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Theorem suplocsrlemb 7805
Description: Lemma for suplocsr 7808. The set 𝐵 is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suplocsrlem.b 𝐵 = {𝑤P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
suplocsrlem.ss (𝜑𝐴R)
suplocsrlem.c (𝜑𝐶𝐴)
suplocsrlem.ub (𝜑 → ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥)
suplocsrlem.loc (𝜑 → ∀𝑥R𝑦R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
suplocsrlemb (𝜑 → ∀𝑢P𝑣P (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞𝐵 𝑞<P 𝑣)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑧,𝐵   𝐶,𝑞,𝑤   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑞,𝑢,𝑣,𝑧   𝑥,𝑢,𝑦   𝑦,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑞)   𝐶(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem suplocsrlemb
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑢<P 𝑣)
2 simplrl 535 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑢P)
3 simplrr 536 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑣P)
4 suplocsrlem.ss . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴R)
5 suplocsrlem.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐴)
64, 5sseldd 3157 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶R)
76ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝐶R)
8 ltpsrprg 7802 . . . . . . 7 ((𝑢P𝑣P𝐶R) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑣))
92, 3, 7, 8syl3anc 1238 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑣))
101, 9mpbird 167 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
11 breq2 4008 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
12 breq2 4008 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (𝑧 <R 𝑦𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
1312ralbidv 2477 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
1413orbi2d 790 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ((∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦) ↔ (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))))
1511, 14imbi12d 234 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))))
16 breq1 4007 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (𝑥 <R 𝑦 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦))
17 breq1 4007 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (𝑥 <R 𝑧 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧))
1817rexbidv 2478 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧))
1918orbi1d 791 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → ((∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦) ↔ (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
2016, 19imbi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → ((𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦))))
2120ralbidv 2477 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (∀𝑦R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ∀𝑦R ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦))))
22 suplocsrlem.loc . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥R𝑦R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
2322ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ∀𝑥R𝑦R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
24 1pr 7553 . . . . . . . . . . . 12 1PP
2524a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 1PP)
262, 25opelxpd 4660 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ⟨𝑢, 1P⟩ ∈ (P × P))
27 enrex 7736 . . . . . . . . . . 11 ~R ∈ V
2827ecelqsi 6589 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑢, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
2926, 28syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
30 df-nr 7726 . . . . . . . . 9 R = ((P × P) / ~R )
3129, 30eleqtrrdi 2271 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~RR)
32 addclsr 7752 . . . . . . . 8 ((𝐶R ∧ [⟨𝑢, 1P⟩] ~RR) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
337, 31, 32syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
3421, 23, 33rspcdva 2847 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ∀𝑦R ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
353, 25opelxpd 4660 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P))
3627ecelqsi 6589 . . . . . . . . 9 (⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
3736, 30eleqtrrdi 2271 . . . . . . . 8 (⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~RR)
3835, 37syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~RR)
39 addclsr 7752 . . . . . . 7 ((𝐶R ∧ [⟨𝑣, 1P⟩] ~RR) → (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
407, 38, 39syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
4115, 34, 40rspcdva 2847 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))))
4210, 41mpd 13 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
432ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → 𝑢P)
447ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → 𝐶R)
45 mappsrprg 7803 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢P𝐶R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ))
4643, 44, 45syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ))
47 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧)
48 ltsosr 7763 . . . . . . . . . . 11 <R Or R
49 ltrelsr 7737 . . . . . . . . . . 11 <R ⊆ (R × R)
5048, 49sotri 5025 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑧)
5146, 47, 50syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑧)
