Theorem subrgintm 14247

Description: The intersection of an inhabited collection of subrings is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgintm	⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑅   𝑤,𝑆

Proof of Theorem subrgintm

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 14231	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑟 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2	1	ssriv 3229	. . . 4 ⊢ (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)
3		sstr 3233	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
4	2, 3	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
5		subgintm 13775	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
6	4, 5	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7		ssel2 3220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
8	7	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
9		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	9	subrg1cl 14233	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
11	8, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
12	11	ralrimiva 2603	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
13		ssel 3219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ (SubRing‘𝑅)))
14		subrgrcl 14230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
15	13, 14	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑅 ∈ Ring))
16	15	exlimdv 1865	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑅 ∈ Ring))
17	16	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
18		ringsrg 14050	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
19		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20	19, 9	srgidcl 13979	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
21		elintg 3934	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) → ((1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟))
22	20, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟))
23	17, 18, 22	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ((1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟))
24	12, 23	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆)
25	8	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
26		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑆)
27		elinti 3935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝑟))
28	27	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
29	26, 28	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
30		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
31		elinti 3935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑟))
32	31	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
33	30, 32	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
34		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
35	34	subrgmcl 14237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟 ∧ 𝑦 ∈ 𝑟) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
36	25, 29, 33, 35	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
37	36	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
38		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
39		eleq1w 2290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑤 → (𝑟 ∈ 𝑆 ↔ 𝑤 ∈ 𝑆))
40	39	cbvexv 1965	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑟 𝑟 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
41	36	elexd 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑟 ∈ 𝑆 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V))
43	42	exlimdv 1865	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (∃𝑟 𝑟 ∈ 𝑆 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V))
44	40, 43	biimtrrid 153	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V))
45	38, 44	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
46		elintg 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟))
47	45, 46	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟))
48	37, 47	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
49	48	ralrimivva 2612	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
50	19, 9, 34	issubrg2 14245	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
51	17, 50	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → (∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
52	6, 24, 49, 51	mpbir3and 1204	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2800   ⊆ wss 3198  ∩ cint 3926  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13072  ._rcmulr 13151  SubGrpcsubg 13744  1_rcur 13962  SRingcsrg 13966  Ringcrg 13999  SubRingcsubrg 14221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-iress 13080  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-subg 13747  df-cmn 13863  df-abl 13864  df-mgp 13924  df-ur 13963  df-srg 13967  df-ring 14001  df-subrg 14223

This theorem is referenced by:  subrgin  14248