Theorem suplocsrlemb 8121

Description: Lemma for suplocsr 8124. The set 𝐵 is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsrlem.b	⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
suplocsrlem.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
suplocsrlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
suplocsrlem.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
suplocsrlem.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplocsrlemb	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ P ∀𝑣 ∈ P (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑧,𝐵   𝐶,𝑞,𝑤   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑞,𝑢,𝑣,𝑧   𝑥,𝑢,𝑦   𝑦,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢,𝑞)   𝐶(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem suplocsrlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑢<P 𝑣)
2		simplrl 537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑢 ∈ P)
3		simplrr 538	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝑣 ∈ P)
4		suplocsrlem.ss	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
5		suplocsrlem.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sseldd 3239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ R)
7	6	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 𝐶 ∈ R)
8		ltpsrprg 8118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑣))
9	2, 3, 7, 8	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑣))
10	1, 9	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
11		breq2 4113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
12		breq2 4113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (𝑧 <R 𝑦 ↔ 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
13	12	ralbidv 2542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
14	13	orbi2d 798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))))
15	11, 14	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))))
16		breq1 4112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (𝑥 <R 𝑦 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦))
17		breq1 4112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (𝑥 <R 𝑧 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧))
18	17	rexbidv 2543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧))
19	18	orbi1d 799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
20	16, 19	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → ((𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦))))
21	20	ralbidv 2542	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) → (∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ R ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦))))
22		suplocsrlem.loc	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
24		1pr 7869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1P ∈ P
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → 1P ∈ P)
26	2, 25	opelxpd 4782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ⟨𝑢, 1P⟩ ∈ (P × P))
27		enrex 8052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ~R ∈ V
28	27	ecelqsi 6823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑢, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
29	26, 28	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
30		df-nr 8042	. . . . . . . . 9 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
31	29, 30	eleqtrrdi 2326	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ R)
32		addclsr 8068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ∈ R) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
33	7, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
34	21, 23, 33	rspcdva 2926	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ∀𝑦 ∈ R ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
35	3, 25	opelxpd 4782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P))
36	27	ecelqsi 6823	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
37	36, 30	eleqtrrdi 2326	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑣, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ R)
38	35, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ R)
39		addclsr 8068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ∈ R) → (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
40	7, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ R)
41	15, 34, 40	rspcdva 2926	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))))
42	10, 41	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
43	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → 𝑢 ∈ P)
44	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → 𝐶 ∈ R)
45		mappsrprg 8119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ))
46	43, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ))
47		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧)
48		ltsosr 8079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <R Or R
49		ltrelsr 8053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <R ⊆ (R × R)
50	48, 49	sotri 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑧)
51	46, 47, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑧)
52		map2psrprg 8120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑧 ↔ ∃𝑞 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧))
53	44, 52	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑧 ↔ ∃𝑞 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧))
54	51, 53	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧)
55		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧)
56		simp-4r 544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
57	55, 56	eqeltrd 2309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
58		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧)
59	58, 55	breqtrrd 4137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ))
60	2	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑢 ∈ P)
61		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑞 ∈ P)
62	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝐶 ∈ R)
63		ltpsrprg 8118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑞))
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → ((𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑢<P 𝑞))
65	59, 64	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → 𝑢<P 𝑞)
66	57, 65	jca 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞))
67	66	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) ∧ 𝑞 ∈ P) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧 → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞)))
68	67	reximdva 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → (∃𝑞 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) = 𝑧 → ∃𝑞 ∈ P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞)))
69	54, 68	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞 ∈ P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞))
70		opeq1 3883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → ⟨𝑤, 1P⟩ = ⟨𝑞, 1P⟩)
71	70	eceq1d 6803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → [⟨𝑤, 1P⟩] ~R = [⟨𝑞, 1P⟩] ~R )
72	71	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ))
73	72	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
74		suplocsrlem.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
75	73, 74	elrab2 2976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐵 ↔ (𝑞 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
76	75	anbi1i 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢<P 𝑞) ↔ ((𝑞 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴) ∧ 𝑢<P 𝑞))
77		anass 401	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴) ∧ 𝑢<P 𝑞) ↔ (𝑞 ∈ P ∧ ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞)))
78	76, 77	bitri 184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢<P 𝑞) ↔ (𝑞 ∈ P ∧ ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞)))
79	78	rexbii2 2553	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ↔ ∃𝑞 ∈ P ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑢<P 𝑞))
80	69, 79	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧) → ∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞)
81	80	rexlimdva2 2663	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 → ∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞))
82		breq1 4112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) → (𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
83		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
84		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
85	84, 75	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
86	85	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
87	82, 83, 86	rspcdva 2926	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
88	85	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ P)
89	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ P)
90	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ R)
91		ltpsrprg 8118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑞<P 𝑣))
92	88, 89, 90, 91	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐶 +R [⟨𝑞, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑞<P 𝑣))
93	87, 92	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞<P 𝑣)
94	93	ralrimiva 2615	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) → ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)
95	94	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) → ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣))
96	81, 95	orim12d 794	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝐶 +R [⟨𝑢, 1P⟩] ~R ) <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)))
97	42, 96	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) ∧ 𝑢<P 𝑣) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣))
98	97	ex 115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) → (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)))
99	98	ralrimivva 2624	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ P ∀𝑣 ∈ P (𝑢<P 𝑣 → (∃𝑞 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑞 ∨ ∀𝑞 ∈ 𝐵 𝑞<P 𝑣)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  {crab 2524   ⊆ wss 3211  ⟨cop 3692   class class class wbr 4109   × cxp 4747  (class class class)co 6050  [cec 6765   / cqs 6766  Pcnp 7606  1_Pc1p 7607  <_P cltp 7610   ~_R cer 7611  Rcnr 7612  -1_Rcm1r 7615   +_R cplr 7616   <_R cltr 7618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-rq 7667  df-ltnqqs 7668  df-enq0 7739  df-nq0 7740  df-0nq0 7741  df-plq0 7742  df-mq0 7743  df-inp 7781  df-i1p 7782  df-iplp 7783  df-imp 7784  df-iltp 7785  df-enr 8041  df-nr 8042  df-plr 8043  df-mr 8044  df-ltr 8045  df-0r 8046  df-1r 8047  df-m1r 8048

This theorem is referenced by:  suplocsrlempr  8122