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Theorem suplocsrlemb 7721
Description: Lemma for suplocsr 7724. The set 𝐵 is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suplocsrlem.b 𝐵 = {𝑤P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
suplocsrlem.ss (𝜑𝐴R)
suplocsrlem.c (𝜑𝐶𝐴)
suplocsrlem.ub (𝜑 → ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥)
suplocsrlem.loc (𝜑 → ∀𝑥R𝑦R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
suplocsrlemb (𝜑 → ∀𝑢P𝑣P (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞𝐵 𝑞<P 𝑣)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑧,𝐵   𝐶,𝑞,𝑤   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑞,𝑢,𝑣,𝑧   𝑥,𝑢,𝑦   𝑦,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑞)   𝐶(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem suplocsrlemb
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑢<P 𝑣)
2 simplrl 525 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑢P)
3 simplrr 526 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑣P)
4 suplocsrlem.ss . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴R)
5 suplocsrlem.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐴)
64, 5sseldd 3129 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶R)
76ad2antrr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝐶R)
8 ltpsrprg 7718 . . . . . . 7 ((𝑢P𝑣P𝐶R) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑣))
92, 3, 7, 8syl3anc 1220 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑣))
101, 9mpbird 166 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
11 breq2 3969 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
12 breq2 3969 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (𝑧 <R 𝑦𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
1312ralbidv 2457 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
1413orbi2d 780 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ((∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦) ↔ (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))))
1511, 14imbi12d 233 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))))
16 breq1 3968 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (𝑥 <R 𝑦 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦))
17 breq1 3968 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (𝑥 <R 𝑧 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧))
1817rexbidv 2458 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧))
1918orbi1d 781 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → ((∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦) ↔ (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
2016, 19imbi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → ((𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦))))
2120ralbidv 2457 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (∀𝑦R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ∀𝑦R ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦))))
22 suplocsrlem.loc . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥R𝑦R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
2322ad2antrr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ∀𝑥R𝑦R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
24 1pr 7469 . . . . . . . . . . . 12 1PP
2524a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 1PP)
262, 25opelxpd 4618 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ⟨𝑢, 1P⟩ ∈ (P × P))
27 enrex 7652 . . . . . . . . . . 11 ~R ∈ V
2827ecelqsi 6531 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑢, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
2926, 28syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
30 df-nr 7642 . . . . . . . . 9 R = ((P × P) / ~R )
3129, 30eleqtrrdi 2251 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~RR)
32 addclsr 7668 . . . . . . . 8 ((𝐶R ∧ [⟨𝑢, 1P⟩] ~RR) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
337, 31, 32syl2anc 409 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
3421, 23, 33rspcdva 2821 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ∀𝑦R ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
353, 25opelxpd 4618 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P))
3627ecelqsi 6531 . . . . . . . . 9 (⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
3736, 30eleqtrrdi 2251 . . . . . . . 8 (⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~RR)
3835, 37syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~RR)
39 addclsr 7668 . . . . . . 7 ((𝐶R ∧ [⟨𝑣, 1P⟩] ~RR) → (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
407, 38, 39syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
4115, 34, 40rspcdva 2821 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))))
4210, 41mpd 13 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
432ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → 𝑢P)
447ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → 𝐶R)
45 mappsrprg 7719 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢P𝐶R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ))
4643, 44, 45syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ))
47 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧)
48 ltsosr 7679 . . . . . . . . . . 11 <R Or R
49 ltrelsr 7653 . . . . . . . . . . 11 <R ⊆ (R × R)
5048, 49sotri 4980 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑧)
5146, 47, 50syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑧)
52 map2psrprg 7720 . . . . . . . . . 10 (𝐶R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑧 ↔ ∃𝑞P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧))
5344, 52syl 14 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑧 ↔ ∃𝑞P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧))
