ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1nn GIF version

Theorem 1nn 8368
Description: Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
1nn 1 ∈ ℕ

Proof of Theorem 1nn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfnn2 8359 . . . 4 ℕ = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
21eleq2i 2151 . . 3 (1 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
3 1re 7431 . . . 4 1 ∈ ℝ
4 elintg 3679 . . . 4 (1 ∈ ℝ → (1 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}1 ∈ 𝑧))
53, 4ax-mp 7 . . 3 (1 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}1 ∈ 𝑧)
62, 5bitri 182 . 2 (1 ∈ ℕ ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}1 ∈ 𝑧)
7 vex 2618 . . . 4 𝑧 ∈ V
8 eleq2 2148 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ 𝑧))
9 eleq2 2148 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
109raleqbi1dv 2566 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
118, 10anbi12d 457 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)))
127, 11elab 2751 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
1312simplbi 268 . 2 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → 1 ∈ 𝑧)
146, 13mprgbir 2429 1 1 ∈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  wcel 1436  {cab 2071  wral 2355   cint 3671  (class class class)co 5613  cr 7293  1c1 7295   + caddc 7297  cn 8357
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-1re 7383
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-v 2617  df-int 3672  df-inn 8358
This theorem is referenced by:  nnind  8373  nn1suc  8376  2nn  8511  1nn0  8622  nn0p1nn  8645  1z  8709  neg1z  8715  elz2  8751  nneoor  8781  9p1e10  8811  indstr  9013  elnn1uz2  9026  zq  9043  qreccl  9059  fz01or  9455  expivallem  9854  exp1  9859  nnexpcl  9866  expnbnd  9973  3dec  10019  fac1  10033  faccl  10039  faclbnd3  10047  resqrexlemf1  10336  resqrexlemcalc3  10344  resqrexlemnmsq  10345  resqrexlemnm  10346  resqrexlemcvg  10347  resqrexlemglsq  10350  resqrexlemga  10351  n2dvds1  10787  ndvdsp1  10807  gcd1  10853  bezoutr1  10897  ncoprmgcdne1b  10946  1nprm  10971  1idssfct  10972  isprm2lem  10973  qden1elz  11058  phicl2  11065  phi1  11070  phiprm  11074
  Copyright terms: Public domain W3C validator