Theorem rexcom4 2760

Description: Commutation of restricted and unrestricted existential quantifiers. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexcom4	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 ↔ ∃𝑦∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rexcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 2641	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ V ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
2		rexv 2755	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∃𝑦𝜑)
3	2	rexbii 2484	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑)
4		rexv 2755	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ V ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
5	1, 3, 4	3bitr3i 210	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 ↔ ∃𝑦∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:   ↔ wb 105  ∃wex 1492  ∃wrex 2456  Vcvv 2737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2739

This theorem is referenced by:  rexcom4a  2761  reuind  2942  iuncom4  3892  dfiun2g  3917  iunn0m  3945  iunxiun  3966  iinexgm  4152  inuni  4153  iunopab  4279  xpiundi  4682  xpiundir  4683  cnvuni  4810  dmiun  4833  elres  4940  elsnres  4941  rniun  5036  imaco  5131  coiun  5135  fun11iun  5479  abrexco  5755  imaiun  5756  fliftf  5795  rexrnmpo  5985  oprabrexex2  6126  releldm2  6181  eroveu  6621  genpassl  7518  genpassu  7519  ltexprlemopl  7595  ltexprlemopu  7597  pceu  12285  ntreq0  13414  metrest  13788