Theorem slotslfn 13378

Description: A slot is a function on sets, treated as structures. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 10-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
slotslfn	⊢ 𝐸 Fn V

Proof of Theorem slotslfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		slotslfn.e	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	simpri 113	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
4	1, 3	fvex 5715	. 2 ⊢ (𝑥‘(𝐸‘ndx)) ∈ V
5	2	simpli 111	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		df-slot 13356	. . 3 ⊢ Slot (𝐸‘ndx) = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘(𝐸‘ndx)))
7	5, 6	eqtri 2259	. 2 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘(𝐸‘ndx)))
8	4, 7	fnmpti 5512	1 ⊢ 𝐸 Fn V

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ↦ cmpt 4192   Fn wfn 5372  ‘cfv 5377  ℕcn 9304  ndxcnx 13349  Slot cslot 13351

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-slot 13356

This theorem is used by:  slotex  13379  basfn  13411  slotm  13415  topontopn  15138