Theorem peano5nnnn 8155

Description: Peano's inductive postulate. This is a counterpart to peano5nni 9188 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 8163). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nntopi.n	⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
peano5nnnn	⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑧,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem peano5nnnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6035	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))
2	1	eleq1d 2300	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + 1) ∈ 𝐴))
3	2	cbvralv 2768	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ∈ 𝐴)
4		ax1re 8125	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		elin 3392	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ↔ (1 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ ℝ))
6	5	biimpri 133	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
7	4, 6	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝐴 → 1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
8		inss1 3429	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ ℝ) ⊆ 𝐴
9		ssralv 3292	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ⊆ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ 𝐴))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ 𝐴)
11		inss2 3430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ℝ) ⊆ ℝ
12	11	sseli 3224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
13		axaddrcl 8128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
14	4, 13	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
15		elin 3392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ↔ ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ))
16	15	simplbi2com 1490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 1) ∈ ℝ → ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
17	12, 14, 16	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) → ((𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
18	17	ralimia 2594	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
19	10, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))
20		axcnex 8122	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
21		axresscn 8123	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
22	20, 21	ssexi 4232	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	inex2 4229	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ ℝ) ∈ V
24		eleq2 2295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
25		eleq2 2295	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
26	25	raleqbi1dv 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
27	24, 26	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ ℝ) → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))))
28	27	elabg 2953	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ V → ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ))))
29		nntopi.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
30		intss1 3948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
31	29, 30	eqsstrid 3274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
32	28, 31	biimtrrdi 164	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ ℝ) ∈ V → ((1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)) → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ)))
33	23, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)(𝑦 + 1) ∈ (𝐴 ∩ ℝ)) → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
34	7, 19, 33	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ (𝐴 ∩ ℝ))
35	34, 8	sstrdi 3240	. 2 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ 𝐴)
36	3, 35	sylan2br 288	1 ⊢ ((1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {cab 2217  ∀wral 2511  Vcvv 2803   ∩ cin 3200   ⊆ wss 3201  ∩ cint 3933  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  1c1 8076   + caddc 8078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-pli 7568  df-mi 7569  df-lti 7570  df-plpq 7607  df-mpq 7608  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-plqqs 7612  df-mqqs 7613  df-1nqqs 7614  df-rq 7615  df-ltnqqs 7616  df-enq0 7687  df-nq0 7688  df-0nq0 7689  df-plq0 7690  df-mq0 7691  df-inp 7729  df-i1p 7730  df-iplp 7731  df-enr 7989  df-nr 7990  df-plr 7991  df-0r 7994  df-1r 7995  df-c 8081  df-1 8083  df-r 8085  df-add 8086

This theorem is referenced by:  nnindnn  8156