Theorem subrgintm 14276

Description: The intersection of an inhabited collection of subrings is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgintm	⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑅   𝑤,𝑆

Proof of Theorem subrgintm

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 14260	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑟 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2	1	ssriv 3231	. . . 4 ⊢ (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)
3		sstr 3235	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
4	2, 3	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
5		subgintm 13803	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
6	4, 5	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7		ssel2 3222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
8	7	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
9		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	9	subrg1cl 14262	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
11	8, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
12	11	ralrimiva 2605	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
13		ssel 3221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ (SubRing‘𝑅)))
14		subrgrcl 14259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
15	13, 14	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑅 ∈ Ring))
16	15	exlimdv 1867	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑅 ∈ Ring))
17	16	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
18		ringsrg 14079	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
19		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20	19, 9	srgidcl 14008	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
21		elintg 3936	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) → ((1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟))
22	20, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟))
23	17, 18, 22	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟))
24	12, 23	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆)
25	8	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
26		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑆)
27		elinti 3937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝑟))
28	27	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
29	26, 28	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
30		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
31		elinti 3937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑟))
32	31	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
33	30, 32	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
34		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
35	34	subrgmcl 14266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟 ∧ 𝑦 ∈ 𝑟) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
36	25, 29, 33, 35	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
37	36	ralrimiva 2605	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
38		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
39		eleq1w 2292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑤 → (𝑟 ∈ 𝑆 ↔ 𝑤 ∈ 𝑆))
40	39	cbvexv 1967	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑟 𝑟 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
41	36	elexd 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑟 ∈ 𝑆 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V))
43	42	exlimdv 1867	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (∃𝑟 𝑟 ∈ 𝑆 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V))
44	40, 43	biimtrrid 153	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V))
45	38, 44	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
46		elintg 3936	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟))
47	45, 46	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟))
48	37, 47	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
49	48	ralrimivva 2614	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
50	19, 9, 34	issubrg2 14274	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
51	17, 50	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → (∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
52	6, 24, 49, 51	mpbir3and 1206	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  ∩ cint 3928  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13100  ._rcmulr 13179  SubGrpcsubg 13772  1_rcur 13991  SRingcsrg 13995  Ringcrg 14028  SubRingcsubrg 14250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-iress 13108  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-0g 13359  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-minusg 13605  df-subg 13775  df-cmn 13891  df-abl 13892  df-mgp 13953  df-ur 13992  df-srg 13996  df-ring 14030  df-subrg 14252

This theorem is referenced by:  subrgin  14277