Theorem slotex 12732

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 12731. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
slotex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	slotslfn 12731	. 2 ⊢ 𝐸 Fn V
3		elex 2774	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
4		funfvex 5578	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐴) ∈ V)
5	4	funfni 5361	. 2 ⊢ ((𝐸 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐸‘𝐴) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   Fn wfn 5254  ‘cfv 5259  ℕcn 9009  ndxcnx 12702  Slot cslot 12704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-slot 12709

This theorem is referenced by:  topnfn  12948  topnvalg  12955  topnidg  12956  prdsplusgfval  12988  prdsmulrfval  12990  pwsval  12995  pwsbas  12996  pwsplusgval  12999  pwsmulrval  13000  imasex  13009  imasival  13010  imasbas  13011  imasplusg  13012  imasmulr  13013  imasaddfn  13021  imasaddval  13022  imasaddf  13023  imasmulfn  13024  imasmulval  13025  imasmulf  13026  qusaddval  13039  qusaddf  13040  qusmulval  13041  qusmulf  13042  xpsval  13056  ismgm  13061  plusfvalg  13067  plusffng  13069  gsumpropd2  13097  gsumsplit1r  13102  gsumprval  13103  issgrp  13107  ismnddef  13122  pwsmnd  13154  pws0g  13155  gsumfzz  13199  gsumwsubmcl  13200  gsumwmhm  13202  gsumfzcl  13203  grppropstrg  13223  grpsubval  13250  pwsgrp  13315  pwsinvg  13316  mulgval  13330  mulgfng  13332  mulgnngsum  13335  mulg1  13337  mulgnnp1  13338  mulgnndir  13359  subgintm  13406  isnsg  13410  gsumfzreidx  13545  gsumfzsubmcl  13546  gsumfzmptfidmadd  13547  gsumfzconst  13549  gsumfzmhm  13551  fnmgp  13556  mgpvalg  13557  mgpplusgg  13558  mgpex  13559  mgpbasg  13560  mgpscag  13561  mgptsetg  13562  mgpdsg  13564  mgpress  13565  isrng  13568  issrg  13599  isring  13634  opprvalg  13703  opprmulfvalg  13704  opprex  13707  opprsllem  13708  subrngintm  13846  islmod  13925  scaffvalg  13940  scafvalg  13941  scaffng  13943  rmodislmodlem  13984  rmodislmod  13985  lsssn0  14004  lss1d  14017  lssintclm  14018  ellspsn  14051  sraval  14071  sralemg  14072  srascag  14076  sravscag  14077  sraipg  14078  sraex  14080  crngridl  14164  znbaslemnn  14273