Theorem slotex 12892

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 12891. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
slotex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	slotslfn 12891	. 2 ⊢ 𝐸 Fn V
3		elex 2783	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
4		funfvex 5595	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐴) ∈ V)
5	4	funfni 5377	. 2 ⊢ ((𝐸 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐸‘𝐴) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  Vcvv 2772   Fn wfn 5267  ‘cfv 5272  ℕcn 9038  ndxcnx 12862  Slot cslot 12864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-fv 5280  df-slot 12869

This theorem is referenced by:  topnfn  13109  topnvalg  13116  topnidg  13117  prdsplusgfval  13149  prdsmulrfval  13151  pwsval  13156  pwsbas  13157  pwsplusgval  13160  pwsmulrval  13161  imasex  13170  imasival  13171  imasbas  13172  imasplusg  13173  imasmulr  13174  imasaddfn  13182  imasaddval  13183  imasaddf  13184  imasmulfn  13185  imasmulval  13186  imasmulf  13187  qusaddval  13200  qusaddf  13201  qusmulval  13202  qusmulf  13203  xpsval  13217  ismgm  13222  plusfvalg  13228  plusffng  13230  gsumpropd2  13258  gsumsplit1r  13263  gsumprval  13264  issgrp  13268  ismnddef  13283  pwsmnd  13315  pws0g  13316  gsumfzz  13360  gsumwsubmcl  13361  gsumwmhm  13363  gsumfzcl  13364  grppropstrg  13384  grpsubval  13411  pwsgrp  13476  pwsinvg  13477  mulgval  13491  mulgfng  13493  mulgnngsum  13496  mulg1  13498  mulgnnp1  13499  mulgnndir  13520  subgintm  13567  isnsg  13571  gsumfzreidx  13706  gsumfzsubmcl  13707  gsumfzmptfidmadd  13708  gsumfzconst  13710  gsumfzmhm  13712  fnmgp  13717  mgpvalg  13718  mgpplusgg  13719  mgpex  13720  mgpbasg  13721  mgpscag  13722  mgptsetg  13723  mgpdsg  13725  mgpress  13726  isrng  13729  issrg  13760  isring  13795  opprvalg  13864  opprmulfvalg  13865  opprex  13868  opprsllem  13869  subrngintm  14007  islmod  14086  scaffvalg  14101  scafvalg  14102  scaffng  14104  rmodislmodlem  14145  rmodislmod  14146  lsssn0  14165  lss1d  14178  lssintclm  14179  ellspsn  14212  sraval  14232  sralemg  14233  srascag  14237  sravscag  14238  sraipg  14239  sraex  14241  crngridl  14325  znbaslemnn  14434  iedgvalg  15649  edgvalg  15687  edgstruct  15691