Theorem mopni3 12473

Description: An open set of a metric space includes an arbitrarily small ball around each of its points. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopni3	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋

Proof of Theorem mopni3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopni2 12472	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)
3	2	adantr 272	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)
4		simp1 964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5	1	mopnss 12439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
6	5	sselda 3063	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝑋)
7	6	3impa 1159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝑋)
8	4, 7	jca 302	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
9		ssblex 12420	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)))
10	8, 9	sylan 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)))
11	10	anassrs 395	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)))
12		sstr 3071	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)
13	12	expcom 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
14	13	anim2d 333	. . . . 5 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)) → (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)))
15	14	reximdv 2507	. . . 4 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)))
16	11, 15	syl5com 29	. . 3 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)))
17	16	rexlimdva 2523	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)))
18	3, 17	mpd 13	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 945   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  ∃wrex 2391   ⊆ wss 3037   class class class wbr 3895  ‘cfv 5081  (class class class)co 5728   < clt 7724  ℝ⁺crp 9343  ∞Metcxmet 11992  ballcbl 11994  MetOpencmopn 11997

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-isom 5090  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-map 6498  df-sup 6823  df-inf 6824  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-xneg 9452  df-xadd 9453  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-topgen 11984  df-psmet 11999  df-xmet 12000  df-bl 12002  df-mopn 12003  df-top 12008  df-topon 12021  df-bases 12053

This theorem is referenced by:  limcimolemlt  12589