Theorem suplocsrlemb 8069

Description: Lemma for suplocsr 8072. The set 𝐵 is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsrlem.b	⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
suplocsrlem.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
suplocsrlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
suplocsrlem.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
suplocsrlem.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplocsrlemb	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ P ∀𝑣 ∈ P (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑧,𝐵   𝐶,𝑞,𝑤   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑞,𝑢,𝑣,𝑧   𝑥,𝑢,𝑦   𝑦,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑞)   𝐶(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem suplocsrlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑢<P 𝑣)
2		simplrl 537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑢 ∈ P)
3		simplrr 538	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑣 ∈ P)
4		suplocsrlem.ss	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
5		suplocsrlem.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sseldd 3229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ R)
7	6	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝐶 ∈ R)
8		ltpsrprg 8066	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑣))
9	2, 3, 7, 8	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑣))
10	1, 9	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
11		breq2 4097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
12		breq2 4097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (𝑧 <R 𝑦 ↔ 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
13	12	ralbidv 2533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
14	13	orbi2d 798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))))
15	11, 14	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))))
16		breq1 4096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (𝑥 <R 𝑦 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦))
17		breq1 4096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (𝑥 <R 𝑧 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧))
18	17	rexbidv 2534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧))
19	18	orbi1d 799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
20	16, 19	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → ((𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦))))
21	20	ralbidv 2533	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ R ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦))))
22		suplocsrlem.loc	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
24		1pr 7817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1P ∈ P
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 1P ∈ P)
26	2, 25	opelxpd 4764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ⟨𝑢, 1P⟩ ∈ (P × P))
27		enrex 8000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ~R ∈ V
28	27	ecelqsi 6801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑢, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
29	26, 28	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
30		df-nr 7990	. . . . . . . . 9 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
31	29, 30	eleqtrrdi 2325	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ R)
32		addclsr 8016	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ R) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
33	7, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
34	21, 23, 33	rspcdva 2916	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ∀𝑦 ∈ R ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
35	3, 25	opelxpd 4764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P))
36	27	ecelqsi 6801	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
37	36, 30	eleqtrrdi 2325	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ R)
38	35, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ R)
39		addclsr 8016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ R) → (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
40	7, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
41	15, 34, 40	rspcdva 2916	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))))
42	10, 41	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
43	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → 𝑢 ∈ P)
44	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → 𝐶 ∈ R)
45		mappsrprg 8067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ))
46	43, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ))
47		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧)
48		ltsosr 8027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <R Or R
49		ltrelsr 8001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <R ⊆ (R × R)
50	48, 49	sotri 5139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑧)
51	46, 47, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑧)
52		map2psrprg 8068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑧 ↔ ∃𝑞 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧))
53	44, 52	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑧 ↔ ∃𝑞 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧))
54	51, 53	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧)
55		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧)
56		simp-4r 544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
57	55, 56	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
58		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧)
59	58, 55	breqtrrd 4121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ))
60	2	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑢 ∈ P)
61		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑞 ∈ P)
62	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝐶 ∈ R)
63		ltpsrprg 8066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑞))
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑞))
65	59, 64	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑢<P 𝑞)
66	57, 65	jca 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞))
67	66	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧 → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞)))
68	67	reximdva 2635	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (∃𝑞 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧 → ∃𝑞 ∈ P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞)))
69	54, 68	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞 ∈ P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞))
70		opeq1 3867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → ⟨𝑤, 1P⟩ = ⟨𝑞, 1P⟩)
71	70	eceq1d 6781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → [⟨𝑤, 1P⟩] ~R = [⟨𝑞, 1P⟩] ~R )
72	71	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ))
73	72	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
74		suplocsrlem.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
75	73, 74	elrab2 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐵 ↔ (𝑞 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
76	75	anbi1i 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢<P 𝑞) ↔ ((𝑞 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴) ∧ 𝑢<P 𝑞))
77		anass 401	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴) ∧ 𝑢<P 𝑞) ↔ (𝑞 ∈ P ∧ ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞)))
78	76, 77	bitri 184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢<P 𝑞) ↔ (𝑞 ∈ P ∧ ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞)))
79	78	rexbii2 2544	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ↔ ∃𝑞 ∈ P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞))
80	69, 79	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞)
81	80	rexlimdva2 2654	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 → ∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞))
82		breq1 4096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) → (𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
83		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
84		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
85	84, 75	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
86	85	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
87	82, 83, 86	rspcdva 2916	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
88	85	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ P)
89	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ P)
90	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ R)
91		ltpsrprg 8066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑞<P 𝑣))
92	88, 89, 90, 91	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑞<P 𝑣))
93	87, 92	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞<P 𝑣)
94	93	ralrimiva 2606	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) → ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)
95	94	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣))
96	81, 95	orim12d 794	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)))
97	42, 96	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣))
98	97	ex 115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) → (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)))
99	98	ralrimivva 2615	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ P ∀𝑣 ∈ P (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512  {crab 2515   ⊆ wss 3201  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093   × cxp 4729  (class class class)co 6028  [cec 6743   / cqs 6744  Pcnp 7554  1_Pc1p 7555  <_P cltp 7558   ~_R cer 7559  Rcnr 7560  -1_Rcm1r 7563   +_R cplr 7564   <_R cltr 7566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-pli 7568  df-mi 7569  df-lti 7570  df-plpq 7607  df-mpq 7608  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-plqqs 7612  df-mqqs 7613  df-1nqqs 7614  df-rq 7615  df-ltnqqs 7616  df-enq0 7687  df-nq0 7688  df-0nq0 7689  df-plq0 7690  df-mq0 7691  df-inp 7729  df-i1p 7730  df-iplp 7731  df-imp 7732  df-iltp 7733  df-enr 7989  df-nr 7990  df-plr 7991  df-mr 7992  df-ltr 7993  df-0r 7994  df-1r 7995  df-m1r 7996

This theorem is referenced by:  suplocsrlempr  8070