Theorem subrgintm 14080

Description: The intersection of an inhabited collection of subrings is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgintm	⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑅   𝑤,𝑆

Proof of Theorem subrgintm

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 14064	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑟 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2	1	ssriv 3201	. . . 4 ⊢ (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)
3		sstr 3205	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
4	2, 3	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
5		subgintm 13609	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
6	4, 5	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7		ssel2 3192	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
8	7	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
9		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	9	subrg1cl 14066	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
11	8, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
12	11	ralrimiva 2580	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
13		ssel 3191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ (SubRing‘𝑅)))
14		subrgrcl 14063	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
15	13, 14	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑅 ∈ Ring))
16	15	exlimdv 1843	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑅 ∈ Ring))
17	16	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
18		ringsrg 13884	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
19		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20	19, 9	srgidcl 13813	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
21		elintg 3899	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) → ((1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟))
22	20, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟))
23	17, 18, 22	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟))
24	12, 23	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆)
25	8	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
26		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑆)
27		elinti 3900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝑟))
28	27	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
29	26, 28	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
30		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
31		elinti 3900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑟))
32	31	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
33	30, 32	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
34		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
35	34	subrgmcl 14070	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟 ∧ 𝑦 ∈ 𝑟) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
36	25, 29, 33, 35	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
37	36	ralrimiva 2580	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
38		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
39		eleq1w 2267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑤 → (𝑟 ∈ 𝑆 ↔ 𝑤 ∈ 𝑆))
40	39	cbvexv 1943	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑟 𝑟 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
41	36	elexd 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑟 ∈ 𝑆 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V))
43	42	exlimdv 1843	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (∃𝑟 𝑟 ∈ 𝑆 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V))
44	40, 43	biimtrrid 153	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V))
45	38, 44	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
46		elintg 3899	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟))
47	45, 46	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟))
48	37, 47	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
49	48	ralrimivva 2589	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
50	19, 9, 34	issubrg2 14078	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
51	17, 50	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → (∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
52	6, 24, 49, 51	mpbir3and 1183	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170  ∩ cint 3891  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Basecbs 12907  ._rcmulr 12985  SubGrpcsubg 13578  1_rcur 13796  SRingcsrg 13800  Ringcrg 13833  SubRingcsubrg 14054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-iress 12915  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-minusg 13411  df-subg 13581  df-cmn 13697  df-abl 13698  df-mgp 13758  df-ur 13797  df-srg 13801  df-ring 13835  df-subrg 14056

This theorem is referenced by:  subrgin  14081