Theorem slotex 13189

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 13188. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
slotex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	slotslfn 13188	. 2 ⊢ 𝐸 Fn V
3		elex 2815	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
4		funfvex 5665	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐴) ∈ V)
5	4	funfni 5439	. 2 ⊢ ((𝐸 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐸‘𝐴) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 414	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   Fn wfn 5328  ‘cfv 5333  ℕcn 9202  ndxcnx 13159  Slot cslot 13161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-slot 13166

This theorem is referenced by:  topnfn  13407  topnvalg  13414  topnidg  13415  prdsplusgfval  13447  prdsmulrfval  13449  pwsval  13454  pwsbas  13455  pwsplusgval  13458  pwsmulrval  13459  imasex  13468  imasival  13469  imasbas  13470  imasplusg  13471  imasmulr  13472  imasaddfn  13480  imasaddval  13481  imasaddf  13482  imasmulfn  13483  imasmulval  13484  imasmulf  13485  qusaddval  13498  qusaddf  13499  qusmulval  13500  qusmulf  13501  xpsval  13515  ismgm  13520  plusfvalg  13526  plusffng  13528  gsumpropd2  13556  gsumsplit1r  13561  gsumprval  13562  issgrp  13566  ismnddef  13581  pwsmnd  13613  pws0g  13614  gsumfzz  13658  gsumwsubmcl  13659  gsumwmhm  13661  gsumfzcl  13662  grppropstrg  13682  grpsubval  13709  pwsgrp  13774  pwsinvg  13775  mulgval  13789  mulgfng  13791  mulgnngsum  13794  mulg1  13796  mulgnnp1  13797  mulgnndir  13818  subgintm  13865  isnsg  13869  gsumfzreidx  14004  gsumfzsubmcl  14005  gsumfzmptfidmadd  14006  gsumfzconst  14008  gsumfzmhm  14010  fnmgp  14016  mgpvalg  14017  mgpplusgg  14018  mgpex  14019  mgpbasg  14020  mgpscag  14021  mgptsetg  14022  mgpdsg  14024  mgpress  14025  isrng  14028  issrg  14059  isring  14094  opprvalg  14163  opprmulfvalg  14164  opprex  14167  opprsllem  14168  subrngintm  14307  islmod  14387  scaffvalg  14402  scafvalg  14403  scaffng  14405  rmodislmodlem  14446  rmodislmod  14447  lsssn0  14466  lss1d  14479  lssintclm  14480  ellspsn  14513  sraval  14533  sralemg  14534  srascag  14538  sravscag  14539  sraipg  14540  sraex  14542  crngridl  14626  znbaslemnn  14735  iedgvalg  15958  iedgex  15960  edgvalg  16000  edgstruct  16005  gfsumval  16809  gsumgfsumlem  16812