ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsresg GIF version

Theorem setsresg 11681
Description: The structure replacement function does not affect the value of 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
setsresg ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐵𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))

Proof of Theorem setsresg
StepHypRef Expression
1 opexg 4079 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
2 setsvalg 11673 . . . . 5 ((𝑆𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
31, 2sylan2 281 . . . 4 ((𝑆𝑉 ∧ (𝐴𝑊𝐵𝑋)) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
433impb 1142 . . 3 ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐵𝑋) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
54reseq1d 4744 . 2 ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐵𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})))
6 resundir 4759 . . 3 (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})))
7 dmsnopg 4936 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑋 → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
873ad2ant3 969 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐵𝑋) → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
9 eqimss 3093 . . . . . . . 8 (dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴} → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} ⊆ {𝐴})
108, 9syl 14 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐵𝑋) → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} ⊆ {𝐴})
1110sscond 3152 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐵𝑋) → (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
12 resabs1 4774 . . . . . 6 ((V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
1311, 12syl 14 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐵𝑋) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
14 dmres 4766 . . . . . . 7 dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
15 disj2 3357 . . . . . . . 8 (((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ∅ ↔ (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
1611, 15sylibr 133 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐵𝑋) → ((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ∅)
1714, 16syl5eq 2139 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐵𝑋) → dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅)
18 relres 4773 . . . . . . 7 Rel ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))
19 reldm0 4685 . . . . . . 7 (Rel ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅ ↔ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅))
2018, 19ax-mp 7 . . . . . 6 (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅ ↔ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅)
2117, 20sylibr 133 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐵𝑋) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅)
2213, 21uneq12d 3170 . . . 4 ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐵𝑋) → (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ∅))
23 un0 3335 . . . 4 ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
2422, 23syl6eq 2143 . . 3 ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐵𝑋) → (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
256, 24syl5eq 2139 . 2 ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐵𝑋) → (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
265, 25eqtrd 2127 1 ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐵𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 927   = wceq 1296  wcel 1445  Vcvv 2633  cdif 3010  cun 3011  cin 3012  wss 3013  c0 3302  {csn 3466  cop 3469  dom cdm 4467  cres 4469  Rel wrel 4472  (class class class)co 5690   sSet csts 11641
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-res 4479  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-sets 11650
This theorem is referenced by:  setsabsd  11682  setsslnid  11694
  Copyright terms: Public domain W3C validator