Theorem slotex 13357

Description: Existence of slot value. A corollary of slotslfn 13356. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slotslfn.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
slotex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem slotex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slotslfn.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	slotslfn 13356	. 2 ⊢ 𝐸 Fn V
3		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
4		funfvex 5707	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐴) ∈ V)
5	4	funfni 5478	. 2 ⊢ ((𝐸 Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐸‘𝐴) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 418	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   Fn wfn 5367  ‘cfv 5372  ℕcn 9283  ndxcnx 13327  Slot cslot 13329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-slot 13334

This theorem is referenced by:  topnfn  13575  topnvalg  13582  topnidg  13583  imasex  13603  imasival  13604  imasbas  13605  imasplusg  13606  imasmulr  13607  imasaddfn  13615  imasaddval  13616  imasaddf  13617  imasmulfn  13618  imasmulval  13619  imasmulf  13620  qusaddval  13633  qusaddf  13634  qusmulval  13635  qusmulf  13636  ismgm  13654  plusfvalg  13660  plusffng  13662  gzsumsplit1r  13692  issgrp  13695  ismnddef  13708  gzsumwsubmcl  13778  gzsumwmhm  13780  gzsumcl  13781  grppropstrg  13801  grpsubval  13828  mulgval  13902  mulgfng  13904  mulgnngzsum  13907  mulg1  13909  mulgnnp1  13910  mulgnndir  13931  subgintm  13978  isnsg  13982  gzsumreidx  14118  gzsumsubmcl  14119  gzsumconst  14120  gzsummhm  14122  gzsumshift  14126  gsumvalfi  14129  prdsplusgfval  14161  prdsmulrfval  14163  xpsval  14178  pwsval  14181  pwsbas  14182  pwsplusgval  14185  pwsmulrval  14186  pwsmnd  14189  pws0g  14190  pwsgrp  14191  pwsinvg  14192  fnmgp  14196  mgpvalg  14197  mgpplusgg  14198  mgpex  14199  mgpbasg  14200  mgpscag  14201  mgptsetg  14202  mgpdsg  14204  mgpress  14205  isrng  14208  issrg  14243  isring  14278  opprvalg  14347  opprmulfvalg  14348  opprex  14351  opprsllem  14352  subrngintm  14493  islmod  14600  scaffvalg  14615  scafvalg  14616  scaffng  14618  rmodislmodlem  14659  rmodislmod  14660  lsssn0  14679  lss1d  14692  lssintclm  14693  ellspsn  14726  sraval  14746  sralemg  14747  srascag  14751  sravscag  14752  sraipg  14753  sraex  14755  crngridl  14839  znbaslemnn  14946  iedgvalg  16172  iedgex  16174  edgvalg  16214  edgstruct  16219