Theorem peano5nnnn 7854

Description: Peano's inductive postulate. This is a counterpart to peano5nni 8881 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 7862). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nntopi.n	⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
peano5nnnn	⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑧,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem peano5nnnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5860	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))
2	1	eleq1d 2239	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + 1) ∈ 𝐴))
3	2	cbvralv 2696	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ∈ 𝐴)
4		ax1re 7824	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		elin 3310	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ↔ (1 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ ℝ))
6	5	biimpri 132	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
7	4, 6	mpan2 423	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝐴 → 1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
8		inss1 3347	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ ℝ) ⊆ 𝐴
9		ssralv 3211	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ⊆ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ 𝐴))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ 𝐴)
11		inss2 3348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ℝ) ⊆ ℝ
12	11	sseli 3143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
13		axaddrcl 7827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
14	4, 13	mpan2 423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
15		elin 3310	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ↔ ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ))
16	15	simplbi2com 1437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 1) ∈ ℝ → ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
17	12, 14, 16	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) → ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
18	17	ralimia 2531	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
19	10, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
20		axcnex 7821	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
21		axresscn 7822	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
22	20, 21	ssexi 4127	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	inex2 4124	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ ℝ) ∈ V
24		eleq2 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
25		eleq2 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
26	25	raleqbi1dv 2673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
27	24, 26	anbi12d 470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))))
28	27	elabg 2876	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ V → ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))))
29		nntopi.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
30		intss1 3846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
31	29, 30	eqsstrid 3193	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
32	28, 31	syl6bir 163	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ V → ((1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)) → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ)))
33	23, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)) → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
34	7, 19, 33	syl2an 287	. . 3 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
35	34, 8	sstrdi 3159	. 2 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ 𝐴)
36	3, 35	sylan2br 286	1 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {cab 2156  ∀wral 2448  Vcvv 2730   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  ∩ cint 3831  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  1c1 7775   + caddc 7777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-enr 7688  df-nr 7689  df-plr 7690  df-0r 7693  df-1r 7694  df-c 7780  df-1 7782  df-r 7784  df-add 7785

This theorem is referenced by:  nnindnn  7855