Theorem 1nn 8993

Description: Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
1nn	⊢ 1 ∈ ℕ

Proof of Theorem 1nn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfnn2 8984	. . . 4 ⊢ ℕ = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2	1	eleq2i 2260	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
3		1re 8018	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		elintg 3878	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}1 ∈ 𝑧))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (1 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}1 ∈ 𝑧)
6	2, 5	bitri 184	. 2 ⊢ (1 ∈ ℕ ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}1 ∈ 𝑧)
7		vex 2763	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
8		eleq2 2257	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ 𝑧))
9		eleq2 2257	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
10	9	raleqbi1dv 2702	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
11	8, 10	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)))
12	7, 11	elab 2904	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
13	12	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → 1 ∈ 𝑧)
14	6, 13	mprgbir 2552	1 ⊢ 1 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164  {cab 2179  ∀wral 2472  ∩ cint 3870  (class class class)co 5918  ℝcr 7871  1c1 7873   + caddc 7875  ℕcn 8982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-1re 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-v 2762  df-int 3871  df-inn 8983

This theorem is referenced by:  nnind  8998  nn1suc  9001  2nn  9143  1nn0  9256  nn0p1nn  9279  1z  9343  neg1z  9349  elz2  9388  nneoor  9419  9p1e10  9450  indstr  9658  elnn1uz2  9672  zq  9691  qreccl  9707  fz01or  10177  exp3vallem  10611  exp1  10616  nnexpcl  10623  expnbnd  10734  3dec  10785  fac1  10800  faccl  10806  faclbnd3  10814  fiubnn  10901  resqrexlemf1  11152  resqrexlemcalc3  11160  resqrexlemnmsq  11161  resqrexlemnm  11162  resqrexlemcvg  11163  resqrexlemglsq  11166  resqrexlemga  11167  sumsnf  11552  cvgratnnlemnexp  11667  cvgratnnlemfm  11672  cvgratnnlemrate  11673  cvgratnn  11674  prodsnf  11735  fprodnncl  11753  eftlub  11833  eirraplem  11920  n2dvds1  12053  ndvdsp1  12073  gcd1  12124  bezoutr1  12170  ncoprmgcdne1b  12227  1nprm  12252  1idssfct  12253  isprm2lem  12254  qden1elz  12343  phicl2  12352  phi1  12357  phiprm  12361  eulerthlema  12368  pcpre1  12430  pczpre  12435  pcmptcl  12480  pcmpt  12481  infpnlem2  12498  mul4sq  12532  exmidunben  12583  nninfdc  12610  base0  12668  baseval  12671  baseid  12672  basendx  12673  basendxnn  12674  1strstrg  12734  2strstrg  12736  basendxnplusgndx  12742  basendxnmulrndx  12751  rngstrg  12752  lmodstrd  12781  topgrpstrd  12813  basendxltdsndx  12832  dsndxnplusgndx  12834  dsndxnmulrndx  12835  slotsdnscsi  12836  dsndxntsetndx  12837  slotsdifdsndx  12838  basendxltunifndx  12842  unifndxntsetndx  12844  slotsdifunifndx  12845  mulg1  13199  mulg2  13201  mulgnndir  13221  cnfldstr  14049  setsmsdsg  14648  lgsdir2lem1  15144  lgsdir2lem4  15147  lgsdir2lem5  15148  lgsdir  15151  lgsne0  15154  lgs1  15160  trilpolemgt1  15529