ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2nnnn GIF version

Theorem peano2nnnn 7453
Description: A successor of a positive integer is a positive integer. This is a counterpart to peano2nn 8497 designed for real number axioms which involve to natural numbers (notably, axcaucvg 7498). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
peano1nnnn.n 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
Assertion
Ref Expression
peano2nnnn (𝐴𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem peano2nnnn
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1nnnn.n . . . . . 6 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
21eleq2i 2155 . . . . 5 (𝐴𝑁𝐴 {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
3 elintg 3704 . . . . 5 (𝐴𝑁 → (𝐴 {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴𝑧))
42, 3syl5bb 191 . . . 4 (𝐴𝑁 → (𝐴𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴𝑧))
54ibi 175 . . 3 (𝐴𝑁 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴𝑧)
6 vex 2625 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
7 eleq2 2152 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ 𝑧))
8 eleq2 2152 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
98raleqbi1dv 2573 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
107, 9anbi12d 458 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)))
116, 10elab 2763 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
1211simprbi 270 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)
13 oveq1 5675 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 1) = (𝐴 + 1))
1413eleq1d 2157 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑧 ↔ (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
1514rspcva 2723 . . . . . 6 ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧) → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
1612, 15sylan2 281 . . . . 5 ((𝐴𝑧𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}) → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
1716expcom 115 . . . 4 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → (𝐴𝑧 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
1817ralimia 2437 . . 3 (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴𝑧 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
195, 18syl 14 . 2 (𝐴𝑁 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
20 df-1 7421 . . . . 5 1 = ⟨1R, 0R
21 1sr 7360 . . . . . 6 1RR
22 0r 7359 . . . . . 6 0RR
23 opexg 4066 . . . . . 6 ((1RR ∧ 0RR) → ⟨1R, 0R⟩ ∈ V)
2421, 22, 23mp2an 418 . . . . 5 ⟨1R, 0R⟩ ∈ V
2520, 24eqeltri 2161 . . . 4 1 ∈ V
26 addvalex 7444 . . . 4 ((𝐴𝑁 ∧ 1 ∈ V) → (𝐴 + 1) ∈ V)
2725, 26mpan2 417 . . 3 (𝐴𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ V)
281eleq2i 2155 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ (𝐴 + 1) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
29 elintg 3704 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ V → ((𝐴 + 1) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
3028, 29syl5bb 191 . . 3 ((𝐴 + 1) ∈ V → ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
3127, 30syl 14 . 2 (𝐴𝑁 → ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
3219, 31mpbird 166 1 (𝐴𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1290  wcel 1439  {cab 2075  wral 2360  Vcvv 2622  cop 3455   cint 3696  (class class class)co 5668  Rcnr 6919  0Rc0r 6920  1Rc1r 6921  1c1 7414   + caddc 7416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-eprel 4127  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-1o 6197  df-2o 6198  df-oadd 6201  df-omul 6202  df-er 6308  df-ec 6310  df-qs 6314  df-ni 6926  df-pli 6927  df-mi 6928  df-lti 6929  df-plpq 6966  df-mpq 6967  df-enq 6969  df-nqqs 6970  df-plqqs 6971  df-mqqs 6972  df-1nqqs 6973  df-rq 6974  df-ltnqqs 6975  df-enq0 7046  df-nq0 7047  df-0nq0 7048  df-plq0 7049  df-mq0 7050  df-inp 7088  df-i1p 7089  df-iplp 7090  df-enr 7335  df-nr 7336  df-0r 7340  df-1r 7341  df-c 7419  df-1 7421  df-add 7424
This theorem is referenced by:  nnindnn  7491
  Copyright terms: Public domain W3C validator