ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  slotex GIF version

Theorem slotex 12000
Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 11999. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
slotslfn.e (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
slotex (𝐴𝑉 → (𝐸𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem slotex
StepHypRef Expression
1 slotslfn.e . . 3 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
21slotslfn 11999 . 2 𝐸 Fn V
3 elex 2697 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
4 funfvex 5438 . . 3 ((Fun 𝐸𝐴 ∈ dom 𝐸) → (𝐸𝐴) ∈ V)
54funfni 5223 . 2 ((𝐸 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐸𝐴) ∈ V)
62, 3, 5sylancr 410 1 (𝐴𝑉 → (𝐸𝐴) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2686   Fn wfn 5118  cfv 5123  cn 8732  ndxcnx 11970  Slot cslot 11972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-fv 5131  df-slot 11977
This theorem is referenced by:  topnfn  12139  topnvalg  12146  topnidg  12147
  Copyright terms: Public domain W3C validator