Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mopni3 GIF version

Theorem mopni3 12669
 Description: An open set of a metric space includes an arbitrarily small ball around each of its points. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
mopni3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋

Proof of Theorem mopni3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopni2 12668 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)
32adantr 274 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)
4 simp1 981 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
51mopnss 12635 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽) → 𝐴𝑋)
65sselda 3097 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃𝑋)
763impa 1176 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → 𝑃𝑋)
84, 7jca 304 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋))
9 ssblex 12616 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)))
108, 9sylan 281 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)))
1110anassrs 397 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)))
12 sstr 3105 . . . . . . 7 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)
1312expcom 115 . . . . . 6 ((𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
1413anim2d 335 . . . . 5 ((𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)) → (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)))
1514reximdv 2533 . . . 4 ((𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)))
1611, 15syl5com 29 . . 3 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)))
1716rexlimdva 2549 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)))
183, 17mpd 13 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417   ⊆ wss 3071   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   < clt 7814  ℝ+crp 9455  ∞Metcxmet 12165  ballcbl 12167  MetOpencmopn 12170 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752  ax-arch 7753  ax-caucvg 7754 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-2 8793  df-3 8794  df-4 8795  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-q 9426  df-rp 9456  df-xneg 9573  df-xadd 9574  df-seqfrec 10233  df-exp 10307  df-cj 10628  df-re 10629  df-im 10630  df-rsqrt 10784  df-abs 10785  df-topgen 12157  df-psmet 12172  df-xmet 12173  df-bl 12175  df-mopn 12176  df-top 12181  df-topon 12194  df-bases 12226 This theorem is referenced by:  limcimolemlt  12818
 Copyright terms: Public domain W3C validator