Theorem slotex 12730

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 12729. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
slotex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	slotslfn 12729	. 2 ⊢ 𝐸 Fn V
3		elex 2774	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
4		funfvex 5578	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐴) ∈ V)
5	4	funfni 5361	. 2 ⊢ ((𝐸 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐸‘𝐴) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   Fn wfn 5254  ‘cfv 5259  ℕcn 9007  ndxcnx 12700  Slot cslot 12702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-slot 12707

This theorem is referenced by:  topnfn  12946  topnvalg  12953  topnidg  12954  prdsplusgfval  12986  prdsmulrfval  12988  pwsval  12993  pwsbas  12994  pwsplusgval  12997  pwsmulrval  12998  imasex  13007  imasival  13008  imasbas  13009  imasplusg  13010  imasmulr  13011  imasaddfn  13019  imasaddval  13020  imasaddf  13021  imasmulfn  13022  imasmulval  13023  imasmulf  13024  qusaddval  13037  qusaddf  13038  qusmulval  13039  qusmulf  13040  xpsval  13054  ismgm  13059  plusfvalg  13065  plusffng  13067  gsumpropd2  13095  gsumsplit1r  13100  gsumprval  13101  issgrp  13105  ismnddef  13120  pwsmnd  13152  pws0g  13153  gsumfzz  13197  gsumwsubmcl  13198  gsumwmhm  13200  gsumfzcl  13201  grppropstrg  13221  grpsubval  13248  pwsgrp  13313  pwsinvg  13314  mulgval  13328  mulgfng  13330  mulgnngsum  13333  mulg1  13335  mulgnnp1  13336  mulgnndir  13357  subgintm  13404  isnsg  13408  gsumfzreidx  13543  gsumfzsubmcl  13544  gsumfzmptfidmadd  13545  gsumfzconst  13547  gsumfzmhm  13549  fnmgp  13554  mgpvalg  13555  mgpplusgg  13556  mgpex  13557  mgpbasg  13558  mgpscag  13559  mgptsetg  13560  mgpdsg  13562  mgpress  13563  isrng  13566  issrg  13597  isring  13632  opprvalg  13701  opprmulfvalg  13702  opprex  13705  opprsllem  13706  subrngintm  13844  islmod  13923  scaffvalg  13938  scafvalg  13939  scaffng  13941  rmodislmodlem  13982  rmodislmod  13983  lsssn0  14002  lss1d  14015  lssintclm  14016  ellspsn  14049  sraval  14069  sralemg  14070  srascag  14074  sravscag  14075  sraipg  14076  sraex  14078  crngridl  14162  znbaslemnn  14271