Theorem peano5nnnn 7866

Description: Peano's inductive postulate. This is a counterpart to peano5nni 8893 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 7874). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nntopi.n	⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
peano5nnnn	⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑧,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem peano5nnnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5872	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))
2	1	eleq1d 2244	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + 1) ∈ 𝐴))
3	2	cbvralv 2701	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ∈ 𝐴)
4		ax1re 7836	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		elin 3316	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ↔ (1 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ ℝ))
6	5	biimpri 133	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
7	4, 6	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝐴 → 1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
8		inss1 3353	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ ℝ) ⊆ 𝐴
9		ssralv 3217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ⊆ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ 𝐴))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ 𝐴)
11		inss2 3354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ℝ) ⊆ ℝ
12	11	sseli 3149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
13		axaddrcl 7839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
14	4, 13	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
15		elin 3316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ↔ ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ))
16	15	simplbi2com 1442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 1) ∈ ℝ → ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
17	12, 14, 16	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) → ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
18	17	ralimia 2536	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
19	10, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
20		axcnex 7833	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
21		axresscn 7834	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
22	20, 21	ssexi 4136	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	inex2 4133	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ ℝ) ∈ V
24		eleq2 2239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
25		eleq2 2239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
26	25	raleqbi1dv 2678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
27	24, 26	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))))
28	27	elabg 2881	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ V → ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))))
29		nntopi.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
30		intss1 3855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
31	29, 30	eqsstrid 3199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
32	28, 31	syl6bir 164	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ V → ((1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)) → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ)))
33	23, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)) → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
34	7, 19, 33	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
35	34, 8	sstrdi 3165	. 2 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ 𝐴)
36	3, 35	sylan2br 288	1 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  {cab 2161  ∀wral 2453  Vcvv 2735   ∩ cin 3126   ⊆ wss 3127  ∩ cint 3840  (class class class)co 5865  ℂcc 7784  ℝcr 7785  1c1 7787   + caddc 7789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-eprel 4283  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-1o 6407  df-2o 6408  df-oadd 6411  df-omul 6412  df-er 6525  df-ec 6527  df-qs 6531  df-ni 7278  df-pli 7279  df-mi 7280  df-lti 7281  df-plpq 7318  df-mpq 7319  df-enq 7321  df-nqqs 7322  df-plqqs 7323  df-mqqs 7324  df-1nqqs 7325  df-rq 7326  df-ltnqqs 7327  df-enq0 7398  df-nq0 7399  df-0nq0 7400  df-plq0 7401  df-mq0 7402  df-inp 7440  df-i1p 7441  df-iplp 7442  df-enr 7700  df-nr 7701  df-plr 7702  df-0r 7705  df-1r 7706  df-c 7792  df-1 7794  df-r 7796  df-add 7797

This theorem is referenced by:  nnindnn  7867