Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano5nnnn GIF version

Theorem peano5nnnn 7712
 Description: Peano's inductive postulate. This is a counterpart to peano5nni 8735 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 7720). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nntopi.n 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
Assertion
Ref Expression
peano5nnnn ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑧 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑧,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem peano5nnnn
StepHypRef Expression
1 oveq1 5781 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))
21eleq1d 2208 . . 3 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + 1) ∈ 𝐴))
32cbvralv 2654 . 2 (∀𝑦𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑧 + 1) ∈ 𝐴)
4 ax1re 7682 . . . . 5 1 ∈ ℝ
5 elin 3259 . . . . . 6 (1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ↔ (1 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ ℝ))
65biimpri 132 . . . . 5 ((1 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
74, 6mpan2 421 . . . 4 (1 ∈ 𝐴 → 1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
8 inss1 3296 . . . . . 6 (𝐴 ∩ ℝ) ⊆ 𝐴
9 ssralv 3161 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ ℝ) ⊆ 𝐴 → (∀𝑦𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ 𝐴))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ 𝐴)
11 inss2 3297 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ℝ) ⊆ ℝ
1211sseli 3093 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
13 axaddrcl 7685 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
144, 13mpan2 421 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
15 elin 3259 . . . . . . . 8 ((𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ↔ ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ))
1615simplbi2com 1420 . . . . . . 7 ((𝑦 + 1) ∈ ℝ → ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
1712, 14, 163syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) → ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
1817ralimia 2493 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
1910, 18syl 14 . . . 4 (∀𝑦𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
20 axcnex 7679 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
21 axresscn 7680 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
2220, 21ssexi 4066 . . . . . 6 ℝ ∈ V
2322inex2 4063 . . . . 5 (𝐴 ∩ ℝ) ∈ V
24 eleq2 2203 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
25 eleq2 2203 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
2625raleqbi1dv 2634 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → (∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
2724, 26anbi12d 464 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))))
2827elabg 2830 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ V → ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))))
29 nntopi.n . . . . . . 7 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
30 intss1 3786 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
3129, 30eqsstrid 3143 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
3228, 31syl6bir 163 . . . . 5 ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ V → ((1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)) → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ)))
3323, 32ax-mp 5 . . . 4 ((1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)) → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
347, 19, 33syl2an 287 . . 3 ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
3534, 8sstrdi 3109 . 2 ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁𝐴)
363, 35sylan2br 286 1 ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑧 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cab 2125  ∀wral 2416  Vcvv 2686   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  ∩ cint 3771  (class class class)co 5774  ℂcc 7630  ℝcr 7631  1c1 7633   + caddc 7635 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-rq 7172  df-ltnqqs 7173  df-enq0 7244  df-nq0 7245  df-0nq0 7246  df-plq0 7247  df-mq0 7248  df-inp 7286  df-i1p 7287  df-iplp 7288  df-enr 7546  df-nr 7547  df-plr 7548  df-0r 7551  df-1r 7552  df-c 7638  df-1 7640  df-r 7642  df-add 7643 This theorem is referenced by:  nnindnn  7713
 Copyright terms: Public domain W3C validator