ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2nnnn GIF version

Theorem peano2nnnn 7827
Description: A successor of a positive integer is a positive integer. This is a counterpart to peano2nn 8904 designed for real number axioms which involve to natural numbers (notably, axcaucvg 7874). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
peano1nnnn.n 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
Assertion
Ref Expression
peano2nnnn (𝐴𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem peano2nnnn
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1nnnn.n . . . . . 6 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
21eleq2i 2242 . . . . 5 (𝐴𝑁𝐴 {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
3 elintg 3848 . . . . 5 (𝐴𝑁 → (𝐴 {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴𝑧))
42, 3bitrid 192 . . . 4 (𝐴𝑁 → (𝐴𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴𝑧))
54ibi 176 . . 3 (𝐴𝑁 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴𝑧)
6 vex 2738 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
7 eleq2 2239 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ 𝑧))
8 eleq2 2239 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
98raleqbi1dv 2678 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
107, 9anbi12d 473 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)))
116, 10elab 2879 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
1211simprbi 275 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)
13 oveq1 5872 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 1) = (𝐴 + 1))
1413eleq1d 2244 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑧 ↔ (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
1514rspcva 2837 . . . . . 6 ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧) → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
1612, 15sylan2 286 . . . . 5 ((𝐴𝑧𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}) → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
1716expcom 116 . . . 4 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → (𝐴𝑧 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
1817ralimia 2536 . . 3 (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴𝑧 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
195, 18syl 14 . 2 (𝐴𝑁 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
20 df-1 7794 . . . . 5 1 = ⟨1R, 0R
21 1sr 7725 . . . . . 6 1RR
22 0r 7724 . . . . . 6 0RR
23 opexg 4222 . . . . . 6 ((1RR ∧ 0RR) → ⟨1R, 0R⟩ ∈ V)
2421, 22, 23mp2an 426 . . . . 5 ⟨1R, 0R⟩ ∈ V
2520, 24eqeltri 2248 . . . 4 1 ∈ V
26 addvalex 7818 . . . 4 ((𝐴𝑁 ∧ 1 ∈ V) → (𝐴 + 1) ∈ V)
2725, 26mpan2 425 . . 3 (𝐴𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ V)
281eleq2i 2242 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ (𝐴 + 1) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
29 elintg 3848 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ V → ((𝐴 + 1) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
3028, 29bitrid 192 . . 3 ((𝐴 + 1) ∈ V → ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
3127, 30syl 14 . 2 (𝐴𝑁 → ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
3219, 31mpbird 167 1 (𝐴𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2146  {cab 2161  wral 2453  Vcvv 2735  cop 3592   cint 3840  (class class class)co 5865  Rcnr 7271  0Rc0r 7272  1Rc1r 7273  1c1 7787   + caddc 7789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-eprel 4283  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-1o 6407  df-2o 6408  df-oadd 6411  df-omul 6412  df-er 6525  df-ec 6527  df-qs 6531  df-ni 7278  df-pli 7279  df-mi 7280  df-lti 7281  df-plpq 7318  df-mpq 7319  df-enq 7321  df-nqqs 7322  df-plqqs 7323  df-mqqs 7324  df-1nqqs 7325  df-rq 7326  df-ltnqqs 7327  df-enq0 7398  df-nq0 7399  df-0nq0 7400  df-plq0 7401  df-mq0 7402  df-inp 7440  df-i1p 7441  df-iplp 7442  df-enr 7700  df-nr 7701  df-0r 7705  df-1r 7706  df-c 7792  df-1 7794  df-add 7797
This theorem is referenced by:  nnindnn  7867
  Copyright terms: Public domain W3C validator