ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2nnnn GIF version

Theorem peano2nnnn 7843
Description: A successor of a positive integer is a positive integer. This is a counterpart to peano2nn 8920 designed for real number axioms which involve to natural numbers (notably, axcaucvg 7890). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
peano1nnnn.n 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
Assertion
Ref Expression
peano2nnnn (𝐴𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem peano2nnnn
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1nnnn.n . . . . . 6 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
21eleq2i 2244 . . . . 5 (𝐴𝑁𝐴 {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
3 elintg 3850 . . . . 5 (𝐴𝑁 → (𝐴 {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴𝑧))
42, 3bitrid 192 . . . 4 (𝐴𝑁 → (𝐴𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴𝑧))
54ibi 176 . . 3 (𝐴𝑁 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴𝑧)
6 vex 2740 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
7 eleq2 2241 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ 𝑧))
8 eleq2 2241 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
98raleqbi1dv 2680 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
107, 9anbi12d 473 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)))
116, 10elab 2881 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
1211simprbi 275 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)
13 oveq1 5876 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 1) = (𝐴 + 1))
1413eleq1d 2246 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑧 ↔ (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
1514rspcva 2839 . . . . . 6 ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧) → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
1612, 15sylan2 286 . . . . 5 ((𝐴𝑧𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}) → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
1716expcom 116 . . . 4 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → (𝐴𝑧 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
1817ralimia 2538 . . 3 (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴𝑧 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
195, 18syl 14 . 2 (𝐴𝑁 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
20 df-1 7810 . . . . 5 1 = ⟨1R, 0R
21 1sr 7741 . . . . . 6 1RR
22 0r 7740 . . . . . 6 0RR
23 opexg 4225 . . . . . 6 ((1RR ∧ 0RR) → ⟨1R, 0R⟩ ∈ V)
2421, 22, 23mp2an 426 . . . . 5 ⟨1R, 0R⟩ ∈ V
2520, 24eqeltri 2250 . . . 4 1 ∈ V
26 addvalex 7834 . . . 4 ((𝐴𝑁 ∧ 1 ∈ V) → (𝐴 + 1) ∈ V)
2725, 26mpan2 425 . . 3 (𝐴𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ V)
281eleq2i 2244 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ (𝐴 + 1) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
29 elintg 3850 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ V → ((𝐴 + 1) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
3028, 29bitrid 192 . . 3 ((𝐴 + 1) ∈ V → ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
3127, 30syl 14 . 2 (𝐴𝑁 → ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
3219, 31mpbird 167 1 (𝐴𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  {cab 2163  wral 2455  Vcvv 2737  cop 3594   cint 3842  (class class class)co 5869  Rcnr 7287  0Rc0r 7288  1Rc1r 7289  1c1 7803   + caddc 7805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343  df-enq0 7414  df-nq0 7415  df-0nq0 7416  df-plq0 7417  df-mq0 7418  df-inp 7456  df-i1p 7457  df-iplp 7458  df-enr 7716  df-nr 7717  df-0r 7721  df-1r 7722  df-c 7808  df-1 7810  df-add 7813
This theorem is referenced by:  nnindnn  7883
  Copyright terms: Public domain W3C validator