Theorem subrgintm 14005

Description: The intersection of an inhabited collection of subrings is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgintm	⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑅   𝑤,𝑆

Proof of Theorem subrgintm

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 13989	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑟 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2	1	ssriv 3197	. . . 4 ⊢ (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)
3		sstr 3201	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
4	2, 3	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
5		subgintm 13534	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
6	4, 5	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7		ssel2 3188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
8	7	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
9		eqid 2205	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	9	subrg1cl 13991	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
11	8, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
12	11	ralrimiva 2579	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
13		ssel 3187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ (SubRing‘𝑅)))
14		subrgrcl 13988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
15	13, 14	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑅 ∈ Ring))
16	15	exlimdv 1842	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑅 ∈ Ring))
17	16	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
18		ringsrg 13809	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
19		eqid 2205	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20	19, 9	srgidcl 13738	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
21		elintg 3893	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) → ((1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟))
22	20, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟))
23	17, 18, 22	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟))
24	12, 23	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆)
25	8	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
26		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑆)
27		elinti 3894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝑟))
28	27	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
29	26, 28	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
30		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
31		elinti 3894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑟))
32	31	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
33	30, 32	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
34		eqid 2205	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
35	34	subrgmcl 13995	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟 ∧ 𝑦 ∈ 𝑟) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
36	25, 29, 33, 35	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
37	36	ralrimiva 2579	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
38		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
39		eleq1w 2266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑤 → (𝑟 ∈ 𝑆 ↔ 𝑤 ∈ 𝑆))
40	39	cbvexv 1942	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑟 𝑟 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
41	36	elexd 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑟 ∈ 𝑆 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V))
43	42	exlimdv 1842	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (∃𝑟 𝑟 ∈ 𝑆 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V))
44	40, 43	biimtrrid 153	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V))
45	38, 44	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
46		elintg 3893	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟))
47	45, 46	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟))
48	37, 47	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
49	48	ralrimivva 2588	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
50	19, 9, 34	issubrg2 14003	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
51	17, 50	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → (∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
52	6, 24, 49, 51	mpbir3and 1183	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981  ∃wex 1515   ∈ wcel 2176  ∀wral 2484  Vcvv 2772   ⊆ wss 3166  ∩ cint 3885  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  Basecbs 12832  ._rcmulr 12910  SubGrpcsubg 13503  1_rcur 13721  SRingcsrg 13725  Ringcrg 13758  SubRingcsubrg 13979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-subg 13506  df-cmn 13622  df-abl 13623  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-srg 13726  df-ring 13760  df-subrg 13981

This theorem is referenced by:  subrgin  14006