Theorem slotex 12715

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 12714. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
slotex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	slotslfn 12714	. 2 ⊢ 𝐸 Fn V
3		elex 2774	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
4		funfvex 5576	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐴) ∈ V)
5	4	funfni 5359	. 2 ⊢ ((𝐸 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐸‘𝐴) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   Fn wfn 5254  ‘cfv 5259  ℕcn 8992  ndxcnx 12685  Slot cslot 12687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-slot 12692

This theorem is referenced by:  topnfn  12925  topnvalg  12932  topnidg  12933  imasex  12958  imasival  12959  imasbas  12960  imasplusg  12961  imasmulr  12962  imasaddfn  12970  imasaddval  12971  imasaddf  12972  imasmulfn  12973  imasmulval  12974  imasmulf  12975  qusaddval  12988  qusaddf  12989  qusmulval  12990  qusmulf  12991  xpsval  13005  ismgm  13010  plusfvalg  13016  plusffng  13018  gsumpropd2  13046  gsumsplit1r  13051  gsumprval  13052  issgrp  13056  ismnddef  13069  gsumfzz  13137  gsumwsubmcl  13138  gsumwmhm  13140  gsumfzcl  13141  grppropstrg  13161  grpsubval  13188  mulgval  13262  mulgfng  13264  mulgnngsum  13267  mulg1  13269  mulgnnp1  13270  mulgnndir  13291  subgintm  13338  isnsg  13342  gsumfzreidx  13477  gsumfzsubmcl  13478  gsumfzmptfidmadd  13479  gsumfzconst  13481  gsumfzmhm  13483  fnmgp  13488  mgpvalg  13489  mgpplusgg  13490  mgpex  13491  mgpbasg  13492  mgpscag  13493  mgptsetg  13494  mgpdsg  13496  mgpress  13497  isrng  13500  issrg  13531  isring  13566  opprvalg  13635  opprmulfvalg  13636  opprex  13639  opprsllem  13640  subrngintm  13778  islmod  13857  scaffvalg  13872  scafvalg  13873  scaffng  13875  rmodislmodlem  13916  rmodislmod  13917  lsssn0  13936  lss1d  13949  lssintclm  13950  ellspsn  13983  sraval  14003  sralemg  14004  srascag  14008  sravscag  14009  sraipg  14010  sraex  14012  crngridl  14096  znbaslemnn  14205