63		ltpsrprg 8176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑞))
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑞))
65	59, 64	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑢<P 𝑞)
66	57, 65	jca 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞))
67	66	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧 → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞)))
68	67	reximdva 2652	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (∃𝑞 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧 → ∃𝑞 ∈ P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞)))
69	54, 68	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞 ∈ P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞))
70		opeq1 3904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → ⟨𝑤, 1P⟩ = ⟨𝑞, 1P⟩)
71	70	eceq1d 6847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → [⟨𝑤, 1P⟩] ~R = [⟨𝑞, 1P⟩] ~R )
72	71	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ))
73	72	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
74		suplocsrlem.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
75	73, 74	elrab2 2985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐵 ↔ (𝑞 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
76	75	anbi1i 462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢<P 𝑞) ↔ ((𝑞 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴) ∧ 𝑢<P 𝑞))
77		anass 405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴) ∧ 𝑢<P 𝑞) ↔ (𝑞 ∈ P ∧ ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞)))
78	76, 77	bitri 184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢<P 𝑞) ↔ (𝑞 ∈ P ∧ ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞)))
79	78	rexbii2 2561	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ↔ ∃𝑞 ∈ P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞))
80	69, 79	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞)
81	80	rexlimdva2 2671	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 → ∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞))
82		breq1 4134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) → (𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
83		simplr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
84		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
85	84, 75	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
86	85	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
87	82, 83, 86	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
88	85	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ P)
89	3	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ P)
90	7	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ R)
91		ltpsrprg 8176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑞<P 𝑣))
92	88, 89, 90, 91	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑞<P 𝑣))
93	87, 92	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞<P 𝑣)
94	93	ralrimiva 2623	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) → ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)
95	94	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣))
96	81, 95	orim12d 798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)))
97	42, 96	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣))
98	97	ex 115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) → (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)))
99	98	ralrimivva 2632	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ P ∀𝑣 ∈ P (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131   × cxp 4774  (class class class)co 6088  [cec 6809   / cqs 6810  Pcnp 7664  1_Pc1p 7665  <_P cltp 7668   ~_R cer 7669  Rcnr 7670  -1_Rcm1r 7673   +_R cplr 7674   <_R cltr 7676

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-pli 7678  df-mi 7679  df-lti 7680  df-plpq 7717  df-mpq 7718  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-plqqs 7722  df-mqqs 7723  df-1nqqs 7724  df-rq 7725  df-ltnqqs 7726  df-enq0 7797  df-nq0 7798  df-0nq0 7799  df-plq0 7800  df-mq0 7801  df-inp 7839  df-i1p 7840  df-iplp 7841  df-imp 7842  df-iltp 7843  df-enr 8099  df-nr 8100  df-plr 8101  df-mr 8102  df-ltr 8103  df-0r 8104  df-1r 8105  df-m1r 8106

This theorem is used by:  suplocsrlempr  8180