Theorem suplocsrlemb 8025

Description: Lemma for suplocsr 8028. The set 𝐵 is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsrlem.b	⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
suplocsrlem.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
suplocsrlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
suplocsrlem.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
suplocsrlem.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplocsrlemb	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ P ∀𝑣 ∈ P (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑧,𝐵   𝐶,𝑞,𝑤   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑞,𝑢,𝑣,𝑧   𝑥,𝑢,𝑦   𝑦,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑞)   𝐶(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem suplocsrlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑢<P 𝑣)
2		simplrl 537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑢 ∈ P)
3		simplrr 538	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑣 ∈ P)
4		suplocsrlem.ss	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
5		suplocsrlem.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sseldd 3228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ R)
7	6	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝐶 ∈ R)
8		ltpsrprg 8022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑣))
9	2, 3, 7, 8	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑣))
10	1, 9	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
11		breq2 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
12		breq2 4092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (𝑧 <R 𝑦 ↔ 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
13	12	ralbidv 2532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
14	13	orbi2d 797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))))
15	11, 14	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))))
16		breq1 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (𝑥 <R 𝑦 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦))
17		breq1 4091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (𝑥 <R 𝑧 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧))
18	17	rexbidv 2533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧))
19	18	orbi1d 798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
20	16, 19	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → ((𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦))))
21	20	ralbidv 2532	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ R ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦))))
22		suplocsrlem.loc	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
24		1pr 7773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1P ∈ P
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 1P ∈ P)
26	2, 25	opelxpd 4758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ⟨𝑢, 1P⟩ ∈ (P × P))
27		enrex 7956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ~R ∈ V
28	27	ecelqsi 6757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑢, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
29	26, 28	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
30		df-nr 7946	. . . . . . . . 9 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
31	29, 30	eleqtrrdi 2325	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ R)
32		addclsr 7972	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ R) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
33	7, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
34	21, 23, 33	rspcdva 2915	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ∀𝑦 ∈ R ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
35	3, 25	opelxpd 4758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P))
36	27	ecelqsi 6757	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
37	36, 30	eleqtrrdi 2325	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ R)
38	35, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ R)
39		addclsr 7972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ R) → (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
40	7, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
41	15, 34, 40	rspcdva 2915	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))))
42	10, 41	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
43	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → 𝑢 ∈ P)
44	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → 𝐶 ∈ R)
45		mappsrprg 8023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ))
46	43, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ))
47		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧)
48		ltsosr 7983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <R Or R
49		ltrelsr 7957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <R ⊆ (R × R)
50	48, 49	sotri 5132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑧)
51	46, 47, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑧)
52		map2psrprg 8024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑧 ↔ ∃𝑞 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧))
53	44, 52	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑧 ↔ ∃𝑞 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧))
54	51, 53	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧)
55		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧)
56		simp-4r 544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
57	55, 56	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
58		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧)
59	58, 55	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ))
60	2	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑢 ∈ P)
61		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑞 ∈ P)
62	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝐶 ∈ R)
63		ltpsrprg 8022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑞))
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑞))
65	59, 64	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑢<P 𝑞)
66	57, 65	jca 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞))
67	66	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧 → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞)))
68	67	reximdva 2634	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (∃𝑞 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧 → ∃𝑞 ∈ P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞)))
69	54, 68	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞 ∈ P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞))
70		opeq1 3862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → ⟨𝑤, 1P⟩ = ⟨𝑞, 1P⟩)
71	70	eceq1d 6737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → [⟨𝑤, 1P⟩] ~R = [⟨𝑞, 1P⟩] ~R )
72	71	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ))
73	72	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
74		suplocsrlem.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
75	73, 74	elrab2 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐵 ↔ (𝑞 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
76	75	anbi1i 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢<P 𝑞) ↔ ((𝑞 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴) ∧ 𝑢<P 𝑞))
77		anass 401	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴) ∧ 𝑢<P 𝑞) ↔ (𝑞 ∈ P ∧ ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞)))
78	76, 77	bitri 184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢<P 𝑞) ↔ (𝑞 ∈ P ∧ ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞)))
79	78	rexbii2 2543	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ↔ ∃𝑞 ∈ P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞))
80	69, 79	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞)
81	80	rexlimdva2 2653	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 → ∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞))
82		breq1 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) → (𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
83		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
84		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
85	84, 75	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
86	85	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
87	82, 83, 86	rspcdva 2915	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
88	85	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ P)
89	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ P)
90	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ R)
91		ltpsrprg 8022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑞<P 𝑣))
92	88, 89, 90, 91	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑞<P 𝑣))
93	87, 92	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞<P 𝑣)
94	93	ralrimiva 2605	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) → ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)
95	94	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣))
96	81, 95	orim12d 793	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)))
97	42, 96	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣))
98	97	ex 115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) → (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)))
99	98	ralrimivva 2614	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ P ∀𝑣 ∈ P (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  {crab 2514   ⊆ wss 3200  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088   × cxp 4723  (class class class)co 6017  [cec 6699   / cqs 6700  Pcnp 7510  1_Pc1p 7511  <_P cltp 7514   ~_R cer 7515  Rcnr 7516  -1_Rcm1r 7519   +_R cplr 7520   <_R cltr 7522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-1o 6581  df-2o 6582  df-oadd 6585  df-omul 6586  df-er 6701  df-ec 6703  df-qs 6707  df-ni 7523  df-pli 7524  df-mi 7525  df-lti 7526  df-plpq 7563  df-mpq 7564  df-enq 7566  df-nqqs 7567  df-plqqs 7568  df-mqqs 7569  df-1nqqs 7570  df-rq 7571  df-ltnqqs 7572  df-enq0 7643  df-nq0 7644  df-0nq0 7645  df-plq0 7646  df-mq0 7647  df-inp 7685  df-i1p 7686  df-iplp 7687  df-imp 7688  df-iltp 7689  df-enr 7945  df-nr 7946  df-plr 7947  df-mr 7948  df-ltr 7949  df-0r 7950  df-1r 7951  df-m1r 7952

This theorem is referenced by:  suplocsrlempr  8026