Theorem peano2nnnn 7453

Description: A successor of a positive integer is a positive integer. This is a counterpart to peano2nn 8497 designed for real number axioms which involve to natural numbers (notably, axcaucvg 7498). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
peano1nnnn.n	⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
peano2nnnn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem peano2nnnn

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1nnnn.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2	1	eleq2i 2155	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 ↔ 𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
3		elintg 3704	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → (𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴 ∈ 𝑧))
4	2, 3	syl5bb 191	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → (𝐴 ∈ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴 ∈ 𝑧))
5	4	ibi 175	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴 ∈ 𝑧)
6		vex 2625	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
7		eleq2 2152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ 𝑧))
8		eleq2 2152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
9	8	raleqbi1dv 2573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
10	7, 9	anbi12d 458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)))
11	6, 10	elab 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
12	11	simprbi 270	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)
13		oveq1 5675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 1) = (𝐴 + 1))
14	13	eleq1d 2157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑧 ↔ (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
15	14	rspcva 2723	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧) → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
16	12, 15	sylan2 281	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}) → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
17	16	expcom 115	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
18	17	ralimia 2437	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴 ∈ 𝑧 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
19	5, 18	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
20		df-1 7421	. . . . 5 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
21		1sr 7360	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
22		0r 7359	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
23		opexg 4066	. . . . . 6 ⊢ ((1R ∈ R ∧ 0R ∈ R) → ⟨1R, 0R⟩ ∈ V)
24	21, 22, 23	mp2an 418	. . . . 5 ⊢ ⟨1R, 0R⟩ ∈ V
25	20, 24	eqeltri 2161	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
26		addvalex 7444	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑁 ∧ 1 ∈ V) → (𝐴 + 1) ∈ V)
27	25, 26	mpan2 417	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ V)
28	1	eleq2i 2155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ (𝐴 + 1) ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
29		elintg 3704	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ V → ((𝐴 + 1) ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
30	28, 29	syl5bb 191	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ V → ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
31	27, 30	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
32	19, 31	mpbird 166	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  {cab 2075  ∀wral 2360  Vcvv 2622  ⟨cop 3455  ∩ cint 3696  (class class class)co 5668  Rcnr 6919  0_Rc0r 6920  1_Rc1r 6921  1c1 7414   + caddc 7416

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-eprel 4127  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-1o 6197  df-2o 6198  df-oadd 6201  df-omul 6202  df-er 6308  df-ec 6310  df-qs 6314  df-ni 6926  df-pli 6927  df-mi 6928  df-lti 6929  df-plpq 6966  df-mpq 6967  df-enq 6969  df-nqqs 6970  df-plqqs 6971  df-mqqs 6972  df-1nqqs 6973  df-rq 6974  df-ltnqqs 6975  df-enq0 7046  df-nq0 7047  df-0nq0 7048  df-plq0 7049  df-mq0 7050  df-inp 7088  df-i1p 7089  df-iplp 7090  df-enr 7335  df-nr 7336  df-0r 7340  df-1r 7341  df-c 7419  df-1 7421  df-add 7424

This theorem is referenced by:  nnindnn  7491