Theorem slotex 13437

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 13436. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
slotex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	slotslfn 13436	. 2 ⊢ 𝐸 Fn V
3		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
4		funfvex 5715	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐴) ∈ V)
5	4	funfni 5486	. 2 ⊢ ((𝐸 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐸‘𝐴) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 418	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐴) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  ℕcn 9313  ndxcnx 13407  Slot cslot 13409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-slot 13414

This theorem is used by:  topnfn  13657  topnvalg  13664  topnidg  13665  imasex  13685  imasival  13686  imasbas  13687  imasplusg  13688  imasmulr  13689  imasaddfn  13697  imasaddval  13698  imasaddf  13699  imasmulfn  13700  imasmulval  13701  imasmulf  13702  qusaddval  13715  qusaddf  13716  qusmulval  13717  qusmulf  13718  ismgm  13736  plusfvalg  13742  plusffng  13744  gzsumsplit1r  13774  issgrp  13777  ismnddef  13790  gzsumwsubmcl  13860  gzsumwmhm  13862  gzsumcl  13863  grppropstrg  13883  grpsubval  13910  mulgval  13984  mulgfng  13986  mulgnngzsum  13989  mulg1  13991  mulgnnp1  13992  mulgnndir  14013  subgintm  14060  isnsg  14064  gzsumreidx  14231  gzsumsubmcl  14232  gzsumconst  14233  gzsummhm  14235  gzsumshift  14239  gsumvalfi  14242  prdsplusgfval  14291  prdsmulrfval  14293  xpsval  14308  pwsval  14311  pwsbas  14312  pwsplusgval  14315  pwsmulrval  14316  pwsmnd  14319  pws0g  14320  pwsgrp  14321  pwsinvg  14322  fnmgp  14326  mgpvalg  14327  mgpplusgg  14328  mgpex  14330  mgpbasg  14331  mgpscag  14333  mgptsetg  14334  mgpdsg  14336  mgpress  14337  isrng  14340  issrg  14376  isring  14411  opprvalg  14483  opprmulfvalg  14484  opprex  14487  opprsllem  14488  subrngintm  14629  islmod  14736  scaffvalg  14752  scafvalg  14753  scaffng  14755  rmodislmodlem  14796  rmodislmod  14797  lsssn0  14816  lss1d  14829  lssintclm  14830  ellspsn  14863  sraval  14883  sralemg  14884  srascag  14888  sravscag  14889  sraipg  14890  sraex  14892  crngridl  14976  znbaslemnn  15083  isassa  15111  asclfval  15130  psrmulrg  15186  iedgvalg  16463  iedgex  16465  edgvalg  16505  edgstruct  16510