Theorem peano5nnnn 8249

Description: Peano's inductive postulate. This is a counterpart to peano5nni 9286 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 8257). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nntopi.n	⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
peano5nnnn	⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑧,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem peano5nnnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6082	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))
2	1	eleq1d 2307	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + 1) ∈ 𝐴))
3	2	cbvralv 2786	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ∈ 𝐴)
4		ax1re 8219	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		elin 3412	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ↔ (1 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ ℝ))
6	5	biimpri 133	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
7	4, 6	mpan2 429	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝐴 → 1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
8		inss1 3451	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ ℝ) ⊆ 𝐴
9		ssralv 3312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ⊆ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ 𝐴))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ 𝐴)
11		inss2 3452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ℝ) ⊆ ℝ
12	11	sseli 3244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
13		axaddrcl 8222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
14	4, 13	mpan2 429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
15		elin 3412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ↔ ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ))
16	15	simplbi2com 1494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 1) ∈ ℝ → ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
17	12, 14, 16	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) → ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
18	17	ralimia 2611	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
19	10, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
20		axcnex 8216	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
21		axresscn 8217	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
22	20, 21	ssexi 4266	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	inex2 4263	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ ℝ) ∈ V
24		eleq2 2302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
25		eleq2 2302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
26	25	raleqbi1dv 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
27	24, 26	anbi12d 477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))))
28	27	elabg 2972	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ V → ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))))
29		nntopi.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
30		intss1 3980	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
31	29, 30	eqsstrid 3294	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
32	28, 31	biimtrrdi 164	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ V → ((1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)) → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ)))
33	23, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)) → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
34	7, 19, 33	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
35	34, 8	sstrdi 3260	. 2 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ 𝐴)
36	3, 35	sylan2br 288	1 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∀wral 2528  Vcvv 2821   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∩ cint 3965  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  1c1 8170   + caddc 8172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-rq 7709  df-ltnqqs 7710  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-0nq0 7783  df-plq0 7784  df-mq0 7785  df-inp 7823  df-i1p 7824  df-iplp 7825  df-enr 8083  df-nr 8084  df-plr 8085  df-0r 8088  df-1r 8089  df-c 8175  df-1 8177  df-r 8179  df-add 8180

This theorem is referenced by:  nnindnn  8250