ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  slotex GIF version

Theorem slotex 11686
Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 11685. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
slotslfn.e (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
slotex (𝐴𝑉 → (𝐸𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem slotex
StepHypRef Expression
1 slotslfn.e . . 3 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
21slotslfn 11685 . 2 𝐸 Fn V
3 elex 2644 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
4 funfvex 5357 . . 3 ((Fun 𝐸𝐴 ∈ dom 𝐸) → (𝐸𝐴) ∈ V)
54funfni 5148 . 2 ((𝐸 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐸𝐴) ∈ V)
62, 3, 5sylancr 406 1 (𝐴𝑉 → (𝐸𝐴) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1296  wcel 1445  Vcvv 2633   Fn wfn 5044  cfv 5049  cn 8520  ndxcnx 11656  Slot cslot 11658
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-fv 5057  df-slot 11663
This theorem is referenced by:  topnfn  11825  topnvalg  11832  topnidg  11833
  Copyright terms: Public domain W3C validator