Theorem slotslfn 12729

Description: A slot is a function on sets, treated as structures. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 10-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
slotslfn	⊢ 𝐸 Fn V

Proof of Theorem slotslfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2766	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		slotslfn.e	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	simpri 113	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
4	1, 3	fvex 5581	. 2 ⊢ (𝑥‘(𝐸‘ndx)) ∈ V
5	2	simpli 111	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		df-slot 12707	. . 3 ⊢ Slot (𝐸‘ndx) = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘(𝐸‘ndx)))
7	5, 6	eqtri 2217	. 2 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘(𝐸‘ndx)))
8	4, 7	fnmpti 5389	1 ⊢ 𝐸 Fn V

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ↦ cmpt 4095   Fn wfn 5254  ‘cfv 5259  ℕcn 9007  ndxcnx 12700  Slot cslot 12702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-slot 12707

This theorem is referenced by:  slotex  12730  basfn  12761  topontopn  14357