Theorem 1nn 8859

Description: Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
1nn	⊢ 1 ∈ ℕ

Proof of Theorem 1nn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfnn2 8850	. . . 4 ⊢ ℕ = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2	1	eleq2i 2231	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
3		1re 7889	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		elintg 3826	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}1 ∈ 𝑧))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (1 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}1 ∈ 𝑧)
6	2, 5	bitri 183	. 2 ⊢ (1 ∈ ℕ ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}1 ∈ 𝑧)
7		vex 2724	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
8		eleq2 2228	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ 𝑧))
9		eleq2 2228	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
10	9	raleqbi1dv 2667	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
11	8, 10	anbi12d 465	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)))
12	7, 11	elab 2865	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
13	12	simplbi 272	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → 1 ∈ 𝑧)
14	6, 13	mprgbir 2522	1 ⊢ 1 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2135  {cab 2150  ∀wral 2442  ∩ cint 3818  (class class class)co 5836  ℝcr 7743  1c1 7745   + caddc 7747  ℕcn 8848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146  ax-1re 7838

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-v 2723  df-int 3819  df-inn 8849

This theorem is referenced by:  nnind  8864  nn1suc  8867  2nn  9009  1nn0  9121  nn0p1nn  9144  1z  9208  neg1z  9214  elz2  9253  nneoor  9284  9p1e10  9315  indstr  9522  elnn1uz2  9536  zq  9555  qreccl  9571  fz01or  10036  exp3vallem  10446  exp1  10451  nnexpcl  10458  expnbnd  10567  3dec  10616  fac1  10631  faccl  10637  faclbnd3  10645  resqrexlemf1  10936  resqrexlemcalc3  10944  resqrexlemnmsq  10945  resqrexlemnm  10946  resqrexlemcvg  10947  resqrexlemglsq  10950  resqrexlemga  10951  sumsnf  11336  cvgratnnlemnexp  11451  cvgratnnlemfm  11456  cvgratnnlemrate  11457  cvgratnn  11458  prodsnf  11519  fprodnncl  11537  eftlub  11617  eirraplem  11703  n2dvds1  11834  ndvdsp1  11854  gcd1  11905  bezoutr1  11951  ncoprmgcdne1b  12000  1nprm  12025  1idssfct  12026  isprm2lem  12027  qden1elz  12114  phicl2  12123  phi1  12128  phiprm  12132  eulerthlema  12139  pcpre1  12201  pczpre  12206  pcmptcl  12249  pcmpt  12250  exmidunben  12296  nninfdc  12325  base0  12380  baseval  12383  baseid  12384  basendx  12385  basendxnn  12386  1strstrg  12429  2strstrg  12431  basendxnplusgndx  12437  basendxnmulrndx  12445  rngstrg  12446  lmodstrd  12464  topgrpstrd  12482  setsmsdsg  13021  trilpolemgt1  13752