Theorem peano2nnnn 8226

Description: A successor of a positive integer is a positive integer. This is a counterpart to peano2nn 9325 designed for real number axioms which involve to natural numbers (notably, axcaucvg 8273). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
peano1nnnn.n	⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
peano2nnnn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑁(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem peano2nnnn

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1nnnn.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2	1	eleq2i 2305	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 ↔ 𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
3		elintg 3978	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → (𝐴 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴 ∈ 𝑧))
4	2, 3	bitrid 192	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → (𝐴 ∈ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴 ∈ 𝑧))
5	4	ibi 176	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴 ∈ 𝑧)
6		vex 2824	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
7		eleq2 2302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ 𝑧))
8		eleq2 2302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
9	8	raleqbi1dv 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
10	7, 9	anbi12d 477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)))
11	6, 10	elab 2970	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
12	11	simprbi 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)
13		oveq1 6095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 1) = (𝐴 + 1))
14	13	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑧 ↔ (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
15	14	rspcva 2927	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧) → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
16	12, 15	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}) → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
17	16	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
18	17	ralimia 2611	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}𝐴 ∈ 𝑧 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
19	5, 18	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧)
20		df-1 8193	. . . . 5 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
21		1sr 8124	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
22		0r 8123	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
23		opexg 4370	. . . . . 6 ⊢ ((1R ∈ R ∧ 0R ∈ R) → ⟨1R, 0R⟩ ∈ V)
24	21, 22, 23	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ ⟨1R, 0R⟩ ∈ V
25	20, 24	eqeltri 2311	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
26		addvalex 8217	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑁 ∧ 1 ∈ V) → (𝐴 + 1) ∈ V)
27	25, 26	mpan2 429	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ V)
28	1	eleq2i 2305	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ (𝐴 + 1) ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
29		elintg 3978	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ V → ((𝐴 + 1) ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
30	28, 29	bitrid 192	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ V → ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
31	27, 30	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → ((𝐴 + 1) ∈ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} (𝐴 + 1) ∈ 𝑧))
32	19, 31	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → (𝐴 + 1) ∈ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∀wral 2528  Vcvv 2821  ⟨cop 3712  ∩ cint 3970  (class class class)co 6088  Rcnr 7670  0_Rc0r 7671  1_Rc1r 7672  1c1 8186   + caddc 8188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-pli 7678  df-mi 7679  df-lti 7680  df-plpq 7717  df-mpq 7718  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-plqqs 7722  df-mqqs 7723  df-1nqqs 7724  df-rq 7725  df-ltnqqs 7726  df-enq0 7797  df-nq0 7798  df-0nq0 7799  df-plq0 7800  df-mq0 7801  df-inp 7839  df-i1p 7840  df-iplp 7841  df-enr 8099  df-nr 8100  df-0r 8104  df-1r 8105  df-c 8191  df-1 8193  df-add 8196

This theorem is used by:  nnindnn  8266