Theorem slotex 13239

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 13238. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
slotex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	slotslfn 13238	. 2 ⊢ 𝐸 Fn V
3		elex 2825	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
4		funfvex 5687	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐴) ∈ V)
5	4	funfni 5458	. 2 ⊢ ((𝐸 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐸‘𝐴) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   Fn wfn 5347  ‘cfv 5352  ℕcn 9237  ndxcnx 13209  Slot cslot 13211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-slot 13216

This theorem is referenced by:  topnfn  13457  topnvalg  13464  topnidg  13465  prdsplusgfval  13497  prdsmulrfval  13499  pwsval  13504  pwsbas  13505  pwsplusgval  13508  pwsmulrval  13509  imasex  13518  imasival  13519  imasbas  13520  imasplusg  13521  imasmulr  13522  imasaddfn  13530  imasaddval  13531  imasaddf  13532  imasmulfn  13533  imasmulval  13534  imasmulf  13535  qusaddval  13548  qusaddf  13549  qusmulval  13550  qusmulf  13551  xpsval  13565  ismgm  13570  plusfvalg  13576  plusffng  13578  gsumpropd2  13606  gsumsplit1r  13611  gsumprval  13612  issgrp  13616  ismnddef  13631  pwsmnd  13663  pws0g  13664  gsumfzz  13708  gsumwsubmcl  13709  gsumwmhm  13711  gsumfzcl  13712  grppropstrg  13732  grpsubval  13759  pwsgrp  13824  pwsinvg  13825  mulgval  13839  mulgfng  13841  mulgnngsum  13844  mulg1  13846  mulgnnp1  13847  mulgnndir  13868  subgintm  13915  isnsg  13919  gsumfzreidx  14054  gsumfzsubmcl  14055  gsumfzmptfidmadd  14056  gsumfzconst  14058  gsumfzmhm  14060  fnmgp  14066  mgpvalg  14067  mgpplusgg  14068  mgpex  14069  mgpbasg  14070  mgpscag  14071  mgptsetg  14072  mgpdsg  14074  mgpress  14075  isrng  14078  issrg  14109  isring  14144  opprvalg  14213  opprmulfvalg  14214  opprex  14217  opprsllem  14218  subrngintm  14357  islmod  14439  scaffvalg  14454  scafvalg  14455  scaffng  14457  rmodislmodlem  14498  rmodislmod  14499  lsssn0  14518  lss1d  14531  lssintclm  14532  ellspsn  14565  sraval  14585  sralemg  14586  srascag  14590  sravscag  14591  sraipg  14592  sraex  14594  crngridl  14678  znbaslemnn  14787  iedgvalg  16012  iedgex  16014  edgvalg  16054  edgstruct  16059  gfsumval  16862  gsumgfsumlem  16865