Theorem peano1nnnn 8035

Description: One is an element of ℕ. This is a counterpart to 1nn 9117 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 8083). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
peano1nnnn.n	⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
peano1nnnn	⊢ 1 ∈ 𝑁

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem peano1nnnn

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1nnnn.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2	1	eleq2i 2296	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑁 ↔ 1 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
3		df-1 8003	. . . . 5 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
4		1sr 7934	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
5		opelreal 8010	. . . . . 6 ⊢ (⟨1R, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 1R ∈ R)
6	4, 5	mpbir 146	. . . . 5 ⊢ ⟨1R, 0R⟩ ∈ ℝ
7	3, 6	eqeltri 2302	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		elintg 3930	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}1 ∈ 𝑧))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (1 ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}1 ∈ 𝑧)
10	2, 9	bitri 184	. 2 ⊢ (1 ∈ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}1 ∈ 𝑧)
11		vex 2802	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
12		eleq2 2293	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ 𝑧))
13		eleq2 2293	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
14	13	raleqbi1dv 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
15	12, 14	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)))
16	11, 15	elab 2947	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
17	16	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → 1 ∈ 𝑧)
18	10, 17	mprgbir 2588	1 ⊢ 1 ∈ 𝑁

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∀wral 2508  ⟨cop 3669  ∩ cint 3922  (class class class)co 6000  Rcnr 7480  0_Rc0r 7481  1_Rc1r 7482  ℝcr 7994  1c1 7996   + caddc 7998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-eprel 4379  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-1o 6560  df-2o 6561  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-pli 7488  df-mi 7489  df-lti 7490  df-plpq 7527  df-mpq 7528  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-plqqs 7532  df-mqqs 7533  df-1nqqs 7534  df-rq 7535  df-ltnqqs 7536  df-enq0 7607  df-nq0 7608  df-0nq0 7609  df-plq0 7610  df-mq0 7611  df-inp 7649  df-i1p 7650  df-iplp 7651  df-enr 7909  df-nr 7910  df-0r 7914  df-1r 7915  df-1 8003  df-r 8005

This theorem is referenced by:  nnindnn  8076