5451, 53mpbid 146 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧)
55 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧)
56 simp-4r 532 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑧𝐴)
5755, 56eqeltrd 2234 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
58 simpllr 524 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧)
5958, 55breqtrrd 3992 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ))
602ad4antr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑢P)
61 simplr 520 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑞P)
6244ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝐶R)
63 ltpsrprg 7718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢P𝑞P𝐶R) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑞))
6460, 61, 62, 63syl3anc 1220 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑞))
6559, 64mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑢<P 𝑞)
6657, 65jca 304 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴𝑢<P 𝑞))
6766ex 114 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞P) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧 → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴𝑢<P 𝑞)))
6867reximdva 2559 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (∃𝑞P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧 → ∃𝑞P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴𝑢<P 𝑞)))
6954, 68mpd 13 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴𝑢<P 𝑞))
70 opeq1 3741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑞 → ⟨𝑤, 1P⟩ = ⟨𝑞, 1P⟩)
7170eceq1d 6513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑞 → [⟨𝑤, 1P⟩] ~R = [⟨𝑞, 1P⟩] ~R )
7271oveq2d 5837 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑞 → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ))
7372eleq1d 2226 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑞 → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
74 suplocsrlem.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = {𝑤P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
7573, 74elrab2 2871 . . . . . . . . . 10 (𝑞𝐵 ↔ (𝑞P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
7675anbi1i 454 . . . . . . . . 9 ((𝑞𝐵𝑢<P 𝑞) ↔ ((𝑞P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴) ∧ 𝑢<P 𝑞))
77 anass 399 . . . . . . . . 9 (((𝑞P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴) ∧ 𝑢<P 𝑞) ↔ (𝑞P ∧ ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴𝑢<P 𝑞)))
7876, 77bitri 183 . . . . . . . 8 ((𝑞𝐵𝑢<P 𝑞) ↔ (𝑞P ∧ ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴𝑢<P 𝑞)))
7978rexbii2 2468 . . . . . . 7 (∃𝑞𝐵 𝑢<P 𝑞 ↔ ∃𝑞P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴𝑢<P 𝑞))
8069, 79sylibr 133 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞𝐵 𝑢<P 𝑞)
8180rexlimdva2 2577 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 → ∃𝑞𝐵 𝑢<P 𝑞))
82 breq1 3968 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) → (𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
83 simplr 520 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
84 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑞𝐵)
8584, 75sylib 121 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → (𝑞P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
8685simprd 113 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
8782, 83, 86rspcdva 2821 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
8885simpld 111 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑞P)
893ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑣P)
907ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → 𝐶R)
91 ltpsrprg 7718 . . . . . . . . 9 ((𝑞P𝑣P𝐶R) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑞<P 𝑣))
9288, 89, 90, 91syl3anc 1220 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑞<P 𝑣))
9387, 92mpbid 146 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑞<P 𝑣)
9493ralrimiva 2530 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) → ∀𝑞𝐵 𝑞<P 𝑣)
9594ex 114 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ∀𝑞𝐵 𝑞<P 𝑣))
9681, 95orim12d 776 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((∃𝑧𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) → (∃𝑞𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞𝐵 𝑞<P 𝑣)))
9742, 96mpd 13 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑞𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞𝐵 𝑞<P 𝑣))
9897ex 114 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑢P𝑣P)) → (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞𝐵 𝑞<P 𝑣)))
9998ralrimivva 2539 1 (𝜑 → ∀𝑢P𝑣P (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞𝐵 𝑞<P 𝑣)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698   = wceq 1335  wcel 2128  wral 2435  wrex 2436  {crab 2439  wss 3102  cop 3563   class class class wbr 3965   × cxp 4583  (class class class)co 5821  [cec 6475   / cqs 6476  Pcnp 7206  1Pc1p 7207  <P cltp 7210   ~R cer 7211  Rcnr 7212  -1Rcm1r 7215   +R cplr 7216   <R cltr 7218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-1o 6360  df-2o 6361  df-oadd 6364  df-omul 6365  df-er 6477  df-ec 6479  df-qs 6483  df-ni 7219  df-pli 7220  df-mi 7221  df-lti 7222  df-plpq 7259  df-mpq 7260  df-enq 7262  df-nqqs 7263  df-plqqs 7264  df-mqqs 7265  df-1nqqs 7266  df-rq 7267  df-ltnqqs 7268  df-enq0 7339  df-nq0 7340  df-0nq0 7341  df-plq0 7342  df-mq0 7343  df-inp 7381  df-i1p 7382  df-iplp 7383  df-imp 7384  df-iltp 7385  df-enr 7641  df-nr 7642  df-plr 7643  df-mr 7644  df-ltr 7645  df-0r 7646  df-1r 7647  df-m1r 7648
This theorem is referenced by:  suplocsrlempr  7722
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