52 map2psrprg 7804 . . . . . . . . . 10 (𝐶R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑧 ↔ ∃𝑞P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧))
5344, 52syl 14 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑧 ↔ ∃𝑞P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧))
5451, 53mpbid 147 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧)
55 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧)
56 simp-4r 542 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑧𝐴)
5755, 56eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
58 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧)
5958, 55breqtrrd 4032 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ))
602ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑢P)
61 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑞P)
6244ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝐶R)
63 ltpsrprg 7802 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢P𝑞P𝐶R) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑞))
6460, 61, 62, 63syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑞))
6559, 64mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑢<P 𝑞)
6657, 65jca 306 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴𝑢<P 𝑞))
6766ex 115 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧 → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴𝑢<P 𝑞)))
6867reximdva 2579 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (∃𝑞P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧 → ∃𝑞P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴𝑢<P 𝑞)))
6954, 68mpd 13 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴𝑢<P 𝑞))
70 opeq1 3779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑞 → ⟨𝑤, 1P⟩ = ⟨𝑞, 1P⟩)
7170eceq1d 6571 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑞 → [⟨𝑤, 1P⟩] ~R = [⟨𝑞, 1P⟩] ~R )
7271oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑞 → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ))
7372eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑞 → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
74 suplocsrlem.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = {𝑤P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
7573, 74elrab2 2897 . . . . . . . . . 10 (𝑞𝐵 ↔ (𝑞P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
7675anbi1i 458 . . . . . . . . 9 ((𝑞𝐵𝑢<P 𝑞) ↔ ((𝑞P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴) ∧ 𝑢<P 𝑞))
77 anass 401 . . . . . . . . 9 (((𝑞P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴) ∧ 𝑢<P 𝑞) ↔ (𝑞P ∧ ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴𝑢<P 𝑞)))
7876, 77bitri 184 . . . . . . . 8 ((𝑞𝐵𝑢<P 𝑞) ↔ (𝑞P ∧ ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴𝑢<P 𝑞)))
7978rexbii2 2488 . . . . . . 7 (∃𝑞𝐵 𝑢<P 𝑞 ↔ ∃𝑞P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴𝑢<P 𝑞))
8069, 79sylibr 134 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞𝐵 𝑢<P 𝑞)
8180rexlimdva2 2597 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 → ∃𝑞𝐵 𝑢<P 𝑞))
82 breq1 4007 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) → (𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
83 simplr 528 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
84 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑞𝐵)
8584, 75sylib 122 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → (𝑞P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
8685simprd 114 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
8782, 83, 86rspcdva 2847 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
8885simpld 112 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑞P)
893ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑣P)
907ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → 𝐶R)
91 ltpsrprg 7802 . . . . . . . . 9 ((𝑞P𝑣P𝐶R) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑞<P 𝑣))
9288, 89, 90, 91syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑞<P 𝑣))
9387, 92mpbid 147 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑞<P 𝑣)
9493ralrimiva 2550 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) → ∀𝑞𝐵 𝑞<P 𝑣)
9594ex 115 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ∀𝑞𝐵 𝑞<P 𝑣))
9681, 95orim12d 786 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) → (∃𝑞𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞𝐵 𝑞<P 𝑣)))
9742, 96mpd 13 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑞𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞𝐵 𝑞<P 𝑣))
9897ex 115 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) → (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞𝐵 𝑞<P 𝑣)))
9998ralrimivva 2559 1 (𝜑 → ∀𝑢P𝑣P (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞𝐵 𝑞<P 𝑣)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  wss 3130  cop 3596   class class class wbr 4004   × cxp 4625  (class class class)co 5875  [cec 6533   / cqs 6534  Pcnp 7290  1Pc1p 7291  <P cltp 7294   ~R cer 7295  Rcnr 7296  -1Rcm1r 7299   +R cplr 7300   <R cltr 7302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-1nqqs 7350  df-rq 7351  df-ltnqqs 7352  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-0nq0 7425  df-plq0 7426  df-mq0 7427  df-inp 7465  df-i1p 7466  df-iplp 7467  df-imp 7468  df-iltp 7469  df-enr 7725  df-nr 7726  df-plr 7727  df-mr 7728  df-ltr 7729  df-0r 7730  df-1r 7731  df-m1r 7732
This theorem is referenced by:  suplocsrlempr  7806
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